初二上全等三角形学案.docx

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初二上全等三角形学案

1.1全等三角形学案

成功目标

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

成功学习

自主学习与小组合作探究

获取概念：

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________叫做全等三角形。

（2）全等三角形的对应顶点：

对应角：

对应边：

。

（3）“全等”符号：

读作“全等于”

（4）全等三角形的性质：

（5）如下图：

这两个三角形是完全重合的，则△ABC△A1B1C1..

点A与__点___是对应顶点;

点___与点是对应顶点;

点C与点是对应顶点.

对应边：

对应角：

。

成功检测

1.由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案全等图形，而由同一张

底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片全等图形（填“是”或“不是”）.

2.如图，△ABC与△DBC能够完全重合，则△ABC与△DBC是__________，

表示为△ABC____△DBC．

3.如图3，若△ABC≌△DEF，回答下列问题：

（1）若△ABC的周长为17cm，BC=6cm，DE=5cm，则DF=cm

（2）若∠A=50°，∠E=75°，则∠B=

4.如图，△AOB≌△COD，那么∠ABD与∠CDB相等吗？

为什么？

5．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案全等图形，而由同一张

底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片全等图形（填“是”或“不是”）.

6.如图，△ABC与△DBC能够完全重合，则△ABC与△DBC是__________，

表示为△ABC____△DBC．

7．如图，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC，那么图中有全等三角形对．

7题图

8．如图，△ABC≌△ADE，若∠D=∠B，∠C=∠AED，则∠DAE=，

∠DAB=．

8题图

9．如图，△ABD≌△CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC=______，CD=______．

9题图

10．已知△ABC≌△DEF，且∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，△DEF中最大边长是，最大角是_________度．

11．如图，△ABC≌△FED，AC与DF是对应边，∠C与∠D是对应角，则AC//FD成立吗？

请说明理由．

12.如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，

则这两个三角形中相等的边,

相等的角。

12题图13题图14题图

13.如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，

指出其它的对应角

对应边：

14.已知如图，△ABC≌△ADE，

试找出对应边

对应角．

15.如图所示，若△OAD≌△OBC,∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=.

（15题图）

1．2三角形全等的判定

（一）

成功目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3．掌握三角形全等的“SＡS”条件．

4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

成功学习：

一、：

温故知新

1．怎样的两个三角形是全等三角形？

2．全等三角形的性质？

二、读一读，想一想，画一画，议一议

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

总结：

通过我们画图可以发现只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形不一定全等；给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等，按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：

有四种可能．即：

三内角、三条边、两边一内角、两内角有一边．

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

3、如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，

∠AOB＝∠COD，

BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

由此，我们得到启发：

判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

4．上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：

①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

（2）如果把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，想一想△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

5．“边角边”公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SAS”是证明三角形全等的一个依据．．

三、典型例题:

例1：

已知AB=AD,∠BAC=∠DAC,△ABC和△ADC全等吗？

说明你的理由。

例2：

如图为了测量池塘边上不能直接达到的两点A、B之间的距离，小亮设计了这样一个方案：

先在平地上取一个能直接到达点A与点B的点C，然后在射线AC上取一点D，使CD=CA,在射线上取一点E，使CE=CB.测量DE的长，那么DE的长就等于A,B两点之间的距离。

他的方案对吗？

为什么？

四、小组合作学习

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是___________；还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌△ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

_________________________还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

成功展示

当堂小结

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．

成功检测

1.如图，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件（）

A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD

2.能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（）

A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′

B.AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=B′C′

C.AC=A′C′，∠A=∠A′，BC=B′C

D.AC=A′C′，∠C=∠C′，BC=B′C

3.如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠AOD=，

根据_________可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD=_________．

4.如图，已知BD=CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，

则还需添加的条件是。

5.如图，AD=BC，要根据“SAS”判定△ABD≌△BAC，

则还需添加的条件是

6.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，

请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由．

解：

∵AD平分∠BAC，

∴∠________=∠_________（角平分线的定义）.

在△ABD和△ACD中，

∵

∴△ABD≌△ACD（）

7.如图，AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，

求证:

△AOB≌△COD

证明：

在△AOB和△COD中

∵

∴△AOB≌△COD（）

8.已知：

如图，AB=CB，∠1=∠2△ABD和△CBD全等吗？

拓展延伸

1.已知：

如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。

试说明：

△ABD≌△ACE。

2.已知：

如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，DC=DE，∠C=50°。

求∠EBD的度数。

作业布置

1．2三角形全等的判定学案

（二）

成功目标

1．掌握三角形全等的“角边角”条件、“角角边”条件。

2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

成功学习

一．温故知新

1．

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

二种：

①定义__________________________________________________；

②“SAS”公理__________________________________________________

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了二种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

3.三角形中已知两角一边有几种可能？

．两角和它们的夹边．

．两角和其中一角的对边．

二、自主学习教材P11-12

判定全等三角形的第二种方法“角边角”定理

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（ASA）

判定全等三角形的第二种方法“角角边”定理

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）

三．典型例题：

例3

例4

四、小组合作学习

1.如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：

AD=AE．

2.观察下图中的两个三角形，它们全等吗？

请说明理由．

（2）（3）

3.下图中，若AE=BC则这两个三角形全等吗？

请说明理由．

4.如图：

在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点。

求证：

PA=PD。

当堂小结

成功检测

1.已知：

如图,∠1=∠2,∠3=∠4求证：

AC=AB．

2.已知：

如图,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.F、C在直线BE上．

求证：

AB=DE,AC=DF．

3.已知：

如图,AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF．

求证：

AC=EF.

4.已知：

如图AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中点,连结CM并延长交BD于点F。

求证：

AC=BF．

5.已知：

如图,E、D、B、F在同一条直线上,AD∥CB,∠BAD=∠BCD,DE=BF．

求证：

AE∥CF.

6.如图在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点．求证：

PA=PD.

7.已知：

如图,AE=BF,AD∥BC,AD=BC.AB、CD交于O点．

求证：

OE=OF

8.已知：

如图AC∥BD,AE和BE分别平分∠CAB∠DBA,CD过点E．

求证AB＝AC＋BD

作业布置

1．2三角形全等的判定（三）

成功目标

1．三角形全等的“边边边”的条件．

2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

成功学习

一．回顾思考：

1．

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

三种：

①定义__________________________________________________；

②“SAS”公理__________________________________________________

“ASA”定理__________________________________________________

④“AAS”定理__________________________________________________

二、新课

1.回忆前面研究过的全等三角形．

已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．

图中相等的边是：

AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．

相等的角是：

∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．

2.已知三角形△ABC你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

自主学习教材P13-15

归纳：

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）

3.三角形的稳定性：

生活实践的有关知识：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

三、典型例题:

例5

例6

四．

小组合作学习

（1）如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与

BC中点D的支架．

（2）如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有一个条件：

______________________，怎样才能得到这个条件？

试说明理由。

（3）在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，P是AD的一点,求证：

PB=PC

当堂小结

成功检测

1、如图1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（）

A.120°B.125°C.127°D.104°

2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是（）

A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D

3、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．

4、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．

5、如图，AB=AC，BD=CD，求证：

∠1=∠2．

6、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：

∠A=∠D．

7、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：

⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．

8、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.

⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；

⑵在⑴的基础上，求证：

DE∥BF.

作业布置

1.2本节概括总结

1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

2.到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

①定义__________________________________________________；

②“SAS”_________________________________________________

“ASA”________________________________________________

“AAS”_________________________________________________

⑤“SSS”_________________________________________________

温馨提示:

“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。