初二三角形四边形动点问题知识点及题答案.docx

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初二三角形四边形动点问题知识点及题答案

三角形四边形动点问题

适用学科

初中

适用年级

初二

适用区域

人教版

课时时长（分钟）

60分钟

知识点

几何综合动点

教学目标

1、能掌握几何动点类问题的思想方法：

数学思想：

分类思想数形结合思想转化思想

2、培养学生的几何动点问题中动中求静的思考能力

教学重点

培养学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力问题..

教学难点

培养学生主动探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，

激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质.

教学过程

一、复习预习

1.复习所学过的几何图形及其性质

2.列出所有几何图形的面积边长公式.

二、知识讲解

专题一：

一函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?

下面结合中考试题举例分析.

一、应用勾股定理建立函数解析式。

二、应用比例式建立函数解析式。

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。

专题二：

动态几何型压轴题

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：

等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题。

（一）点动问题。

（二）线动问题。

（三）面动问题。

二、解决动态几何问题的常见方法有:

1、特殊探路，一般推证。

2、动手实践，操作确认。

3、建立联系，计算说明。

三、专题二总结，本大类习题的共性：

1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：

数学结合、分类讨论、方程、函数．

2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。

专题三：

双动点问题

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.

1以双动点为载体，探求函数图象问题。

2以双动点为载体，探求结论开放性问题。

3以双动点为载体，探求存在性问题。

4以双动点为载体，探求函数最值问题。

双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。

专题四：

函数中因动点产生的相似三角形问题

专题五：

以圆为载体的动点问题

动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。

三、例题精析

【例题1】

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．

（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？

（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？

（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？

解析：

（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．

（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．

（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．

所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．

解答：

解：

（1）∵四边形PQCD平行为四边形

∴PD=CQ

∴24-t=3t

解得：

t=6

即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．

（2）过D作DE⊥BC于E

则四边形ABED为矩形

∴BE=AD=24cm

∴EC=BC-BE=2cm

∵四边形PQCD为等腰梯形

∴QC-PD=2CE

即3t-（24-t）=4

解得：

t=7（s）

即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．

（3）由题意知：

QC-PD=EC时，

四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2

解得：

t=6.5（s）

即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．

点评：

此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．

【例题2】

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？

如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

解析：

以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．

以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．

如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．

解答：

解：

（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．

①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1=-1，x2=--1（舍去）．

因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．

所以x=-1符合题意．

②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．

此时DN=x2=25＞20，不符合题意．

故点Q与点M不能重合．

所以所求x的值为-1．

（2）由

（1）知，点Q只能在点M的左侧，

①当点P在点N的左侧时，

由20-（x+3x）=20-（2x+x2），

解得x1=0（舍去），x2=2．

当x=2时四边形PQMN是平行四边形．

②当点P在点N的右侧时，

由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，

解得x1=-10（舍去），x2=4．

当x=4时四边形NQMP是平行四边形．

所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．

由于2x＞x，

所以点E一定在点P的左侧．

若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，

则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，

即2x-x=x2-3x．

解得x1=0（舍去），x2=4．

由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．

点评：

本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．

【例题3】

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；

（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

解析：

（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：

s=PM×QB=96-6t；

（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；

③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．

解答：

解：

（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．

∴PM=DC=12，

∵QB=16-t，

∴s=•QB•PM=（16-t）×12=96-6t（0≤t≤）．

（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况

四、课堂运用

【基础】

1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）

（1）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

（2）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；

解析

（1）∵ED=t，CF=2t，∴S=S△BCE+S△BCF=×8×4+×2t×t=16+t2．

即S=16+t2．（0≤t≤4）；

（2）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，

∵EF2=，

EC2=，∴=．∴t=4或t=0（舍去）；

②若EC=FC时，∵EC2=，FC2=4t2，∴=4t2．∴；

③若EF=FC时，∵EF2=，FC2=4t2，

∴=4t2．∴t1=（舍去），t2=．

∴当t的值为4，，时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形

【巩固】

2.如图1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：

（1）求a、b、c的值；

（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出