一次函数一对一全场教案及答案.docx

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一次函数一对一全场教案及答案

课题：

一次函数

上课时间：

主讲人姓名：

学生姓名：

教学目的：

经历一次函数及其性质概括过程，体会函数及变量思想，进一步发展抽象思维能力；经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展形象思维能力．正确理解一次函数及其图象的有关性质

，体会方程和函数的关系．能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．

教学重难点：

一次函数的概念、图像性

质及其应用，利用图象获取正确信息。

教学过程：

一、知识点梳理：

1.一次函数的意义及其图象和性质

（1）一次函数：

若两个变量x、y间的关系式可以表示成（k、b为常数，k≠0）

的形式，

则称y是x的一次函数（x是自变量,y是因变量〕特别地，当b时，称y是x的正比例函数．

（2）一次函数的图象：

一次函数y=kx+b的图象是经过点（，）,（，）的一条直线，正

比例函数y=kx的图象是经过原点（0，0）的一条直线，如右表所示．

（3）一次函数的性质：

y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）当k＞0时，y的值随x的值增大而；

当k＜0时，y的值随x值的增

大而．

（4）直线y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．

①

直线经过第象限（直线不经过第象限）

②

直线经过第象限（直线不经过第象限）；

③

直线经过第象限（直线不经过第象限）；

④

直线经过第象限（直线不经过第象限）；

2.一次函数表达式的求法

（1）待定系数法：

先设出解析式，再根据条件列方程或方程组求出未知系数，从而写出这个解析式的

方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

（2）用待定系数法求出函数解析式的一般步骤：

①；②得到关于待定系数的方程或方程组；③从而写出函数的表达式。

（3）一次函数表达式的求法：

确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。

二、基础训练：

1.已知函数：

①y=－x，②y=

，③y=3x－1，④y=3x2，⑤y=

，⑥y=7－3x中，正比例函数有（）A．①⑤B．①④C．①③D．③⑥

2.两个一次函数y1=mx+n．y2=nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）

3.如

果直线y=kx+b经过一、二、四象限，

那么有（

）

A．k＞0，b＞0；B．k＞0，b＜0；

C．k<0，b＜0；D．k＜0，b＞0

4.生物学研究表明：

某种蛇的长度y（㎝）是其尾长x（cm）的一次函数，当蛇的尾长为6cm时，蛇长为45.5㎝；当蛇的尾长为14cm时，蛇长为105.5㎝；当蛇的尾长为10cm时，蛇长为_________㎝；

5.若正比例函数的图象经过（－l，5）那么这个函数的表达式为__________，y的值随x的减小而____________.

三、经典考题剖析：

例1.在

函数y=－2x+3中当自变量x满足______时，图象在第一象限．

例2.一次函数y=（m+4）x-5+2m，

（1）当时，y随x增大而增大；

（2）当时，图象经过原点；（3）当时，图象与y轴交点在x轴下方．（4）当时，图象平行于直线y=－4x+3；（5）当时，图象不经过第一象限．

例3为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系式．

（1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：

档次

第一档

第二档

第三档

每月用电量x（度）

0＜x≤140

（3）求第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式；

（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值．

例4已知A地在B地的正南方向3km处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直线前进，他们到A地的距离s（km）与所用时间t（h）之间的函数关系的图象如图11－62所示，当他们走了3h的时候，他们之间的距离是多少千米？

4、作业

（一）选择题：

1、无论m为何实数，直线y＝x＋2m与y＝－x＋4的交点不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.函数y=-x与函数y=x＋1的图象的交点坐标为（）

A.（-

）B.（

-

）C.（-

-

）D.（

）

3.若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（时）之间的函数关系用图11－60所示的图象表示为（）

4.直线y=x+4和直线y=-x+4与x轴围成的三角形的面积是（）

A.32B.64C.16D.8

（二）填空题：

1.已知y=（m-2）x

是正比例函数，则m=.

2.若一次函数y=kx+3的图象过点M（3，-4）,则k=.

3.已知一支铅笔0.2元，买x支铅笔付款y元，则y与x之间的函数关系式是.

4.若直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则k，b；若经过第一、三、四象限，则k，b；若经过第一、二、三象限，则k，b.

5.已知直线y=kx+b过点A（x1，y1）和B（x2，y2），若k＜0，且x1＜x2，则y1y2

6.一根弹簧原长为12cm，它所挂物体的质量不能超过15kg，并且每挂1kg物体就伸长了0.5cm,，则挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是，自变量x的取值范围是.

7.将直线y=x+4向下平移2个单位，得到的直线的解析式为.

（三）解答题：

1.已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时，y=2.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）求当x=-1时的函数值.

2.某单位急需用车，但不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付给国营出租车公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系的图象（两条射线）如图11-61所示，观察图象，回答下列问题.

（1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？

（3）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

（4）如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2300km，那么，这个单位租哪家的车合算？

3、A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．

（1）求y关于x的表达式；

（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；

（3）当乙车按

（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．

解答：

一、基础训练解答：

1.A；

2.B

分析：

首先设定一个为一次函数y1=mx+n的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可．

解：

A、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误；

B、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＜0，两结论不矛盾，故正确；

C、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误；

D、如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＜0；由y2的图象可知，n＜0，m＞0，两结论相矛盾，故错误．

故选B．

此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：

①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；

②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；

③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；

④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．

3.D

4.解：

蛇的长度y（cm）是其尾长x（cm）的一次函数，

设y=kx+b，当x=6时，y=45.5cm，

当x=14时，y=105.5cm，

可求得k=7.5，b=0.5，

即y=7.5x+0.5；

由于x、y之间的函数关系式为y=7.5x+0.5，

当x=10时，y=7.5x+0.5=10×7.5+0.5=75.5cm，

故答案为：

y=7.5x+0.5，75.5cm．

5.y=-

x、增大.

二、例题解答：

例1.在

函数y=－2x+3中当自变量x满足______时，图象在第一象限．

点拨：

由y=2x+3可知图象过一、二、四象限，与x轴交于（

，0），所以，当0＜x＜

时，图象在第一象限．

解：

0＜x＜

例2.一次函数y=（m+4）x-5+2m，

（1）当时，y随x增大而增大；

（2）当时，图象经过原点；（3）当时，图象与y轴交点在x轴下方．（4）当时，图象平行于直线y=－4x+3；（5）当时，图象不经过第一象限．

解：

（1）∵k＞0时y随x的增大而增大，∴m+4＞0，即m＞-4；

（2）∵b=0时一次函数的图象经过原点，∴-5+2m=0，即m=

；

（3）∵b＜0时图象与y轴交点在x轴下方∴-5+2m＜0，即m＜

，

（4）∵m+4=-4∴m=-8；

（5）∵k＜0且b＜0时图象不经过第一象限，∴m+4＜0，且-5+2m＜0，

即m＜-4，m＜

，则m＜-4．

例3为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系式．

（1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：

档次

第一档

第二档

第三档

每月用电量x（度）

0＜x≤140

（3）求第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式；

（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值．

分析：

（1）利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出第二档，第三档中x的取值范围；

（2）根据第一档范围是：

0＜x≤140，利用图象上点的坐标得出解析式，进而得出x=120时，求出y的值；

（3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：

y=ax+c，将（140，63），（230，108）代入得出即可；

（4）分别求出第二、三档每度电的费用，进而得出m的值即可．

解：

（1）利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出第二档：

140＜x≤230，第三档x＞230；

档次

第一档

第二档

第三档

每月用电量x（度）

0＜x≤140

　140＜x≤230　

　x＞230　

（2）根据第一档范围是：

0＜x≤140，

根据图象上点的坐标得出：

设解析式为：

y=kx，将（140，63）代入得出：

k=

=0.45，

故y=0.45x，

当x=120，y=0.45×120=54（元），

故答案为：

54；

（3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：

y=ax+c，

将（140，63），（230，108）代入得出：

解得：

则第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：

y=

x﹣7（140＜x≤230）；

（4）根据图象可得出：

用电230度，需要付费108元，用电140度，需要付费63元，

故，108﹣63=45（元），230﹣140=90（度），45÷90=0.5（元），则第二档电费为0.5元/度；

∵小刚家某月用电290度，交电费153元，290﹣230=60（度），153﹣108=45（元），45÷60=0.9（元），

m=0.9﹣0.5=0.4，

答：

m的值为0.4．

此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象获取正确信息是解题关键．

例4已知A地在B地的正南方向3km处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直线前进，他们到A地的距离s（km）与所用时间t（h）之间的函数关系的图象如图11－62所示，当他们走了3h的时候，他们之间的距离是多少千米？

解：

设AC的表达式为y=kx（k≠0），BD的表达式为y=k1x+3（k1≠0），

令P点坐标为（2，2k），又此点坐标满足BD的表达式，

∴2k=2k1+3，∴

∴BD的表达式为

当x=3时，甲距A地的距离为3kkm，乙距A地的距离为（

×3+3）km，

∴3k-（

×3+3）=（km）.

本题是一元函数在实际生活中的应用，数形结合，求其解析式，可根据题意解出符合题意的解，中档题很常见的题型．

三、作业答案

（一）1．C2．A3．B4.C

（二）填空题：

1.-22．

3．y=0.2x4.﹤0,﹤0；﹥0,﹤0；﹥0,﹥05.﹥[提示：

∵k﹤0，∴y随x的增大而减小，又∵x1﹤x2,∴y1﹥y2.]6．y=

x+120≤x≤157.y=x+2

（三）解答题

1．解：

（1）∵y+5与3x+4成正比例，

∴设y+5＝k（3x+4）（k≠0）．

又∵当x=1时，y=2，

∴2+5＝＝k（3×1+4），∴k＝1．

∴y+5＝1（3x+4），∴y＝3x-1．

即y与x之间的函数关系式是y=3x-1．

（2）当x=-1时，y＝3×（-1）-1=-4．

∴当x=-1时的函数值是-4．

2．解：

由图象可知，

（1）设y1＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0），y2=k2x（k2≠0）．

∴y1，y2都经过点（1000，2000），

∴2000＝1000k2，∴k2＝2．

∴

∴y1=x+1000，y2=2x（x≥0）.

（2）当y2﹤y1时，有2x＜x+1000，

∴x＜1000．

∴每月行驶的路程在0km≤x﹤1000km时，租国营公司的车合算．

（3）当y2＝y1时，有2x=x+1000，

∴x＝1000．

∴每月行驶的路程等于1000km时，租两家车的费用相同．

（4）当y2＞y1时，有2x＞x+1000，∴x＞1000．

∴每月行驶的路程大于1000km时，租个体车比较合算．

∴当x=2300km时，这个单位租个体车比较合算.

3、解：

（1）方法一：

由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．

∵图象经过点（0，300），（2，120），

∴

解得

∴y=-90x+300．

即y关于x的表达式为y=-90x+300．

方法二：

由图知，当x=0时，y=300；x=2时，y=120．

所以，这条高速公路长为300千米．

甲车2小时的行程为300-120=180（千米）．

∴甲车的行驶速度为180÷2=90（千米/时）．

∴y关于x的表达式为y=300-90x（y=-90x+300）．

（2）由

（1）得：

甲车的速度为90千米/时，甲乙相距300千米．

∴甲乙相遇用时为：

300÷（90+60）=2，

当0≤x≤2时，函数解析式为s=-150x+300，

2＜x≤

时，S=150x-300

＜x≤5时，S=60x；

（3）在s=-150x+300中．当s=0时，x=2．即甲乙两车经过2小时相遇．（6分）

因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟=

小时，

所以在y=-90x+300中，当y=0，x=

所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为

+

-2=2（小时）．

∴a=90（千米/时）．（7分）

乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示．

思路分析：

（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．把图象经过的坐标代入求出k与b的值．

（2）根据路程与速度的关系列出方程可解．

（3）如图：

当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇．再由1得出y=-90x+300．

设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间．

小结：

本专题在学生掌握基础知识的基础上，以生活中的计算电费问题、方案选择问题、行程问题等为背景，由一次函数图象求解析式．分析相遇问题，求相遇时间及速度，依据速度和时间画函数图象，重点训练学生的观察、理解及分析解决问题的能力．