《有理数》教学设计.docx

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《有理数》教学设计

《有理数》教学设计

第一章有理数在生活、生产和科研中经常遇到数的表示和运算等问题。

例如：

（1）北京冬季里某一天的气温为－3℃∽3℃。

“－3”的含义是什么？

这一天北京的温差是多少？

（2）某年我国花生产量比上一年增长1.8%油菜籽产量比上一年增长－2.7%。

“增长－2.7%”表示什么意思？

（3）夏新同学通过捡、卖废品既保护了环境又积攒了零花钱。

下表是他某个月的部分收支情况（单位：

元）。

收支情况表___年___月日期收入（＋）或支出（－）结余注释2日3.58.5卖废品8日－4.54.0买圆珠笔、铅笔芯12日－5.2－1.2买科普书同学代付这里“结余－1.2”是什么意思？

怎么得到的？

上面的例子涉及“3－（－3）=？

”等新问题。

本章我们将在小学认识负数的基础上把数的范围扩充到有理数并在这个范围内研究数的表示、大小比较和运算等。

有了这些知识上述问题就能顺利解决了。

1.1正数和负数数的产生和发展离不开生活和生产的需要。

图1.1--1本章引言中表示温度、产量增长率、收支情况时既要用到数31.8%3.5等还要用到数－3－2.7%－4.5－1.2等它们的实际意义分别是：

零下3摄氏度减少2.7%支出4.5元亏空1.2元。

我们知道像31.8%3.5这样大于0的数叫做正数。

像－3－2.7%－4.5－1.2这样在正数前加上符号“－”（负）的数叫做负数。

有时为了明确表达意义在正数前面也加上“＋”（正）号。

例如＋3＋2＋0.5＋…就是320.5…。

一个数前面的“＋”“－”号叫做它的符号。

0既不是正数也不是负数。

例

（1）一个月内小明体重增加2kg小华体重减少1kg小强体重无变化写出他们这个月的体重增长值；

（2）某年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：

美国减少6.4%德国增长1.3%法国减少2.4%英国减少3.5%意大利增长0.2%中国增长7.5%。

写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率。

解：

（1）这个月小明体重增长2kg小华体重增长－1kg小强体重增长0kg。

（2）六个国家这一年商品进出口总额的增长率是：

美国－6.4%德国1.3%法国－2.4%英国－3.5%意大利0.2%中国7.5%。

归纳如果一个问题中出现相反意义的量我们可以用正数和负数分别表示它们。

练习1、20__年我国全年平均降水量比上年增加108.7mm20____年比上年减少81.5mm20__年比上年增加53.5mm。

用正数和负数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量。

2、如果把一个物体向右移动1m记作移动+1m那么这个物体又移动了-1m是什么意思?

如何描述这时物体的位置?

把0以外的数分为正数和负数它们表示具有相反意义的量。

随着对正数、负数意义认识的加深正数和负数在实践中得到了广泛应用。

在地形图上表示某地的高度时需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为0m）通常用正数表示高于海平面的某地的海拔用负数表示低于海平面的某地的海拔。

例如珠穆朗玛峰的海拔为8844.43m吐鲁番盆地的海拔为－155m。

记账时通常用正数表示收入款额用负数表示支出款额。

思考图1.1-2图1.1-3上面图中的正数和负数的含义是什么？

你能再举一些用正数、负数表示数量的实际例子吗？

练习1、读下列各数并指出其中哪些是正数哪些是负数。

－12.5+0－3.14120－1.732－。

2、如果80m表示向东走80m那么－60m表示_________。

3、如果水位升高3m时水位变化记作+3m那么水位下降3m时水位变化记作_________m水位不升不降时水位变化记作________m。

4、月球表面的白天平均温度零上126℃记作________℃夜间平均温度零下150℃记作________℃。

复习巩固1、下面各数哪些是正数哪些是负数？

5－0,0.56－3－25.8－0.0001＋2－600.2、某蓄水池的标准水位记为0m如果用正数表示水面高于标准水位的高度那么

（1）0.08m和－0.2m各表示什么？

（2）水面低于标准水位0.1m和高于标准水位0.23m各怎样表示？

3、“不是正数的数一定是负数,不是负数的数一定是正数”的说法对吗？

为什么？

综合运用4、如果把一个物体向后移动5m记作移动－5m那么这个物体又移动+5m是什么意思？

这时物体离它两次移动前的位置多远？

5、测量一幢楼的高度七次测得的数据分别是:

79.4m80.6m80.8m79.1m80m79.6m80.5m。

这七次测量的平均值是多少？

以平均值为标准用正数表示超出部分用负数表示不足部分它们对应的数分别是什么？

6、科学实验表明,原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷。

物理学规定原子核所带电荷为正电荷氢原子中的原子核与电子各带1个电荷把它们所带电荷用正数和负数表示出来。

拓广探索7.某地一天中午12时的气温是7℃过5h气温下降了4℃,又过7h气温又下降了4℃第二天0时的气温是多少?

8.某年,一些国家的服务出口额比上年的增长率如下:

美国德国英国中国日本意大利－3.4%－0.9%－5.3%2.8%－7.3%7.0%这一年,上述六国中哪些国家的服务出口额增长了?

哪些国家的服务出口额减少了?

哪国增长率最高?

哪国增长率最低?

1.2有理数1.2。

1有理数思考回想一下我们认识了哪些数？

我们学过的数有:

正整数如123…；零0；负整数如－1－2－3…；正分数如0.15.32…；负分数如－0.5－－－－150.25…；正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。

整数和分数统称为有理数（rationalnumber）。

从小学开始我们首先认识了正整数后来又增加了0和正分数在认识了负整数和负分数后对数的认识就扩充到了有理数范围。

练习1、所有正数组成正数集合所有负数组成负数集合。

把下面的有理数填入它属于的集合的圈内：

15－－5－0.1－5.32－80,123,2.333.正数集合负数集合2、指出下列各数中的正数、负数、整数、分数：

－15,6－2－0.9100.63,－4.95.1.2.2数轴问题在一条东西向的马路上有一个汽车站牌汽车站牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树汽车站牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆试画图表示这一情境。

如图1.2-1画一条直线表示马路从左到右表示从西到东的方向在直线上任取一个点O表示汽车站牌的位置规定1个单位长度（线段OA的长）代表1m长。

于是在点O右边与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C分别表示柳树和杨树的位置；点O左边与点O距离3个和4.8个单位长度的点D和点E分别表示槐树和电线杆的位置。

图1.2-1思考怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系（方向、距离）？

上面的问题中“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义。

如图1.2-2在一条直线上取一个点O为基准点用0表示它再用负数表示点O左边的点用正数表示点O右边的点。

这样我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点。

图1.2-2用上述方法我们就可以把这些数、电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了。

例如－4.8表示位于汽车站牌西侧4.8m处的电电线杆等等。

思考图1.2-3中的温度计可以看作表示正数、O和负数的直线。

它和图1.2-2有什么共同点有什么不同点？

在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这图1.2-3条直线叫做数轴（numberaxis）它满足以下要求：

（1）在直线上任取一个点表示数0这个点叫做原点（origin）；

（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向,从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…；从原点向左,用类似方法依次表示－1－2－3,…（图1.2-4）。

图1.2-4分数或小数也可以用数轴上的点表示,例如从原点向右6.5个单位长度的点表示小数6.5,从原点向左个单位长度的点表示分数－（图1.2-4）。

归纳一般地设a是一个正数则数轴上表示数a的点在原点的____边与原点的距离是____个单位长度；表示数－a的点在原点的____边与原点的距离是____个单位长度。

用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用以它作基础可以借助图直观地表示很多与数相关的问题。

练习1、如图写出数轴上点ABCDE表示的数。

（第1题）2、画出数轴并表示下列有理数:

1.5,－22,－2.5－0。

3、数轴上如果表示数a的点在原点的左边,那么a是一个____数；如果表示数b的点在原点的右边那么b是一个____数。

1.2.3相反数探究在数轴上,与原点的距离是2的点有几个?

这些点各表示哪个数?

设a是一个正数。

数轴上与原点的距离等于a的点有几个?

这些点表示的数有什么关系？

可以发现数轴上与原点距离是2的点有两个它们表示的数是－2和2。

归纳一般地设a是一个正数数轴上与原点的距离是a的点有两个它们分别在原点左右表示－a和a（图1.25）我们说这两点关于原点对称。

像2和－25和－5这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数（oppositenumber）。

这就是说2的相反数是－2－2的相反数是2；5的相反数是－5,－5的相反数是5。

一般地a和－a互为相反数。

特别地,0的相反数是O。

这里,a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是0。

例如：

当a=1时,－a=－1,1的相反数是－1；同时,－1的相反数是1。

思考设a表示一个数－a定是负数吗？

你能借助数轴说明－（－5）=＋5吗？

容易看出,在正数前面添上“－”号,就得到这个正数的相反数。

在任意一个数前面添上“－”号,新的数就表示原数的相反数。

例如－（＋5）=－5－（－5）=＋5－0=0。

练习1、判断下列说法是否正确：

（1）－3是相反数；

（2）＋3是相反数；（3）3是－3的相反数；（4）－3与＋3互为相反数。

2、写出下列各数的相反数：

6－8－3.9－100,0。

3.如果a=－a那么表示a的点在数轴上的什么位置？

4.化简下列各数：

－（－68）－（＋0.75）－（－）－（＋3.8）。

1.2.4绝对值两辆汽车从同一处O出发分别向东、西方向行驶10km,到达A,B两处（图1.2-6）。

它们的行驶路线相同吗?

它们的行驶路程相等吗?

图1.2-6一般地数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolutevalue）,记作|a|。

例如图1.2-6中A,B两点分别表示10和－10,它们与原点的距离都是10个单位长度,所以10和－10的绝对值都是10,即|10|=10|－10|=10。

显然|0|=0由绝对值的定义可知：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即

（1）如果a>0,那么|a|=a；

（2）如果a=0,那么|a|=0；（3）如果a6－8－3.9－100,0。

2、判断下列说法是否正确：

（1）符号相反的数互为相反数；

（2）一个数的绝对值越大表示它的点在数轴上越靠右；（3）一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远；（4）当a≠0时|a|总是大于0。

3、判断下列各式是否正确:

（1）|5|=|－5|；

（2）－|5|=|－5|；（3）-5=|－5|。

我们已知两个正数（或0）之间怎样比较大小例如03,…。

任意两个有理数（例如－4和－3－2和0－1和1）怎样比校大小呢？

思考图1.2-7给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温其中最低气温是多少？

最高气温呢?

你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？

图1.2-7这七天中每天的最低气温按从低到高排列为－4,－3－2－1,0,1,2.按照这个顺序排列的温度,在温度计上所对应的点是从下到上的。

按照这个顺序把这些数表示在数轴上表示它们的各点的顺序是从左到右的（图1.2-8）。

图1.2-8数学中规定：

在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数。

由这个规定可知－6

（2）两个负数绝对值大的反而小。

例如1______0,0______－11______－1－1______－2。

例比较下列各对数的大小

（1）－（－1）和－（＋2）；

（2）－和－；（3）－（－0.3）和|－|解:

（1）先化简,－（－1）=1,－（＋2）=－2.因为正数大于负数,所以1>-2,即－（－1）>－（＋2）

（2）这是两个负数比较大小,先求它们的绝对值。

|－|=和|－|==。

因为－。

（3）先化简,－（－0.3）=0.3|－|=。

因为0.3同号两数比较大小,要考虑它们的绝对值。

练习比较下列各对数的大小：

（1）3和－5；

（2）－3和－5；（3）－2.5和－|－2.25|；（4）－和－。

习题1.2复习巩固1、把下面的有理数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）；15－0,0.15,－30－12.8＋20－60.正数：

{…}负数:

{…}2、在数轴上表示下列各数：

－5＋3－3.5,0,－0.75.3、在数轴上,点A表示－3,从点A出发,沿数轴移动4个单位长度到达点B则点B表示的数是多少?

4、写出下列各数的相反数并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来：

－4,＋2,－1.5,0－.5、写出下列各数的绝对值：

－125,＋23,－3.5,0,－－0.05.上面的数中哪个数的绝对值最大?

哪个数的绝对值最小?

6、将下列各数按从小到大的顺序排列,并用“