重庆市中考数学二轮复习新定义题真题演练.docx

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重庆市中考数学二轮复习新定义题真题演练

题型六　新定义题

针对演练

1.（2016郴州）设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：

a⊕b＝.例如：

1⊕（－3）＝＝－3，（－3）⊕2＝（－3）－2＝－5，（x2＋1）⊕（x－1）＝.（因为x2＋1>0）

参照上面材料，解答下列问题：

（1）2⊕4＝________，（－2）⊕4＝________；

（2）若x>，且满足（2x－1）⊕（4x2－1）＝（－4）⊕（1－4x），求x的值．

2.对于正整数n，定义F（n）＝，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：

F（6）＝62＝36，F（123）＝f（123）＝12＋02＝1，

.规定F1（n）＝F（n），Fk＋1（n）＝F（Fk（n））．例如：

F1（123）＝F（123）＝10，F2（123）＝F（F1（123））＝F（10）＝1.

（1）求：

F2（4）和F2015（4）；

（2）若F3m（4）＝89，求正整数m的最小值．

3.如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：

2＝13－（－1）3，26＝33－13，所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式：

a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）】

（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；

（2）求在不超过2016的自然数中，所有的“麻辣数”之和为多少？

4.（2015重庆A卷）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数1232＋22＝131，从最高位到个位依次排出的一串数字是：

1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：

1，2，3，2，1，因此1232＋22＝131是一个“和谐数”．再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．

（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？

并说明理由；

（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．

5.（2016重庆一中三模）当一个多位数为偶数位时，在其中间位插入一位数k（0≤k≤9）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：

435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729＝729＋435×1000，4356729＝729＋6×1000＋435×10000.

请阅读以上材料，解决下列问题．

（1）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足此条件的三位关联数；

（2）对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m，得其关联数（0≤m≤9，且m为3的倍数），试证明：

所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除．

6.（2016重庆外国语学校二诊）定义：

如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3＋6）整除；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15＋30）整除，（15×60）能被（15＋60）整除，（30×60）能被（30＋60）整除….

（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30，…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n－1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想；

（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a.

7.（2016重庆南开阶段测试三）进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n（n≤10）进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n－1）进行记数，特点是逢n进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制：

例如：

五进制数（234）5＝2×52＋3×5＋4＝69，记作（234）5＝69，七进制数（136）7＝1×72＋3×7＋6＝76，记作（136）7＝76.

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（1）请将以下两个数转化为十进制：

（331）5＝________，（46）7＝________；

（2）若一个正数可以用七进制表示为（abc）7，也可以用五进制表示为（cba）5，请求出这个数并用十进制表示．

__________

__________

__________

__________

__________

__________

8.（2016重庆实验外国语学校一诊）有一个n位自然数abcd…gh能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数bcd…gha能被（x0＋1）整除，再依次轮换个位数字得到的新数cd…ghab能被（x0＋2）整除，按此规律轮换后，d…ghabc能被（x0＋3）整除，…，habc…g能被（x0＋n－1）整除，则称这个n位数abcd…gh是x0的一个“轮换数”．例如：

60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：

32＋22＝134能被2整除，243能被3整除，432＋22＝13能被4整除，则称三位数32＋22＝134是2的一个“轮换数”．

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（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”；

（2）若三位自然数abc是3的一个“轮换数”，其中a＝2，求这个三位自然数abc.

9.把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…，如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：

32＋22＝13→32＋22＝13→12＋02＝1，

→12＋02＝1，

72＋02＝→72＋02＝42＋92＝97→42＋92＝97→92＋72＝130→12＋32＋02＝10→12＋02＝1，

所以32＋22＝13和72＋02＝都是“快乐数”．

（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；

（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”.

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10.定义一种对于三位数abc（a、b、c不完全相同）的“F运算”：

重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零）．例如abc＝213时，则

（32＋22＝131－123＝198）（981－189＝792）．

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（1）579经过三次“F运算”得________；

（2）假设abc中a＞b＞c，则abc经过一次“F运算”得______（用代数式表示）；

（3）猜想：

任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个定值，请证明你的猜想．

11.（2016大渡口区诊断性检测）若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝22＋12.再如，M＝x2＋2xy＋2y2＝（x＋y）2＋y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．

（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；

（2）已知S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；

（3）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．

12.（2016重庆西大附中第九次月考）对于实数x，y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax＋by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．

（1）若L（x，y）＝x＋3y，则L（2，1）＝________，L（，）＝________；

（2）已知L（1，－2）＝－1，L（，）＝2.

①a＝________，b＝________；

②若正格线性数L（m，m－2），求满足50

③若正格线性数L（x，y）＝76，求满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？

若有，请找出；若没有，请说明理由．

13.（2016重庆巴蜀二诊）古希腊的毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立，毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，如他们研究各种多边形数：

记第n个k边形数N（n，k）＝n2＋n（n≥1，k≥3，k、n都为整数），

如第1个三角形数N（1，3）＝×12＋×1＝1；

第2个三角形数N（2，3）＝×22＋×2＝3；

第3个四边形数N（3，4）＝×32＋×3＝9；

第4个四边形数N（4，4）＝×42＋×4＝16.

（1）N（5，3）＝________，N（6，5）＝________；

（2）若N（m，6）比N（m＋2，4）大10，求m的值；

（3）若记y＝N（6，t）－N（t，5），试求出y的最大值．

题型六　新定义题

针对演练

1.解：

（1）2，－6.

【解法提示】2⊕4＝＝2，（－2）⊕4＝－2－4＝－6.

（2）∵x＞，

∴2x－1＞0，

∴（2x－1）⊕（4x2－1）＝＝－4－（1－4x），

即2x＋1＝－5＋4x，

解得x＝3.

∴x的值为3.

2.解：

（1）F2（4）＝F（F1（4））＝F（F（4））＝F（16）＝12＋62＝37；

F1（4）＝F（4）＝16，F2（4）＝37，F3（4）＝58，F4（4）＝89，

F5（4）＝145，F6（4）＝26，F7（4）＝40，F8（4）＝16，

通过观察发现，每进行7步运算是一个循环，2015÷7＝287……6，因此F2015（4）＝F6（4）＝26.

（2）由

（1）可知，每进行7步运算是一个循环，F4（4）＝89＝F11（4）＝F18（4）＝F4＋7i（4），其中i＝0，1，2，3，…，要求m的最小值，则（4＋7i）为3的最小公倍数，因为3m>4，所以3m＝18，所以m＝6.

3.解：

（1）98是麻辣数，169不是麻辣数，理由如下：

设k为整数，则2k＋1，2k－1为两个连续奇数，

设M为麻辣数，

则M＝（2k＋1）3－（2k－1）3＝24k2＋2，

∵98＝53－33，故98是麻辣数；M＝24k2＋2为偶数，故169不是麻辣数．

（2）同

（1）令M≤2016，则24k2＋2≤2016，

解得k2≤<84，

故k2＝0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，

故M的和为24×（0＋1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64＋81）＋2×10＝6860.

所以，在不超过2016的自然数中，所有的“麻辣数”之和为6860.

4.解：

（1）1331，2442，1001.

猜想：

任意一个四位“和谐数”能被11整除．

理由：

设一个四位“和谐数”记为xyyx，用十进制表示为：

1000x＋100y＋10y＋x＝1001x＋110y＝11（91x＋10y），

∵x、y是0～9之间的整数，

∴11（91x＋10y）能被11整除．

∴任意一个四位“和谐数”能被11整除．

（2）设这个三位“和谐数