北师大七下数学整式的运算分节讲义与练习.docx

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北师大七下数学整式的运算分节讲义与练习

1.1整式

【学习目标】

了解单项式、多项式、整式的概念

【预习设计】

1.单项式-7xy2的系数是，次数是。

2.多项式-2a2b-3a+5b2+2是由项组成，分别是，该多项式的次数是。

3.下列各式中哪些是单项式？

哪些是多项式？

x2+1

+4ab2

-1-5x0

【学习探究】

一、学前准备

1.单项式的概念

单项式：

数与字母的，这样的代数式叫做单项式。

注意：

单独一个数或一个字母也是单项式。

单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的叫做这个单项式的次数。

单项式的系数：

单项式中的数字因数。

2.多项式的概念

多项式：

几个单项式的叫做多项式。

多项式的次数：

一个多项式中，次数最高的的次数，叫做这个多项式的次数。

多项式的项：

多项式中每个单项式叫做多项式的项。

3.整式的概念

整式：

与多项式统称为整式。

二、师生互动

例题1、下列各式是否是单项式，如果是，请指出它的系数和次数；如果不是，请说明理由。

（1）x+3；

（2）πx2；（3）-

a2b2；（4）-

；

（5）-

；（6）xy；（7）

（8）-abc

例题2、指出下列多项式的项和次数

（1）a3+a2b-ab2+b3；

（2）3n3+2n2-1

例题3、判断下列各式哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式。

（1）-3xy2;

（2）2x3+1;（3）

（x+y+1）;（4）-a;（5）0;

（6）

；（7）

;（8）

;（9）x2+

-1;（10）

三、拓展延伸

例题1、指出多项式

+y的项。

例题2、某花店每枝玫瑰的价格是4元，每枝兰花的价格是8元，小红买了a枝玫瑰，b枝兰花，她一共花了多少钱？

例题3、已知（a-2）x3yb+2是关于x,y的5次单项式，则a,b应满足什么条件？

1.2整式的加减

【学习目标】

掌握整式的加减运算步骤并能灵活地进行整式的加减运算

【预习设计】

1.化简：

（1）a+b+（a-b）=

（2）（2x-3y）+（5x+4y）=

（3）（8a-7b）-（4a-5b）=（4）m+n-（m-n）=

2.计算：

（1）（3x3-4x2+6）+（）=-x3+3x2-5x+7

（2）（）-（-3mn-m2）=2m2+4mn+n2

【学习探究】

一、学前准备

1.合并同类项法则：

2.去括号法则：

3.整式加减的一般步骤

说明：

几个整式相加减，通常用括号把每个整式括起来，再用加减连接。

一般步骤：

（1）根据题意列代数式；

（2）如果遇到括号，按去括号法则先去括号；（3）合并同类项。

4.较复杂的整式加减运算

易错点：

去括号时，括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号后，里面只改变一项的符号，其他没有变号。

易混点：

（1）去括号时，括号前面有数字，出现漏乘的现象。

（2）合并同类项时容易出现找错、漏同类项或是系数相加减时出现错误。

二、师生互动

例题1、（见北师大P8例题1）

例题2、（见北师大P10例题2）

例题3、已知多项式3x4-5x2-3与另一个多项式的差为2x2-x3-5+3x4，求另一个多项式。

三、训练测评

见北师大P9随堂练习，习题1.2知识技能1题、2题和P12习题1.3知识技能1题。

四、拓展延伸

例题1、已知：

A=5a+3b,B=3a2-2a2b,C=a2+7a2b-2，当a=1，b=2时，求A-2B+3C的值。

例题2、证明：

的值与x无关。

例题3、（见北师大P12习题1，3，知识技能2题）

【课后反思】

1.3同底数幂的乘法

【学习目标】

理解同底数幂的意义；掌握同底数幂的乘法运算性质

【预习设计】

法则：

am·an=（）

即：

同底数幂相乘，底数，指数.

1.计算：

a2·a3=（-x）2·x3=

2.判断:

m5·m=m6（）b3+b3=b6（）

（-5）4×（-5）4=58（）（-7）4×（-7）3=77（）

【学习探究】

一、学前准备

1.同底数冥的定义

定义：

几个相同因数a相乘，即，记作an，读作a的n次幂，其中a叫做底数，n叫做。

注意：

底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.

2.同底数幂的乘法

法则：

am·an=am+n（m,n都是正整数）.即同底数幂相乘，底数，指数。

注意：

（1）同底数幂的乘法性质的表达式中，左边：

两个幂的底数相同，且是相乘关系；右边：

得到一个幂，且底数不变，指数相加

（2）运用这个性质，也可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来的指数。

推广：

当三个或三个以上同底数幂相乘时；am·an·ap=（m,n,p都是正整数）3.法则的逆用：

am+n=（m,n为正整数）

二、师生互动

例题1、（见北师大P14例题1）

例题2、（见北师大P15例题2）

例题3、计算下列各式：

（1）100·10n·1000;

（2）22·212-8·211;

（3）299·（-2）100（4）（a-b）2（b-a）2（b-a）3

四、拓展延伸

例题1、计算

（1）x5·x3-3x7·x;

（2）（x+y）2（y+x）7;

（3）am·am-3+a2m-4·a;（4）（x-y）2（y-x）3

例题2、已知：

32x+1=243，求x的值。

（★）例题3、当m为偶数时，探索（a-b）m（b-a）n与（b-a）m+n之间的关系。

1.4幂的乘方与积的乘方

【学习目标】

理解幂的乘方与积的乘方的意义；熟练的进行同底数幂的乘方与积的乘方的运算。

【预习设计】

1.计算：

（x2）3=〔（-x）2〕3=

（-x2）3=-（x2）3=

2.计算：

（2a）5=（x2y）6=

（3×105）2=24×54=

【学习探究】

一、学前准备

1.同底数幂的乘法法则：

2.幂的乘方法则：

（am）n=（m,n为正整数）

幂的乘方，底数，指数。

3.积的乘方法则：

（ab）n=（m,n为正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的.

二、师生互动

例题1、（见北师大P18例题1）

例题2、（见北师大P20例题2、例题3）

三、训练测评

见北师大P18随堂练习、习题1.5全部及P20随堂练习，习题全部

四、拓展延伸

例题1、计算

（1）（-5a6）2+（-3a3）3·a3;

（2）（-

）2009·（1

）2008

例题2、已知am=2,an=3,求am+3n的值。

（★）例题3、比较355,444,533的大小。

【课后反思】

1.5同底数幂的除法

【学习目标】

理解同底数幂的除法意义；熟练地进行同底数幂的除法运算。

【预习设计】

1.计算：

（1）a7÷a4=

（2）（-x）6÷x3=

（3）（xy）4÷（xy）=（4）7-2=

（5）（π-3.14）0=

2.已知5m=6,5n=3,求5m-n的值

【学习探究】

一、学前准备

1.法则：

am÷an=（m,n为正整数）

同底数幂相除，底数，指数。

2.法则的逆用：

am-n=（a≠0）

3.零指数幂与负整数指数幂：

（1）a0=（a≠0）

（2）a-p==（a≠0,p为正整数）

二、师生互动

例题1、（见北师大P23例题1）

例题2、（见北师大P24例题2）

三、训练测评

见北师大P24习题1.7知识技能与数学理解

四、拓展延伸

例题1、计算

（1）（x-y）7÷（y-x）6;

（2）（x2·x3）÷（x·x4）（x≠0）

（3）［（-x）3·x2n-1］÷［x2n·（-x）2］（x≠0）

例题2、用小数表示下列各数

（1）2×10-5

（2）7.6×100（3）10-3×2-3（4）-1.21×10-4

（★）例题3、已知：

10m=4,10n=5，求102m-3n的值。

（★）例题4、求下列各式的中的x的值

（1）3x=

（2）（-2）x=-

1.6整式的乘法

【学习目标】

会进行简单的整式乘法运算；体会乘法分配律的作用和转化思想。

【预习设计】

1.计算：

（1）-3a·（2b）=

（2）1.5x2·（-2x3）=

（3）（25×106）·（4×102）=

（4）（-

a2bc）·

ab2c·（-

abc2）=.

2.计算：

（1）3a（5a-2b）=（x-3y）·（-6x）=

（3）-2（1-

）-4x（2-

）（4）2x2（-3xy2）-x（x2y2-2x）

计算：

（1）（x-1）（x+1）=

（2）（a-b）（c-d）=

（3）（4y-1）（y-5）（4）（2a+b）2

【学习探究】

一、学前准备

1.单项式乘以单项式：

2.单项式乘以多项式：

3.多项式乘以多项式：

二、师生互动

例题1、（见北师大P27例题1）

【变式练习】：

见北师大P27随堂练习和习题1.8知识技能1题

例题2、（见北师大P29例题2）

【变式练习】：

见北师大P30习题1.9知识技能

例题3、（见北师大P32例题3）

【变式练习】：

见北师大P33随堂练习和习题1.10知识技能

三、拓展延伸

例题1：

（x-2y）（x2-2xy+4y2）=。

例题2：

长方形的一边长为3m+2n，另一边长比它长m-n，求长方形的面积。

【课后反思】

1.7平方差公式

【学习目标】

1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；

2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算；

3、了解平方差公式的几何背景。

【预习设计】

1、计算：

（1）（a+3b）（a-3b）=

（2）（3+2a）（-3+2a）=

（3）（x+2）（x2+4）（x-2）=.

2、判断：

（1）（2a+b）（2b-a）=4a2-b2（）

（2）（

x+1）（

x-1）=

x2-1（）

（3）（3x-y）（-3x+y）=9x2-y2（）

（4）（-2x-y）（-2x+y）=4x2-y2（）

（5）（a+2）（a-3）=a2-6（）

（6）（x+3）（y-3）=xy-9（）

【学习探究】

一、学前准备

1.平方差公式：

.

2.平方差公式的逆用：

a2-b2=

二、师生互动

例1（见北师大P35例1）

例2（见北师大P38例3）

三、训练测评

1.北师大P36随堂练习1.计算

2.北师大P36知识技能1.计算

3.北师大P38随堂练习1.计算

四、拓展延伸

计算：

（2a+3）2-（2a-3）2

【课后反思】

1.8完全平方公式

【学习目标】

1.理解并掌握完全平方公式，能够运用它进行简便运算

2.能够灵活运用完全平方公式计算化简

【预习设计】

1.填空：

（1）（2a+3b）2=（）2+2（）（）+（）2

=.

（2）（x-

y）2=（）2-2（）（）+（）2

=.

2.计算：

（x+6）2=.（y-5）2=.

【学习探究】

一、学前准备

1.完全平方公式：

（a+b）2=（a-b）2=

2.完全平方式：

形如的式子.

3.完全平方公式的逆用：

a2±2ab+b2=.

4.完全平方公式的变形公式：

（1）a2+b2=（a+b）2-;

（2）a2+b2=（a-b）2-.

5.和的完全平方与差的完全平方间的关系：

（1）（a+b）2=（a-b）2+;

（2）（a-b）2=（a+b）2-;

二、师生互动.

例1.教材P41例1

例题2.教材P44例2

例题3.①②（2a+b+c）（2a+b-c）

例题4.化简求值,其中a=-

（★）例题5.x2+y2=25,x+y=7,且x＞y,则x-y=.

三、训练测评

计算

1.（

x+

y）22.（a+b+3）（a+b-3）

3.（-cd+

）24.（x+5）2-（x-2）（x-3）

5.9626.2012

7.（x-

）2（x+

）2-（x2+

）2

四、拓展延伸

1.已知x2+y2+13-4x+6y=0,求（2x-y）2-2（2x-y）（x+2y）+（x+2y）2的值。

2.已知m+

=5,求下列各式的值：

（1）m2+

（2）m4+

【课后反思】

1.9整式的除法

【学习目标】

1.理解并掌握单项式除以单项式的法则，能熟练地进行计算。

2.理解并掌握多项式除以单项式的法则，能熟练计算。

3.熟练的进行多项式的混合运算。

【预习设计】

1.（8m2n2）÷（2m2n）=2.（4x2y3）÷（-

xy）2=

3.（xy3-2xy）÷（xy）=4.（4x2y+2xy2）÷（2xy）=

【学习探究】

一、学前准备

1.单项式相除，把系数、同底数幂分别后，作为商的；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个.

2.多项式除以单项式：

先把这个多项式的分别除以，再把除得的商.

二、师生互动

例题1、

（1）（10a4b3c2）÷（5a3bc）

（2）（2x2y）3·（-7xy2）÷（14x4y3）

（3）（2a+b）4÷（2a+b）2

例题2、

（1）（27a3-15a2+6a）÷（3a）

（2）（9x2y-6xy2）÷（3xy）

（3）3x2y-xy2+

xy）÷（-

xy）

例题3、某农场所要在长1.2×105cm，宽2.4×104cm的实验基地上培育新品种粮食，先培育每种新品种要边长为1.2×104cm的正方形试验田，问这块基地最多能培育几种新品粮食？

三、训练测评

1.（3m2n3）÷（mn）22.（2x2y）3÷（6x3y2）

3.（6c2d-c3d3）÷（-2c2d）4.（4x2y+3xy2）÷（7xy）

5．已知2x-y=10,求代数式［（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）］÷（4y）的值.

【课后反思】

第一章整式的运算（专题复习）

一、学习目标

1.了解整式的概念，整数指数幂的意义以及基本性质。

2.能进行简单的整式加减运算，会进行简单的整式乘法、除法运算。

3.推导乘法公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2;（a+b）2=a2+2ab+b2；了解公式的几何背景，并能进行简单运算。

二、本章知识结构

三、专题讲解

（一）思想方法归纳:

1．整体思想：

（1）已知m2+m-1=0，求m3+2m2+2006的值.

（2）（x+ay）（x+by）=x2-4xy+6y2,求代数式3（a+b）-2ab的值.

2．分类讨论：

若多项式（m-2）xm+2x-3（x≠0）是一次整式，则m的值是___________.

3．逆向思维：

（1）已知3m=6,9n=2,求32m-4n+1的值

（2）计算：

（1-

）（1-

）（1-

）...（1-

）（1-

）

4．巧用公式：

计算

（1）

（2）（x-

y）2（x+

y）2

（3）（x+y）2=16,（x-y）2=4,求xy的值

（二）根据图形面积列恒等式。

（１）如图，用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中阴影部分的面积的不同表示方法写出一个关于a,b的恒等式：

（2）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）。

图甲图乙

图甲图乙

（三）“配方法”的运用

（1）已知a2+b2-2a+6b+10=0，则a2006-

的值是.

（2）已知a,b,c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，试判断△ABC的形状

（四）式与应用题

（2003广州）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B2种不同规格的火车厢共40节，使用A型车厢每节运费6000元，使用B型车厢每节8000元。

（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列火车挂A型车厢x节，试写出x与y的关系；

（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A,B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？

（3）在上述方案中，哪种方案运费最少？

最少运费为多少元？

【课后反思】