二次函数综合动点问题四边形面积最值存在问题培优学案横版.docx
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二次函数综合动点问题四边形面积最值存在问题培优学案横版
二次函数综合（动点）问题——四边形面积最值存在问题
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
全国新课标
课时时长（分钟）
60分钟
知识点
1、二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
2、三角形面积计算公式，梯形面积计算公式
3、四边形面积最值探究与解题技巧
学习目标
一、知识与技能
1、掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质；
2、识记三角形面积计算公式，梯形面积计算公式，会运用公式表示或计算出三角形、梯形的面积；
3、会对四边形面积进行探究，运用转化的数学思想，通过用特殊图形（三角形、梯形）的面积去表示四边形的面积。
二、过程与方法
1、首先要掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质，因为四边形面积最值存在问题是在二次函数的前提下进行的；
3、先从简单入手在平面直角坐标系内求作一个四边形的面积，慢慢引导学生将已知点改为未知点，让学生试着表示出这时四边形的面积，最终通过总结回归到二次函数的动点问题；
4、根据不同学生的实际情况，要求不同学生掌握简单、巩固、拔高各种层次的题型；
5、充分运用数形结合、转化、方程、分类讨论等数学思想来帮助解题。
三、情感、态度与价值观
1、培养学生的处理图像综合运用的能力；
2、让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；
3、形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心；
4、培养学生数形结合、转化、方程、分类讨论等数学思想，形成特定的数学思维。
学习重点
是否存在一点，使得四边形的面积最大？
若存在，求出这个最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由。
学习难点
是否存在一点，使得四边形的面积最大？
若存在，求出这个最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由。
学习过程
一、复习预习
（一）二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：
a＞0
a＜0
图象
开口
对称轴
顶点坐标
最值
当x＝ 时，y有最 值是
当x＝时，y有最值是
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而
y随x的增大而
在对称轴右侧
y随x的增大而
y随x的增大而
（二）相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等。
（2）相似三角形的对应边成比例。
（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（4）相似三角形的周长比等于相似比。
（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（三）相似三角形模型探究与解题技巧：
1、课堂导入题解
如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．
解：
∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，
①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（-4，0）；
②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．
故答案可以是：
（-1，0）；（1，0）．
解析：
分类讨论：
①当△AOB∽△COB时，求点C的坐标；②当△AOB∽△BOC时，求点C的坐标；
如果非直角三角形也要分类讨论，对应边不一样就得到不同的结果。
2、几种常见的相似三角形模型
①直角三角形相似的几种常见模型
②非直角三角形相似的几种常见模型
3、解题技巧
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径。
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形可能对应边成比例进行分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程。
二、知识讲解
考点/易错点1
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：
a＞0
a＜0
图象
开口
对称轴
顶点坐标
最值
当x＝ 时，y有最 值是
当x＝时，y有最值是
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而
y随x的增大而
在对称轴右侧
y随x的增大而
y随x的增大而
考点/易错点2
三角形、梯形面积公式：
三角形面积公式：
；
梯形面积公式：
.
考点/易错点3
四边形面积探究与解题技巧：
1、课堂导入题解
在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积．
解：
作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F．
则四边形ABCD的面积=S△ADF+S△BCE+S梯形CDFE=×（2-1）×4+×（5-3）×3+×（3+4）×（3-2）=8.5．
解析：
本题应分别过C、D向x轴作垂线，四边形ABCD的面积分割为过D、C两点的直角三角形和直角梯形；当告诉一些具体点时，应把所求四边形的面积分为容易算面积的直角梯形和直角三角形．
2、动点探究
如果将上题改为：
在平面直角坐标系中，四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），且D在一次函数y=X第一象限的图像上,求当四边形ABCD的面积最大时点D的坐标，并求出此时四边形的最大面积．
解：
作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F．
则此时D点的坐标可设为D（x,）;
则四边形ABCD的面积=S△ADF+S△BCE+S梯形CDFE=×（x-1）×x+×（5-3）×3+×（3+4）×（3-2）=-x+=+；
所以当x=时，四边形ABCD的面积最大为，D点坐标为D（）.
3、解题技巧
函数中因动点产生的四边形面积最值问题一般解题途径：
① 将四边形分解成几个三角形、梯形，通过设动点的坐标表示出每个三角形、梯形的面积（含有动点横坐标、纵坐标的代数式）再相加（相减）即可表示出四边形的面积 ；
②通过整理化简式子可将表达式转化为二次函数的形式，再根据自变量（一般是动点横坐标）的取值范围，通过配方，根据二次函数的图像和性质即可求出此时二次函数的最值，即为四边形面积的最值， 此时顶点式中的（h,k）分别对应着动点的横坐标，四边形面积最值；再将横坐标带入解析式即可求出纵坐标。
三、例题精析
【例题1】
【题干】（资阳）如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
（3）在
（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？
若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）B（，）；
（2）y=−x2+x；（3）C坐标为（，），四边形ABCO的面积为.
【解析】解：
（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=，
过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=，BD=，
∴点B的坐标为（，）．
（2）将A（2，0）、B（，）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，
得
解方程组，有a=−，b=，c=0．
∴所求二次函数解析式是y=−x2+x.
（3）设存在点C（x，−x2+x）（其中0＜x＜），使四边形ABCO面积最大
∵△OAB面积为定值，
∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．
过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，
则S△OBC=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，
而|CF|=yC-yF=−x2+x-x=-x2+x，
∴S△OBC=−x2+x．
∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为．
此时，点C坐标为（，），四边形ABCO的面积为．
【例题2】
【题干】（廊坊一模）如图，二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（-2，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）直接写出点B的坐标为________________；
（3）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？
若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？
若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）y=-x2+x+3；
（2）（6，0）；（3）P点坐标是（-2-，0）或（-2，0）或（2，0）或（，0）；（4）Q点坐标是（3，），面积的最大值是.
【解析】解：
（1）∵y=ax2+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，a=-，
∴所求解析式为：
y=-x2+x+3，
答：
这个二次函数的解析式是y=-x2+x+3．
（2）解：
（6，0），
故答案为：
（6，0）．
（3）解：
在Rt△AOC中，
∵AO=2，OC=3，∴AC=，
，①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（-2-，0）；
②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（-2，0）；
③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；
④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），
在Rt△P4OC中，设P4O=x，则（x+2）2=x2+32
解得：
x=，
∴P4（，0）；
答：
在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（-2-，0）或（-2，0）或（2，0）或（，0）．
（4）解：
如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-x2+x+3上，
即：
Q点坐标为（x，-x2+x+3），
连接OQ，
S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ，
=3+x+3（-x2+x+3）
=-x2+x+12，
∵a＜0，
∴S四边形ABQC最大值=，
Q点坐标为（3，），
答：
在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，），面积的最大值是．
【例题3】
【题干】（枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？
求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
【答案】
（1）y=x2-2x-3；
（2）P点的坐标为（，−）；（3）P点的坐标为（，−），.
【解析】解：
（1）将B、C两点的坐标代入得，
解得：
；
所以二次函数的表达式为：
y=x2-2x-3
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=
∴y=−；
∴x2-2x-3=−
解得x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（，−）
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：
y=kx+d，
则，
解得：
∴直线BC的解析式为y=x-3，
则Q点的坐标为（x，x-3）；
当0=x2-2x-3，
解得：
x1=-1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×4×3+（−x2+3x）×3
=−（x−）2+
当x＝时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为（，−），四边形ABPC的面积的最大值为．
四、课堂运用
【基础】
1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．
（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；
（2）求这个二次函数关系式；
（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？
2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
3、如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2．二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A、B，顶点为D，对称轴为x=3．
（1）求这个二次函数的解析；
（2）设二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交另一点C，则二次函数图象上是否存在点P（m，n）（其中1＜m＜5）使四边形PABC的面积最大？
若存在，求出点P的坐标和四边形PABC面积最大值；若不存在，请说明理由；
（3）已知Q为x轴上一点（异与A点），当以Q，B，O三点为顶点的三角形与△OAB相似时，求点Q的坐标．
【巩固】
1.（菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=-x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？
此时四边形PDCQ的面积是多少？
【拔高】
1.（江西模拟）已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m），
（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；
（2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．
课程小结
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