考研数学基础班概率统计讲义汤家凤.docx

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考研数学基础班概率统计讲义汤家凤

考研数学基础班概率统计讲义

第一章随机事件与概率

一、随机试验与随机事件

（一）基本概念

1、随机试验—具备如下三个条件的试验：

（1）相同条件下可重复。

（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。

（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。

2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。

3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。

（二）事件的运算

1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。

2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A?

B。

3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A?

B。

（三）事件的关系

1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A?

B。

若A?

B且B?

A，称两事件相等，记A?

B。

2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB?

，称事件A,B不相容或互斥。

3、对立事件—若AB?

且A?

称事件A,B为对立事件。

【注解】

（1）A?

（A?

B）?

AB，且A?

B与AB互斥。

（2）A?

（A?

B）?

（B?

A）?

AB，且A?

B,B?

A,AB两两互斥。

（四）事件运算的性质

1、

（1）AB?

A（或B）?

B；

（2）AB?

BA,A?

A；

2、

（1）A?

A,A?

A；

（2）A?

（B?

C）?

（A?

B）?

（A?

C）,A?

（B?

C）?

（A?

B）?

（A?

C）；

3、

（1）A?

（A?

B）?

A；

（2）（A?

B）?

B；

（3）A?

（A?

B）?

AB?

（B?

A）。

4、

（1）A?

；

（2）A?

。

二、概率的定义与性质

（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为?

，满足如下条件的随机事件的函数P（?

）称为所对应事件的概率：

1、对事件A，有P（A）?

0（非负性）。

2、P（?

）?

1（归一性）。

3、设A1,A2,L,An,L为不相容的随机事件，则有P（UAn）?

P（An）（可列可加性）。

（二）概率的基本性质

1、P（?

）?

0。

2、设A1,A2,L,An为互不相容的有限个随机事件列，则P（UAk）?

P（Ak）。

3、P（A）?

P（A）。

4、（减法公式）P（A?

B）?

P（A）?

P（AB）。

（三）概率基本公式

1、加法公式

（1）P（A?

B）?

P（A）?

P（B）?

P（AB）。

（2）P（A?

C）?

P（A）?

P（B）?

P（C）?

P（AB）?

P（AC）?

P（BC）?

P（ABC）。

2、条件概率公式：

设A,B是两个事件，且P（A）?

0，则P（B|A）?

P（AB）。

P（A）

3、乘法公式

（1）设P（A）?

0，则P（AB）?

P（A）P（B|A）。

（2）P（A1A2LAn）?

P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）LP（An|A1A2LAn?

1）。

三、事件的独立性

1、两个事件的独立—设A,B是两个事件，若P（AB）?

P（A）P（B），称事件A,B相互独立。

P（AB）?

P（A）P（B）;

2、三个事件的独立—设A,B,C是三个事件，若?

P（AC）?

P（A）P（C）;

P（BC）?

P（B）P（C）;

P（ABC）?

P（A）P（B）P（C）,

，称事件A,B,C相互独立。

【注解】

（1）A,B相互独立的充分必要条件是A,B

、A,B、A,B任何一对相互独立。

（2）设P（A）?

0或P（A）?

1，则A与任何事件B独立。

（3）设P（A）?

0,P（B）?

0，若A,B独立，则A,B不互斥；若A,B互斥，则A,B不独立。

四、全概率公式与Bayes公式

1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,An满足：

（1）AiAj?

（i,j?

1,2,L,n,i?

j）；

（2）UAi?

，则称事件组A1,A2,L,An为一个完备事件组。

2、全概率公式：

设A1,A2,L,An是一个完备事件组，且P（Ai）?

0（i?

1,2,L,n），B为事件，则

P（B）?

P（Ai）P（B|Ai）。

3、贝叶斯公式：

设A1,A2,L,An为一个完备事件组，且P（Ai）?

0（i?

1,2,L,n），B为任一随机事件，

P（B）?

0，则P（A|B）?

P（Ai）P（B|Ai）。

iP（B）

例题选讲

一、填空题

1、设P（A）?

0.4,P（A?

B）?

0.7，

（1）若A,B不相容，则P（B）?

；

（2）若A,B相互独立，则P（B）?

。

2、设P（A）?

P（B）?

P（C）?

。

1,P（AB）?

P（AC）?

P（BC）?

，则事件A,B,C全不发生的概率为

3、设两两相互独立的事件A,B,C满足：

ABC?

P（A）?

P（B）?

P（C）?

1，且有P（A?

C）?

9，

216

则P（A）?

。

4、设事件A,B满足P（AB）?

P（AB），且P（A）?

p，则P（B）?

。

5、设A,B为两个相互独立的随机事件，且A,B都不发生的概率为1，A发生B不发生的概率与A不发生B

发生的概率相等，则P（A）?

。

二、选择题：

1、设A,B是两个随机事件，且0?

P（A）?

1,P（B）?

0,P（B|A）?

P（B|A），则[]

（A）P（A|B）?

P（A|B）；

（B）P（A|B）?

P（A|B）；

（C）P（AB）?

P（A）P（B）；

（D）P（AB）?

P（A）P（B）。

2、设事件A,B满足0?

P（A）?

1,0?

P（B）?

1，且P（A|B）?

P（A|B）?

1，则[]

（A）事件A,B对立；

（B）事件A,B相互独立；

（C）事件A,B不相互独立；

（D）事件A,B不相容。

三、解答题

1、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是次品的的概率。

2、设工厂A与工厂B的次品率分别为1%和2%，现从由A和B生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是A生产的概率。

3、设事件A在每次试验中的概率为p，三次独立重复试验中事件A至少出现一次的概率为19，求事件A

发生的概率p。

4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。

第二章一维随机变量及其分布

一、基本概念

1、随机变量—设?

为随机试验E的样本空间，?

为定义在?

上的函数，对任意的?

，总存在唯一确定的?

（?

）与之对应，称?

为随机变量，若?

的可能取值为有限个或可列个，称?

为离散型随机变量，若?

在某可区间上连续取值，称?

为连续型随机变量。

2、分布函数—设?

为一个随机变量，称函数F（x）?

P{?

x}（?

）为随机变量?

的分布函数。

【注解1】分布函数的四个特征为

（1）0?

F（x）?

1。

（2）F（x）单调不减。

（3）F（x）右连续。

（4）F（?

）?

0,F（?

）?

1。

【注解2】分布函数的性质

（1）P{X?

a}?

F（a?

0）。

（2）P{X

a}?

F（a）?

F（a?

0）。

（3）P{a?

b}?

F（b）?

F（a）。

（4）P{a?

b}?

F（b?

0）?

F（a）。

3、离散型随机变量的分布律—称P{X?

xi}?

pi（1?

n）称为随机变量X的分布律。

【注解】

（1）pi?

0（1?

n）。

（2）p1?

p2?

pn?

1。

4、连续型随机变量的密度函数—设X的分布函数为F（x），若存在非负可积函数f（x），使得

F（x）?

f（t）dt，称f（x）为X的密度函数。

【注解】

（1）f（x）?

0。

（2）?

f（x）dx?

1。

二、常见随机变量及其分布

（一）离散型

1、二项分布—若随机变量X的分布律为P{X?

k}?

Ckpk（1?

p）n?

k（0?

n），称随机变量X服从二项分布，记为X~B（n,p）。

2、Poisson分布—若随机变量X的分布律为P{X?

k}?

（k?

0,1,2,L），称随机变量X服从泊松分

布，记为X~?

（?

）。

3、几何分布—若随机变量X的分布律为P{X?

k}?

p（1?

p）k?

1（k?

1,2,L），称随机变量X服从几何分布，记为X~G（p）。

（二）连续型

1,a?

1、均匀分布—若随机变量?

的密度函数为f（x）?

0,其他

，称随机变量?

服从均匀分布，记为

0,x?

~U（a,b），其分布函数为F（x）?

a,a?

b。

1,x?

2、正态分布—若随机变量?

的密度函数为f（x）?

（x?

）2

（?

），称随机变量?

服从正态

分布，记为?

~N（?

2），特别地，若?

0,?

1，称随机变量服从标准正态分布，记为?

~N（0,1），其密度

为?

（x）?

1e?

2（?

），其分布函数为

（x）?

（t）dt。

xx?

3、指数分布—若随机变量?

的密度为f（x）?

（?

0），称随机变量?

服从指数分布，记为

0,x?

~E（?

），其分布函数为F（x）?

。

【注解】

（1）?

（0）?

1,?

（?

a）?

（a）。

（2）若?

~N（?

2），则P{?

P{?

1。

（3）若?

~N（?

2），则?

~N（0,1）。

（4）若?

~N（?

2），则P{a?

b}?

F（b）?

F（a）?

（b?

）?

（a?

）。

例题选讲

一、选择题

1、设X1,X2的密度为f1（x）,f2（x），分布函数为F1（x）,F2（x），下列结论正确的是[]

（A）F1（x）?

F2（x）为某随机变量的分布函数；

（B）f1（x）?

f2（x）为某随机变量的密度函数；

（C）F1（x）F2（x）为某随机变量的分布函数；

（D）f1（x）f2（x）为某随机变量的密度函数。

2、设随机变量X的密度函数f（x）为偶函数，其分布函数为F（x），则[]

（A）F（x）为偶函数；

（B）F（?

a）?

2F（a）?

1；

a1a

（C）F（?

a）?

f（x）dx；

（D）F（?

a）?

f（x）dx。

3、设X~N（?

42）,Y~N（?

52），令p?

P{X?

4},q?

P{Y?

5}，则[]

（A）对任意实数?

都有p?

q；

（B）对任意实数?

都有p?

q；

（C）对个别?

，才有p?

q；

（D）对任意实数?

，都有p?

q。

4、设X~N（?

2），则随?

的增大，概率P{|X?

}[]

（A）单调增大；

（B）单调减少；`（C）保持不变；

（D）增减不确定。

二、填空题

1、设X~N（?

2）,方程y2?

4y?

0无实根的概率为1,则?

。

2、设X~B（2,p）,Y~B（3,p）,若P{X?

1}?

5,则P{Y?

1}?

。

三、解答题

1、有3个盒子，第1个盒子有4个红球1个黑球，第2个盒子有3个红球2个黑球，第3个盒子有2个红球3个黑球，若任取一个盒子，从中任取3个求，以X表示红球个数。

（1）写处X的分布律；

（2）求红球个数不少于2个的概率。

0,x?

2、设离散型随机变量X的分布函数为F（x）?

0.3,?

1，求X的分布律。

0.7,1?

1,x?

Aex,x?

3、设X的分布函数为F（x）?

B,0?

1，

（x?

1）

（1）求A,B；

（2）求密度函数f（x）；（3）求P{X?

1}。

4、设X~U（0,2），求随机变量Y?

X2的概率密度。

5、设X~N（0,1），且Y?

X2，求随机变量Y的概率密度。

第三章二维随机变量及其分布

一、基本概念

1、联合分布函数—设（X,Y）为二维随机变量，称F（x,y）?

P{X?

x,Y?

y}为（X,Y）的联合分布函数。

2、二维离散型随机变量的联合分布律—设（X,Y）为二维离散型随机变量，称

P{X?

xi,Y?

yj}?

pij（i?

1,2,L,m,j?

1,2,L,n）

为（X,Y）的联合分布律，称

P{X?

xi}?

pij?

pi?

（i?

1,2,L,m）,P{Y?

yj}?

pij?

j（j?

1,2,L,n）

分别为随机变量X,Y的边际分布律。

3、连续型随机变量的联合密度函数—设（X,Y）为二维连续型随机变量，若存在f（x,y）?

0，使得

F（x,y）?

P{X?

x,Y?

y}?

f（u,v）dv，称f（x,y）为随机变量（X,Y）的联合密度函数，称

fX（x）?

f（x,y）dy,fY（y）?

f（x,y）dx

分别为随机变量X,Y的边际密度函数。

【注解】联合分布函数的特征有

（1）0?

F（x,y）?

1。

（2）F（x,y）关于x,y为单调不减函数。

（3）F（x,y）关于x或者y都是右连续。

（4）F（?

）?

0,F（?

）?

0,F（?

）?

0,F（?

）?

1。

二、常见的二维连续型随机变量

1、均匀分布—设二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度为

f（x,y）

1,（x,y）?

，其中A为区域D的面积，称（X,Y）在区域D上服从均匀分布。

0,（x,y）?

2、正态分布—设二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度为

f（x,y）?

1exp{?

1[（x?

1）2?

（x?

1）（y?

2）?

（y?

2）2]}则称（X,Y）服

2（1?

2）?

从二维正态分布，记为（X,Y）~N（?

2,?

），其中?

0,?

0。

121212

【注解】若（X,Y）~N（?

2,?

），则X~N（?

2）,Y~N（?

2）。

1212

1122

二、随机变量的条件分布与随机变量的独立性

（一）二维离散型随机变量的条件分布

1、设P{Y?

yj}?

0，在事件{Y?

yj}发生的情况下，事件{X?

xi}发生的条件概率为

P{X?

xi|Y?

yj}?

pijp?

（i?

1,2,L）；

2、设P{X?

xi}?

0，在事件{X?

xi}发生的情况下，事件{Y?

yj}发生的条件概率为

P{Y?

yj|X?

xi}?

（二）二维连续型随机变量的条件密度

pijpi?

（j?

1,2,L）。

f（x,y）

1、设fY（y）?

0，则在“Y?

y”的条件下，X的条件概率密度为fX|Y（x|y）?

。

fY（y）

f（x,y）

2、设fX（x）?

0，则在“X?

x”的条件下，Y的条件概率密度为fY|X（y|x）?

。

fX（x）

（三）随机变量的独立性

1、定义—设（X,Y）为二维随机变量，若对任意的x,y都有F（x,y）?

FX（x）FY（y），称随机变量X,Y相互独立。

2、独立的充分必要条件

（1）离散型随机变量—设（X,Y）为二维离散型随机变量，则X,Y相互独立的充要条件是

pij?

pi.?

p.j（i?

1,2,L;j?

1,2,L。

（2）连续型随机变量—设（X,Y）为二维连续型随机变量，则X,Y相互独立的充要条件是

f（x,y）?

fX（x）fY（y）（可以除去有限个点）。

【注解】若（X,Y）为二维连续型随机变量，求（X,Y）的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数

f（x,y），一般有如下三种情况：

（1）题中直接给出f（x,y）（若其中含参数，用归一性求出）。

（2）X,Y服从的分布已知且X,Y独立，则f（x,y）?

fX（x）fY（y）。

（3）X的边缘分布已知，且Y的条件密度已知，则f（x,y）?

fX（x）fY|X（y|x）。

三、随机变量函数的分布

已知（X,Y）的分布，Z?

（X,Y），关于Z的分布有以下几种情形：

情形一：

设（X,Y）为离散型随机变量，Z?

（X,Y），则Z为离散型随机变量，求出其可能取值及对应的概率即可。

情形二：

（X,Y）为连续型随机变量，Z?

（X,Y），其中?

为连续函数，则Z为连续型随机变量，可用分布函数定义求Z的分布。

情形三：

X,Y中一个为连续型随机变量，一个为离散型随机变量，求Z?

（X,Y）的分布

例题选讲

一、选择题

1、设相互独立的随机变量X,Y分别服从N（0,1）及N（1,1），则[]

（A）P{X?

0}?

1；

（B）P{X?

1}?

1；

（C）P{X?

0}?

1；

（D）P{X?

1}?

1。

二、填空题

1、设

X,Y

为两个随机变量，且

P{X?

0,Y?

0}?

3,P{X?

0}?

P{Y?

0}?

4，则

P{max（X,Y）?

0}?

。

三、解答题

1、袋中有10个大小相同的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次抽取1个，定义如下两个随机

1,第1次抽到红球

1,第2次抽到红球

变量：

第1次抽到白球

，

第2次抽到白球

就下列两种情况，求（X,Y）的联合分布律：

（1）每次抽取后放回；

（2）每次抽取后不放回。

Ae?

（x?

2y）,x?

0,y?

2、设（X,Y）的联合密度为f（x,y）?

，求

0,其他

（1）常数A；

（2）（X,Y）的分布函数；（3）Z?

2Y的分布函数；

（4）P{X?

2Y?

1}及P{X?

Y}。

3、设随机变量X~E（?

），求随机变量Y?

min{X,2}的分布函数。

4、设X

~E（?

1）,Y~E（?

2）且X,Y独立。

（1）设Z?

max{X,Y}，求Z的密度函数。

（2）Z?

min{X,Y}，求Z的密度函数。

第四章随机变量的数字特征

一、数学期望及其性质

（一）数学期望的定义

1、离散型数学期望—设X的分布律为P{X?

xk}?

pk（k?

1,2,L），则EX?

xkpk。

2、连续型数学期望—设X的概率密度为f（x），则其数学期望为

EX?

xf（x）dx。

3、二维离散型随机变量的数学期望—设离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为

P{X?

xi,Y?

yj}?

pij（i?

1,2,L;j?

1,2,L），Z?

（X,Y），则

EZ?

（xi,yj）pij。

4、二维连续型随机变量的数学期望—设二维连续型随机变量（X,Y）的密度为f（x,y），Z?

（X,Y），则

EZ?

dx?

（x,y）f（x,y）dy。

（二）数学期望的性质

1、E（C）?

C。

2、E（kX）?

kEX。

3、E（X?

Y）?

EX?

EY。

4、E（aX?

bY）?

aEX?

bEY。

5、若随机变量X,Y相互独立，则E（XY）?

EX?

EY。

二、方差的定义及性质

（一）方差的定义—DX?

E（X?

EX）2。

（二）方差的计算公式—DX?

EX2?

（EX）2。

（三）方差的性质

1、D（C）?

0。

2、D（kX）?

k2DX。

3、设随机变量X,Y相互独立，则D（X?

Y）?

DX?

DY，D（aX?

bY）?

a2DX?

b2DY。

三、常见随机变量的数学期望和方差

1、二项分布：

X~B（n,p）,EX?

np,DX?

npq。

2、泊松分布：

X~?

（?

）,EX?

DX?

。

3、均匀分布：

X~U（a,b）,EX?

DX?

（b?

a）2

。

4、正态分布：

X~N（?

2）,EX?

DX?

2。

四、协方差与相关系数

（一）定义

1、协方差—Cov（X,Y）?

E（X?

EX）（Y?

EY）。

2、相关系数—?

XY?

cov（X,Y）

，若?

0，称随机变量X,Y不相关。

（二）协方差的计算公式：

Cov（X,Y）?

E（XY）?

EX?

（二）性质

1、Cov（X,X）?

DX。

2、若X,Y独立，则Cov（X,Y）?

0。

3、Cov（X,Y）?

Cov（Y,X），4、Cov（aX,bY）?

abCov（X,Y）。

5、Cov（aX?

bY,Z）?

aCov（X,Z）?

bCov（Y,Z）。

6、D（X?

Y）?

DX?

DY?

2Cov（X,Y）。

例题选讲

一、填空题

1、设随机变量X,Y相互独立，且DX?

3,DY?

2，则D（3X?

2Y）?

。

2、随机变量X~E（?

），则P{X?

DX}?

。

3、设X,Y独立同分布，且都服从N（0,1），则E|X?

Y|?

D|X?

Y|?

。

4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为0.4，则EX2?

。

5、设随机变量X的密度为f（x）?

2x?

1，则EX?

DX?

。

6、设随机变量X服从参数为?

的泊松分布，且E[（X?

1）（X?

2）]?

1，则?

。

二、解答题

0,Y?

1、设Y~E

（1），Xk?

1,Y?

（k?

1,2），

（1）求（X1,X2）的联合分布律；

（2）E（X1?

X2）。

101?

01?

2、设X与Y的概率分布为X~?

11?

Y~?

，且P{XY?

0}?

1，

24?

（1）求X,Y的联合分布律；

（2）问X,Y是否相互独立？

为什么？

1,U?

3、设U~U[?

2,2],X?

1,U?

，求

1,U?

（1）X,Y的联合分布律；

（2）D（X?

Y）。

4、试验成功的概率为

3，失败的概率为1，独立重复试验直到成功2次为止，以X表示所需要进行的试

验次数，求X的概率分布与数学期望。

1cosx,0?

5、设X的密度函数为f（x）?

，对X独立

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