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9平面向量
9平面向量.txt我退化了,到现在我还不会游泳,要知道在我出生之前,我绝对是游的最快的那个第五章平面向量、解三角形
第一节平面向量
第一部分五年高考荟萃
2009年高考题
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知平面向量a=,b=,则向量()
A平行于轴B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴D.平行于第二、四象限的角平分线
答案C
解析,由及向量的性质可知,C正确.
2.(2009广东卷理)一质点受到平面上的三个力(单位:
牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为()A.6B.2C.D.
答案D
解析,所以,选D.
3.(2009浙江卷理)设向量,满足:
,,.以,,的模为边长构成三角形,则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为()w
A.B.4C.D.
答案C
解析对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,
对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能
实现.
4.(2009浙江卷文)已知向量,.若向量满足,,则()
A.B.C.D.
答案D
解析不妨设,则,对于,则有;又,则有,则有
【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查,很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.
5.(2009北京卷文)已知向量,如果
那么()
A.且与同向B.且与反向
C.且与同向D.且与反向
答案D
.w解析本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算考查.
∵a,b,若,则cab,dab,
显然,a与b不平行,排除A、B.
若,则cab,dab,
即cd且c与d反向,排除C,故选D.
6.(2009北京卷文)设D是正及其内部的点构成的集合,点是的中心,若集合,则集合S表示的平面区域是()
A.三角形区域B.四边形区域
C.五边形区域D.六边形区域
答案D
解析本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.如图,A、B、C、D、E、F为各边三等分点,答案是集合S为六边形ABCDEF,其中,即点P可以是点A.
7.(2009北京卷理)已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么()
A.且c与d同向B.且c与d反向
C.且c与d同向D.且c与d反向
答案D
解析本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考
查.
取a,b,若,则cab,dab,
显然,a与b不平行,排除A、B.
若,则cab,dab,
即cd且c与d反向,排除C,故选D.
8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点,,则( )
A.B.C.D.
答案B
解析:
因为,所以点P为线段AC的中点,所以应该选B。
【命题立意】:
本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答.
9.(2009全国卷Ⅱ文)已知向量a=(2,1),a·b=10,︱a+b︱=,则︱b︱=
A.B.C.5D.25
答案C
解析本题考查平面向量数量积运算和性质,由知(a+b)2=a2+b2+2ab=50,
得|b|=5选C.
10.(2009全国卷Ⅰ理)设、、是单位向量,且·=0,则的最
小值为()
A.B.C.D.
答案D
解析是单位向量
.
11.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合,则()
A.{〔1,1〕}B.{〔-1,1〕}C.{〔1,0〕}D.{〔0,1〕}
答案A
解析因为代入选项可得故选A.
12.(2009全国卷Ⅱ理)已知向量,则()
A.B.C.D.
答案C
解析,故选C.
13.(2009辽宁卷理)平面向量a与b的夹角为,,则()
A.B.C.4D.2
答案B
解析由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12
∴
14.(2009宁夏海南卷理)已知O,N,P在所在平面内,且,且,则点O,N,P依次是的()
A.重心外心垂心B.重心外心内心
C.外心重心垂心D.外心重心内心
答案C
(注:
三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)
解析
15.(2009湖北卷文)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=()
A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b
答案B
解析由计算可得故选B
16.(2009湖南卷文)如图1,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则()
A.
B.
C.
D.
答案A
图1
解析得.
或.
17.(2009辽宁卷文)平面向量a与b的夹角为,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于()
A.B.2C.4D.12
答案B
解析由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12
∴
18.(2009全国卷Ⅰ文)设非零向量、、满足,则()
A.150°B.120°C.60°D.30°
答案B
解析本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。
解由向量加法的平行四边形法则,知、可构成菱形的两条相邻边,且、为起点处的对角线长等于菱形的边长,故选择B。
19.(2009陕西卷文)在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于()
A.B.C.D.
答案A.
解析由知,为的重心,根据向量的加法,则=
20.(2009宁夏海南卷文)已知,向量与垂直,则实数的值为()
A.B.C.D.
答案A
解析向量=(-3-1,2),=(-1,2),因为两个向量垂直,故有(-3-1,2)×(-1,2)=0,即3+1+4=0,解得:
=,故选.A.
21.(2009湖南卷理)对于非0向时a,b,"a//b"的正确是()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案A
解析由,可得,即得,但,不一定有,所以""是"的充分不必要条件。
22.(2009福建卷文)设,,为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足与不共线,∣∣=∣∣,则∣?
∣的值一定等于()
A.以,为邻边的平行四边形的面积
B.以,为两边的三角形面积
C.,为两边的三角形面积
D.以,为邻边的平行四边形的面积
答案A
解析假设与的夹角为,∣?
∣=︱︱·︱︱·∣cos<,>∣
=︱︱·︱︱?
∣cos(90)∣=︱︱·︱︱?
sin,即为以,为邻边的平
行四边形的面积.
23.(2009重庆卷理)已知,则向量与向量的夹角是()
A.B.C.D.
答案C
解析因为由条件得
24.(2009重庆卷文)已知向量若与平行,则实数的值是()
A.-2B.0C.1D.2
答案D
解法1因为,所以
由于与平行,得,解得。
解法2因为与平行,则存在常数,使,即
,根据向量共线的条件知,向量与共线,故
25.(2009湖北卷理)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时,向量可以等于()
答案B
解析直接用代入法检验比较简单.或者设,根据定义,根据y是奇函数,对应求出,
26.(2009湖北卷文)函数的图像F按向量a平移到F/,F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,向量a可以等于()
A.B.C.D.
答案D
解析由平面向量平行规律可知,仅当时,
:
=为奇函数,故选D.
26.(2009广东卷理)若平面向量,满足,平行于轴,,则.
TWT答案(-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)
解析或,则
或.
27.(2009江苏卷)已知向量和向量的夹角为,,则向量和向量的数量积=.
答案3
解析考查数量积的运算。
28.(2009安徽卷理)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.
如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中,则
的最大值是________.
答案2
解析设
,即
∴
29.(2009安徽卷文)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,或=+,其中,R,则+=_________.0.w.w.k.
答案4/3
解析设、则,,
代入条件得
30.(2009江西卷文)已知向量,,,若则=.
答案
解析因为所以.
31.(2009江西卷理)已知向量,,,若∥,则=.
答案
解析
32.(2009湖南卷文)如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若,
则,.
图2
答案
解析作,设,
由解得故
33.(2009辽宁卷文)在平面直角坐标系xoy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点
A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为___________.
答案(0,-2)
解析平行四边形ABCD中,
∴=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2)
即D点坐标为(0,-2)
34.(2009年广东卷文)(已知向量与互相垂直,其中
(1)求和的值
(2)若,,求的值
解(1),,即
又∵,∴,即,∴
又 ,
(2)∵
,,即
又,∴
35.(2009江苏卷)设向量
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;
(3)若,求证:
∥.
解析本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。
满分14分。
36.(2009广东卷理)已知向量与互相垂直,其中.
(1)求和的值;
(2)若,求的值.
解
(1)∵与互相垂直,则,即,代入得,又,
∴.
(2)∵,,∴,
则,
37.(2009湖南卷文)已知向量
(1)若,求的值;
(2)若求的值。
解
(1)因为,所以
于是,故
(2)由知,
所以
从而,即,
于是.又由知,,
所以,或.
因此,或
38.(2009湖南卷理)在,已知,求角A,B,C的大小.
解设
由得,所以
又因此
由得,于是
所以,,因此
,既
由A=知,所以,,从而
或,既或故
或。
39.(2009上海卷文)已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量,
,.
(1)若//,求证:
ΔABC为等腰三角形;
(2)若⊥,边长c=2,角C=,求ΔABC的面积.
证明:
(1)
即,其中R是三角形ABC外接圆半径,为等腰三角形
解
(2)由题意可知
由余弦定理可知,
2005-2008年高考题
一、选择题
1.(2008全国I)在中,,.若点满足,则()
A.B.C.D.
答案A
2.(2008安徽)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,,则()
A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)
答案B
3.(2008湖北)设,,则()
A. B.C.D.
答案C
4.(2008湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与()
A.反向平行B.同向平行
C.互相垂直D.既不平行也不垂直
答案A
5.(2008广东)在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则()
A.B.C.D.
答案B
6.(2008浙江)已知,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是()
A.1B.2C.D.
答案C
7.(2007北京)已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么( )
A.B.
C.D.
答案A
8.(2007海南、宁夏)已知平面向量,则向量( )
A.B.
C.D.
答案D
9.(2007湖北)设,在上的投影为,在轴上的投影为2,且,则为()
A.B.C.D.
答案B
10.(2007湖南)设是非零向量,若函数的图象是一条直线,则必有()
A.B.C.D.
答案A
11.(2007天津)设两个向量和,其中为实数.若,则的取值范围是( )
A.[-6,1]B.C.(-6,1]D.[-1,6]
答案A
12.(2007山东)已知向量,若与垂直,则()
A.B.C.D.4
答案C
13.(2006四川)如图,已知正六边形,下列向量的数量积中最大的是()
A.B.
C.D.
答案A
14.(2005重庆)设向量a=(-1,2),b=(2,-1),则(a·b)(a+b)等于14.()
A.(1,1)B.(-4,-4)C.-4D.(-2,-2)
答案B
二、填空题
15.(2008陕西)关于平面向量.有下列三个命题:
①若,则.②若,,则.
③非零向量和满足,则与的夹角为.
其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)
答案②
16.(2008上海)若向量,满足且与的夹角为,则 .
答案
17.(2008全国II)设向量,若向量与向量共线,则
答案2
18.(2008北京)已知向量与的夹角为,且,那么的值为
答案0
19.(2008天津)已知平面向量,.若,则_____________.
答案
20.(2008江苏),的夹角为,,则.
答案7
21.(2007安徽)在四面体中,为的中点,为的中点,则(用表示).
答案
22.(2007北京)已知向量.若向量,则实数的值是
答案-3
23.(2007广东)若向量、满足的夹角为120°,则=.
答案
24.(2005上海)直角坐标平面中,若定点与动点满足,则点P的轨迹方程是__________.
答案x+2y-4=0
25.(2005江苏)在中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则的最小值是________。
答案-2
三、解答题
26.(2007广东)已知△顶点的直角坐标分别为.
(1)若,求sin∠的值;
(2)若∠是钝角,求的取值范围.
解
(1),当c=5时,
进而
(2)若A为钝角,则AB﹒AC=-3(c-3)+(-4)2<0解得c>
显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[,+)
第二部分三年联考题汇编
2009年联考题
一、选择题
1.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知平面向量等于()
A.9B.1C.-1D.-9
答案B
2.(2009昆明市期末)在△ABC中,
()
A.B
C.D.1
答案B
3.(2009玉溪市民族中学第四次月考)已知向量反向,则m=()
A.-1B.-2C.0D.1
答案A
4.(2009上海闸北区)已知向量和的夹角为,,且,则()
A.B.C.D.
答案C
5.(湖北省八校2009届高三第二次联考文)已知、是不共线的,则、、三点共线的充要条件是:
()
A.B.C.D.
答案D
6.(辽宁省沈阳二中2008-2009学年上学期高三期中考试)已知向量夹角的取值范围是()
A.B.C.D.
答案C
二、填空题
7.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知,且,则与的夹角为.
答案
8.(2009云南师大附中)设向量_________
答案
9.(2009冠龙高级中学3月月考)若向量与的夹角为,,则_________.
答案
10.(2009上海九校联考)若向量,则向量的夹角等于
答案
11.(天门市2009届高三三月联考数学试题文)给出下列命题
①非零向量、满足||=||=|-|,则与+的夹角为30°;
②·>0是、的夹角为锐角的充要条件;
③将函数y=|x-1|的图象按向量=(-1,0)平移,得到的图像对应的函数为y=|x|;
④若()·()=0,则△ABC为等腰三角形
以上命题正确的是。
(注:
把你认为正确的命题的序号都填上)
答案①③④
12.(2009扬州大学附中3月月考)在直角坐标系中,分别是与轴,轴平行的单位向量,若直角三角形中,,,则实数m=.
答案-2或0
13.(2009丹阳高级中学一模)已知平面上的向量、满足,,设向量,则的最小值是
答案2
三、解答题
14.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知向量m=(,1),
n=(,)。
(1)若m?
n=1,求的值;
(2)记f(x)=m?
n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足
(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围。
解(I)m?
n=
=
=
∵m?
n=1
∴
=
(II)∵(2a-c)cosB=bcosC
由正弦定理得
∴
∴
∵
∴,且
∴
∴
∴
又∵f(x)=m?
n=,
∴f(A)=
故函数f(A)的取值范围是(1,)
15.(2009牟定一中期中)已知:
,().
(Ⅰ)求关于的表达式,并求的最小正周期;
(Ⅱ)若时,的最小值为5,求的值.
解(Ⅰ)......2分
.
的最小正周期是.
(Ⅱ)∵,∴.
∴当即时,函数取得最小值是.
∵,∴.
16.(2009玉溪一中期末)设函数
(Ⅰ)若,求x;
(Ⅱ)若函数平移后得到函数的图像,求实数m,n的值。
解
(1)
又
(2)平移后
为而
17.(2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)已知向量
(1)当时,求的值;
(2)求在上的值域.
解
(1),∴,∴
(5分)
(2)
∵,∴,∴
∴∴函数(10分)
18.(青岛市2009年高三教学统一质量检测)已知向量
,设函数.
(Ⅰ)求函数的最大值;
(Ⅱ)在锐角三角形中,角、、的对边分别为、、,,且的面积为,,求的值.
解(Ⅰ)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
因为,所以,
,又
19.(黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测)已知△ABC的面积S满足
(1)求的取值范围;
(2)求函数的最大值
解
(1)由题意知.
,
(2)
.
20.(2009广东江门模拟)如图4,已知点和
单位圆上半部分上的动点.
⑴若,求向量;
⑵求的最大值.
解依题意,,(不含1个或2个端点也对)
,(写出1个即可)---------3分
因为,所以---------4分,即-
解得,所以.
⑵,
------11分------12分
当时,取得最大值,.
21.(山东省滨州市2009年模拟)已知、、分别为的三边、、所对的角,向量,,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,,成等差数列,且,求边的长.
解(Ⅰ)
在中,由于,
又,
又,所以,而,因此.
(Ⅱ)由,
由正弦定理得
,
即,由(Ⅰ)知,所以
由余弦弦定理得,
,
22.(山东临沂2009年模拟)如图,已知△ABC中,|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
(1)求关于θ的表达式;
(2)求的值域。
解:
(1)由正弦定理,得
(2)由,得
∴,即的值域为.
23.(山东日照2009年模拟)已知中,角的对边分别为,且满足。
(I)求角的大小;
(Ⅱ)设,求的最小值。
解(I)由于弦定理,
有
代入得。
即.
(Ⅱ),
由,得。
所以,当时,取得最小值为0,
24.(2009年宁波市高三"十校"联考)已知向量且,函数
(I)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(II)若,分别求及的值。
(I)解;
得到的单调递增区间为
(II)
25.(安徽省江南十校2009年高三高考冲刺)在中,
,记的夹角为.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)求函数的最大值和最小值.
解
(1)由余弦定理知:
,又,
所以,又即为的取值范围;
(Ⅱ),因为
,所以,因此,.
9月份更新
一、选择题
1.(2009滨州一模)已知直线交于A、B两点,且,其中O为原点,则实数的值为
A.2B.-2C.2或-2D.或
答案C
2.(2009聊城一模)
在的面积等于()
A.B.C.D.
答案A
3.(200