高考文科数学导数专题复习汇编.docx

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高考文科数学导数专题复习汇编

高考文科数学导数专题复习

第1讲　变化率与导数、导数的计算

知识梳理

1.导数的概念

（1）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝.

（2）函数f（x）的导函数f′（x）＝为f（x）的导函数.

2.导数的几何意义函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′（x0）（x－x0）.

3.基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则若f′（x），g′（x）存在，则有：

考点一　导数的计算

【例1】求下列函数的导数：

（1）y＝exlnx；

（2）y＝x；

解　

（1）y′＝（ex）′lnx＋ex（lnx）′＝exlnx＋ex＝ex.

（2）因为y＝x3＋1＋，

所以y′＝（x3）′＋

（1）′＋′＝3x2－.

【训练1】

（1）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2x·f′

（1）＋lnx，则f′

（1）等于（　　）

A.－eB.－1C.1D.e

解析　由f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，得f′（x）＝2f′

（1）＋，∴f′

（1）＝2f′

（1）＋1，则f′

（1）＝－1.答案　B

（2）（2015·天津卷）已知函数f（x）＝axlnx，x∈（0，＋∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数.若f′

（1）＝3，则a的值为________.

（2）f′（x）＝a＝a（1＋lnx）.由于f′

（1）＝a（1＋ln1）＝a，又f′

（1）＝3，所以a＝3.答案　　

（2）3

考点二　导数的几何意义

命题角度一　求切线方程

【例2】（2016·全国Ⅲ卷）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是________.解析　

（1）设x>0，则－x<0，f（－x）＝ex－1＋x.又f（x）为偶函数，f（x）＝f（－x）＝ex－1＋x，所以当x>0时，f（x）＝ex－1＋x.因此，当x>0时，f′（x）＝ex－1＋1，f′

（1）＝e0＋1＝2.则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为f′

（1）＝2，所以切线方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0.答案　2x－y＝0

【训练2】（2017·威海质检）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，－1），并且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的方程为（　　）A.x＋y－1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y＋1＝0D.x－y＋1＝0

（2）∵点（0，－1）不在曲线f（x）＝xlnx上，∴设切点为（x0，y0）.又∵f′（x）＝1＋lnx，∴解得x0＝1，y0＝0.∴切点为（1，0），∴f′

（1）＝1＋ln1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案　B

命题角度二　求切点坐标

【例3】（2017·西安调研）设曲线y＝ex在点（0，1）处的切线与曲线y＝（x>0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.

解析　由y′＝ex，知曲线y＝ex在点（0，1）处的切线斜率k1＝e0＝1.设P（m，n），又y＝（x>0）的导数y′＝－，曲线y＝（x>0）在点P处的切线斜率k2＝－.依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.

则点P的坐标为（1，1）.答案　（1，1）

【训练3】若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.解析　

（1）由题意得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P（m，n），则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为（e，e）.答案　

（1）（e，e）

命题角度三　求与切线有关的参数值（或范围）

【例4】（2015·全国Ⅱ卷）已知曲线y＝x＋lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切，则a＝________.

解析　由y＝x＋lnx，得y′＝1＋，得曲线在点（1，1）处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案　8

【训练4】1.函数f（x）＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.

函数f（x）＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′（x）＝2在（0，＋∞）上有解，而f′（x）＝＋a，即＋a在（0，＋∞）上有解，a＝2－，因为a＞0，所以2－＜2，所以a的取值范围是（－∞，2）.答案　

（2）（－∞，2）

2.点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为（　　）

A.1B.C.D.

解析　点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－lnx，得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－（舍去），故曲线y＝x2－lnx上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y＝x－2的距离等于，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为.答案　D

第2讲　导数在研究函数中的应用

知识梳理

函数的单调性与导数的关系函数y＝f（x）在某个区间内可导，则：

（1）若f′（x）>0，则f（x）在这个区间内单调递增；

（2）若f′（x）<0，则f（x）在这个区间内单调递减；（3）若f′（x）＝0，则f（x）在这个区间内是常数函数.

考点一　利用导数研究函数的单调性

【例1】设f（x）＝ex（ax2＋x＋1）（a＞0），试讨论f（x）的单调性.

解　f′（x）＝ex（ax2＋x＋1）＋ex（2ax＋1）＝ex[ax2＋（2a＋1）x＋2]＝ex（ax＋1）（x＋2）

＝aex（x＋2）①当a＝时，f′（x）＝ex（x＋2）2≥0恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增；

②当0＜a＜时，有＞2，令f′（x）＝aex（x＋2）＞0，有x＞－2或x＜－，

令f′（x）＝aex（x＋2）＜0，有－＜x＜－2，∴函数f（x）在和（－2，＋∞）上单调递增，在上单调递减；③当a＞时，有＜2，令f′（x）＝aex（x＋2）＞0时，有x＞－或x＜－2，令f′（x）＝aex（x＋2）＜0时，有－2＜x＜－，

∴函数f（x）在（－∞，－2）和上单调递增；在上单调递减.

【训练1】（2016·四川卷节选）设函数f（x）＝ax2－a－lnx，g（x）＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：

当x>1时，g（x）>0.

（1）解　由题意得f′（x）＝2ax－＝（x>0）.当a≤0时，f′（x）<0，f（x）在（0，＋∞）内单调递减.当a>0时，由f′（x）＝0有x＝，当x∈时，f′（x）<0，f（x）单调递减；当x∈时，f′（x）>0，f（x）单调递增.

（2）证明　令s（x）＝ex－1－x，则s′（x）＝ex－1－1.当x>1时，s′（x）>0，所以ex－1>x，从而g（x）＝－>0.

考点二　求函数的单调区间

【例2】（2015·重庆卷改编）已知函数f（x）＝ax3＋x2（a∈R）在x＝－处取得极值.

（1）确定a的值；

（2）若g（x）＝f（x）ex，求函数g（x）的单调减区间.

解　

（1）对f（x）求导得f′（x）＝3ax2＋2x，因为f（x）在x＝－处取得极值，所以f′＝0，即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.

（2）由

（1）得g（x）＝ex故g′（x）＝ex＋ex＝ex＝x（x＋1）（x＋4）ex.令g′（x）<0，得x（x＋1）（x＋4）<0.解之得－1

【训练2】已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间.

解　

（1）对f（x）求导得f′（x）＝－－，由f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x知f′

（1）＝－－a＝－2，解得a＝.

（2）由

（1）知f（x）＝＋－lnx－，（x>0）.则f′（x）＝.令f′（x）＝0，解得x＝－1或x＝5.但－1∉（0，＋∞），舍去.当x∈（0，5）时，f′（x）<0；当x∈（5，＋∞）时，f′（x）>0.∴f（x）的增区间为（5，＋∞），减区间为（0，5）.

考点三　已知函数的单调性求参数

【例3】（2017·西安模拟）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax2＋2x（a≠0）.

（1）若函数h（x）＝f（x）－g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（2）若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.

解　

（1）h（x）＝lnx－ax2－2x，x>0.∴h′（x）＝－ax－2.若函数h（x）在（0，＋∞）上存在单调减区间，则当x>0时，－ax－2<0有解，即a>－有解.设G（x）＝－，所以只要a>G（x）min.（*）又G（x）＝－1，所以G（x）min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是（－1，＋∞）.

（2）由h（x）在[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，h′（x）＝－ax－2≤0恒成立，（**）则a≥－恒成立，所以a≥G（x）max.又G（x）＝－1，x∈[1，4]因为x∈[1，4]，所以∈，所以G（x）max＝－（此时x＝4），所以a≥－.当a＝－时，h′（x）＝＋x－2＝＝，∵x∈[1，4]，∴h′（x）＝≤0，当且仅当x＝4时等号成立.（***）

∴h（x）在[1，4]上为减函数.故实数a的取值范围是.

【训练3】已知函数f（x）＝x3－ax－1.

（1）若f（x）在R上为增函数，求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）的单调减区间为（－1，1），求a的值.

解　

（1）因为f（x）在R上是增函数，所以f′（x）＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号.∴f（x）＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是（－∞，0].

（2）f′（x）＝3x2－a.当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，

所以a≤0不合题意.当a>0时，令3x2－a<0，得－

依题意，＝1，即a＝3.

第3讲　导数与函数的极值、最值

知识梳理

1.函数的极值与导数的关系

（1）函数的极小值与极小值点:

若函数f（x）在点x＝a处的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则点a叫做函数的极小值点，f（a）叫做函数的极小值.

（2）函数的极大值与极大值点:

若函数f（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则点b叫做函数的极大值点，f（b）叫做函数的极大值.

2.函数的最值与导数的关系

（1）函数f（x）在[a，b]上有最值的条件:

如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

（2）求y＝f（x）在[a，b]上的最大（小）值的步骤

考点一　用导数研究函数的极值

命题角度一　根据函数图象判断极值

【例1】设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1－x）f′（x）的图