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9平面向量
9平面向量.txt我退化了，到现在我还不会游泳，要知道在我出生之前，我绝对是游的最快的那个第五章平面向量、解三角形
第一节平面向量
第一部分五年高考荟萃
2009年高考题
一、选择题
1.（2009年广东卷文）已知平面向量a=，b=，则向量（）
A平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线
答案C
解析,由及向量的性质可知,C正确.
2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：
牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（）A.6B.2C.D.
答案D
解析，所以，选D.
3.（2009浙江卷理）设向量，满足：
，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（）w
A．B.4C．D．
答案C
解析对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点,
对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能
实现．
4.（2009浙江卷文）已知向量，．若向量满足，，则（）
A．B．C．D．
答案D
解析不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有
【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．
5.（2009北京卷文）已知向量，如果
那么（）
A．且与同向B．且与反向
C．且与同向D．且与反向
答案D
.w解析本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算考查.
∵a，b，若，则cab，dab，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，
即cd且c与d反向，排除C，故选D.
6.（2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是（）
A．三角形区域B．四边形区域
C．五边形区域D．六边形区域
答案D
解析本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中，即点P可以是点A.
7.（2009北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR）,dab,如果cd，那么（）
A．且c与d同向B．且c与d反向
C．且c与d同向D．且c与d反向
答案D
解析本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考
查.
取a，b，若，则cab，dab，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，
即cd且c与d反向，排除C，故选D.
8.（2009山东卷理）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A.B.C.D.
答案B
解析:
因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。
【命题立意】:
本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答.
9.（2009全国卷Ⅱ文）已知向量a=（2,1），a·b=10，︱a+b︱=，则︱b︱=
A.B.C.5D.25
答案C
解析本题考查平面向量数量积运算和性质，由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，
得|b|=5选C.
10.（2009全国卷Ⅰ理）设、、是单位向量，且·＝0，则的最
小值为（）
A.B.C.D.
答案D
解析是单位向量
.
11.（2009湖北卷理）已知是两个向量集合，则（）
A．｛〔1，1〕｝B.｛〔-1，1〕｝C.｛〔1，0〕｝D.｛〔0，1〕｝
答案A
解析因为代入选项可得故选A.
12.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量，则（）
A.B.C.D.
答案C
解析,故选C.
13.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为，，则（）
A.B.C.4D.2
答案B
解析由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴
14.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（）
A.重心外心垂心B.重心外心内心
C.外心重心垂心D.外心重心内心
答案C
（注：
三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
解析
15.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=（）
A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b
答案B
解析由计算可得故选B
16.（2009湖南卷文）如图1，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）
A．
B．
C．
D．
答案A
图1
解析得.
或.
17.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a＝（2,0）,|b|＝1，则|a＋2b|等于（）
A.B.2C.4D.12
答案B
解析由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴
18.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足，则（）
A．150°B.120°C.60°D.30°
答案B
解析本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。
解由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。
19.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于（）
A.B.C.D.
答案A.
解析由知,为的重心,根据向量的加法,则=
20.（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为（）
A.B.C.D.
答案A
解析向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：
＝，故选.A.
21.（2009湖南卷理）对于非0向时a,b,"a//b"的正确是（）
A．充分不必要条件B.必要不充分条件
C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案A
解析由，可得，即得，但，不一定有，所以""是"的充分不必要条件。
22.（2009福建卷文）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，∣∣=∣∣,则∣?
∣的值一定等于（）
A．以，为邻边的平行四边形的面积
B.以，为两边的三角形面积
C．，为两边的三角形面积
D.以，为邻边的平行四边形的面积
答案A
解析假设与的夹角为，∣?
∣=︱︱·︱︱·∣cos<，>∣
=︱︱·︱︱?
∣cos（90）∣=︱︱·︱︱?
sin,即为以，为邻边的平
行四边形的面积.
23.（2009重庆卷理）已知，则向量与向量的夹角是（）
A．B．C．D．
答案C
解析因为由条件得
24.（2009重庆卷文）已知向量若与平行，则实数的值是（）
A．-2B．0C．1D．2
答案D
解法1因为，所以
由于与平行，得，解得。
解法2因为与平行，则存在常数，使，即
，根据向量共线的条件知，向量与共线，故
25.（2009湖北卷理）函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于（）
答案B
解析直接用代入法检验比较简单.或者设，根据定义，根据y是奇函数，对应求出，
26.（2009湖北卷文）函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f（x）,当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（）
A.B.C.D.
答案D
解析由平面向量平行规律可知，仅当时，
：
=为奇函数，故选D.
26.（2009广东卷理）若平面向量，满足，平行于轴，，则.
TWT答案（-1,0）-（-2,-1）=（-3,1）
解析或，则
或.
27.（2009江苏卷）已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积=.
答案3
解析考查数量积的运算。
28.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中,则
的最大值是________.
答案2
解析设
，即
∴
29.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R，则+=_________.0.w.w.k.
答案4/3
解析设、则,,
代入条件得
30.（2009江西卷文）已知向量，，，若则=．
答案
解析因为所以.
31.（2009江西卷理）已知向量，，，若∥，则=．
答案
解析
32.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，
则，.
图2
答案
解析作,设，
由解得故
33.（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点
A（－2，0），B（6，8），C（8,6）,则D点的坐标为___________.
答案（0，－2）
解析平行四边形ABCD中,
∴＝（－2,0）＋（8,6）－（6,8）＝（0,－2）
即D点坐标为（0,－2）
34.（2009年广东卷文）（已知向量与互相垂直，其中
（1）求和的值
（2）若，,求的值
解（１）,,即
又∵,∴,即,∴
又 ,
（2）∵
,,即
又,∴
35.（2009江苏卷）设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值;
（3）若，求证：
∥.
解析本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。
满分14分。
36.（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
解
（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，
∴.
（2）∵，，∴，
则，
37.（2009湖南卷文）已知向量
（1）若，求的值；
（2）若求的值。
解
（1）因为，所以
于是，故
（2）由知，
所以
从而，即，
于是.又由知，，
所以，或.
因此，或
38.（2009湖南卷理）在，已知，求角A，B，C的大小.
解设
由得，所以
又因此
由得，于是
所以，，因此
，既
由A=知，所以，，从而
或，既或故
或。
39.（2009上海卷文）已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
，.
（1）若//，求证：
ΔABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求ΔABC的面积.
证明：
（1）
即，其中R是三角形ABC外接圆半径，为等腰三角形
解
（2）由题意可知
由余弦定理可知，
2005-2008年高考题
一、选择题
1.（2008全国I）在中，，．若点满足，则（）
A．B．C．D．
答案A
2.（2008安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（）
A．（－2，－4）B．（－3，－5）C．（3，5）D．（2，4）
答案B
3.（2008湖北）设,,则（）
A. B.C.D.
答案C
4.（2008湖南）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与（）
A.反向平行B.同向平行
C.互相垂直D.既不平行也不垂直
答案A
5.（2008广东）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）
A．B．C．D．
答案B
6.（2008浙江）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是（）
A.1B.2C.D.
答案C
7.（2007北京）已知是所在平面内一点,为边中点,且，那么（ ）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
答案Ａ
8.（2007海南、宁夏）已知平面向量，则向量（ ）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
答案Ｄ
9.（2007湖北）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（）
A．B．C．D．
答案Ｂ
10.（2007湖南）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（）
A．B．C．D．
答案A
11.（2007天津）设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（ ）
Ａ．[-6，1]Ｂ．Ｃ．（-6，1]Ｄ．[-1，6]
答案Ａ
12.（2007山东）已知向量，若与垂直，则（）
A．B．C．D．4
答案Ｃ
13.（2006四川）如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（）
A.B.
C.D.
答案A
14.（2005重庆）设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于14.（）
A．（1，1）B．（－4，－4）C．－4D．（－2，－2）
答案B
二、填空题
15.（2008陕西）关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
答案②
16.（2008上海）若向量，满足且与的夹角为，则 ．
答案
17.（2008全国II）设向量，若向量与向量共线，则
答案2
18.（2008北京）已知向量与的夹角为，且，那么的值为
答案0
19.（2008天津）已知平面向量，．若，则_____________．
答案
20.（2008江苏），的夹角为，，则．
答案7
21.（2007安徽）在四面体中，为的中点，为的中点，则（用表示）．
答案
22.（2007北京）已知向量．若向量，则实数的值是
答案-3
23.（2007广东）若向量、满足的夹角为120°，则＝.
答案
24.（2005上海）直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________.
答案x+2y-4=0
25.（2005江苏）在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是________。
答案－2
三、解答题
26.（2007广东）已知△顶点的直角坐标分别为.
（1）若，求sin∠的值;
（2）若∠是钝角，求的取值范围.
解
（1）,当c=5时，
进而
（2）若A为钝角，则AB﹒AC=-3（c-3）+（-4）2<0解得c>
显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[，+）
第二部分三年联考题汇编
2009年联考题
一、选择题
1.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三）已知平面向量等于（）
A．9B．1C．－1D．－9
答案B
2.（2009昆明市期末）在△ABC中，
（）
A．B
C．D．1
答案B
3.（2009玉溪市民族中学第四次月考）已知向量反向，则m=（）
A．－1B．－2C．0D．1
答案A
4.（2009上海闸北区）已知向量和的夹角为，，且，则（）
A．B．C．D．
答案C
5．（湖北省八校2009届高三第二次联考文）已知、是不共线的，则、、三点共线的充要条件是：
（）
A．B．C．D．
答案D
6.（辽宁省沈阳二中2008-2009学年上学期高三期中考试）已知向量夹角的取值范围是（）
A．B．C．D．
答案C
二、填空题
7.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三）已知，且，则与的夹角为．
答案
8.（2009云南师大附中）设向量_________
答案
9.（2009冠龙高级中学3月月考）若向量与的夹角为，，则_________.
答案
10.（2009上海九校联考）若向量，则向量的夹角等于
答案
11.（天门市2009届高三三月联考数学试题文）给出下列命题
①非零向量、满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°；
②·＞0是、的夹角为锐角的充要条件；
③将函数y=|x-1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y=|x|；
④若（）·（）=0，则△ABC为等腰三角形
以上命题正确的是。
（注：
把你认为正确的命题的序号都填上）
答案①③④
12.（2009扬州大学附中3月月考）在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则实数m=．
答案－2或0
13.（2009丹阳高级中学一模）已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是
答案2
三、解答题
14.（山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三）已知向量m＝（，1），
n＝（，）。
（1）若m?
n=1,求的值;
（2）记f（x）=m?
n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足
（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围。
解（I）m?
n=
=
=
∵m?
n=1
∴
=
（II）∵（2a-c）cosB=bcosC
由正弦定理得
∴
∴
∵
∴，且
∴
∴
∴
又∵f（x）=m?
n＝，
∴f（A）=
故函数f（A）的取值范围是（1,）
15.（2009牟定一中期中）已知：
，（）.
（Ⅰ）求关于的表达式，并求的最小正周期；
（Ⅱ）若时，的最小值为5，求的值.
解（Ⅰ）......2分
.
的最小正周期是.
（Ⅱ）∵，∴.
∴当即时，函数取得最小值是.
∵，∴.
16.（2009玉溪一中期末）设函数
（Ⅰ）若，求x；
（Ⅱ）若函数平移后得到函数的图像，求实数m,n的值。
解
（1）
又
（2）平移后
为而
17.（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试）已知向量
（1）当时，求的值；
（2）求在上的值域．
解
（1），∴，∴
（5分）
（2）
∵，∴，∴
∴∴函数（10分）
18.（青岛市2009年高三教学统一质量检测）已知向量
，设函数.
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，，且的面积为，,求的值.
解（Ⅰ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
因为，所以，
，又
19.（黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测）已知△ABC的面积S满足
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最大值
解
（1）由题意知.
，
（2）
.
20.（2009广东江门模拟）如图4，已知点和
单位圆上半部分上的动点．
⑴若，求向量；
⑵求的最大值．
解依题意，，（不含1个或2个端点也对）
，（写出1个即可）---------3分
因为，所以---------4分，即-
解得，所以.
⑵，
------11分------12分
当时，取得最大值，.
21.（山东省滨州市2009年模拟）已知、、分别为的三边、、所对的角，向量，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，成等差数列，且，求边的长.
解（Ⅰ）
在中，由于，
又，
又，所以，而，因此.
（Ⅱ）由，
由正弦定理得
，
即，由（Ⅰ）知，所以
由余弦弦定理得，
，
22.（山东临沂2009年模拟）如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
（1）求关于θ的表达式;
（2）求的值域。
解：
（1）由正弦定理，得
（2）由，得
∴，即的值域为.
23.（山东日照2009年模拟）已知中，角的对边分别为，且满足。
（I）求角的大小；
（Ⅱ）设，求的最小值。
解（I）由于弦定理，
有
代入得。
即.
（Ⅱ），
由，得。
所以，当时，取得最小值为0，
24.（2009年宁波市高三"十校"联考）已知向量且，函数
（I）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（II）若，分别求及的值。
（I）解；
得到的单调递增区间为
（II）
25.（安徽省江南十校2009年高三高考冲刺）在中，
，记的夹角为.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最大值和最小值.
解
（1）由余弦定理知：
，又，
所以，又即为的取值范围；
（Ⅱ），因为
，所以，因此，.
9月份更新
一、选择题
1.（2009滨州一模）已知直线交于A、B两点，且，其中O为原点，则实数的值为
A．2B．－2C．2或－2D．或
答案C
2.（2009聊城一模）
在的面积等于（）
A．B．C．D．
答案A
3.（200
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