S(n,k)=1k=1
S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)n>=k>=2
第2题(5分),有5本不同的数学书分给5个男同学,有4本不同的英语书分给4个女同学,将全部书
收回来后再从新发给他们,与原方案都不相同的方案有________种。
答案:
5!
*4!
+D(5)*D(4)=1140480
其中:
D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))(n>2)
D
(1)=0D
(2)=1
第3题(6分),把三角形各边分成n等分,过每一分点分别做各边的平行线,得到一些由三角形的边
和这些平行线所组成的平行四边形。
n为已知整数,能组成_______个平行四边形。
答案:
3*C(n+2,4)
第4题(6分),由a,b,c3个不同的数字组成一个N位数,要求不出现两个a相邻,也不出现两个b
相邻,这样的N位数的个数为AN,用AN-1和AN-2表示AN的关系式为:
AN=_______________。
答案:
AN=2*AN-1+AN-2
第5题(6分),在m*n的棋盘上,每个方格(单位正方形,即边长为1的正方形)的顶点称为格点。
以格点
为顶点的多边形称为格点多边形。
若设格点凸N边形面积的最小值为gn,格点凸N边形内部(非顶点的)格点
的个数的最小值为fn,则gn和fn的关系式为:
gn=___________。
答案:
Gn=fn+N/2-1(N>=3)
第6题(4分),编号为1到13的纸牌顺时针排成一圈,有人从编号为1的牌从数字1开始顺时针数下去,
1、2、3、…、20、21、…,一圈又一圈。
问:
当数到数字N时,所在纸牌的编号为多少?
答案:
1+(N-1)mod13
第7题(8分),有位小同学喜欢在方阵中填数字,规则是按下图示例从右上角开始,按斜线填数字,
碰到边界就重新。
显然,数字1在坐标(1,5)位置,数字25在坐标(5,1)位置。
后来这位小朋友想知道,
对于N阶的方阵,随机取一个位置(x,y),并规定x≤y,问这个位置上应该填的数字是多少?
5阶方阵的
示例图如下:
117421
1612853
20171396
2321181410
2524221915
答案:
(N-y+x)*(N-y+x-1)/2+x
第8题(5分),设有质量为1、3、9、27、81、…3ng...的砝码各一枚,如果砝码允许放在天平的两边,
则用它们来称物体的质量,最多可称出1g到3n+3n/2g之间的所有质量,如n=4时,可称出18到121g之间的
所有质量;当物体质量为M=14时,有14+9+3+1=27,即天平一端放M=14g的物体和9g、3g、1g的砝码,另一
端放27g的砝码,即可称出M的质量。
当M=518g时,请你写出称出该物体的质量的方法,并用上述所示的
等式来表示。
答案:
518+243+3+1=729+27+9
第9题(7分),在圆周上有N个点(N>=6),在任意两个点之间连一条弦,假设任何3条弦在圆的内部
都没有公共点,问这些弦彼此相交能在圆内构成多少个三角形(只要求写出三角形总数的表示式而无需化
简)?
提示:
下图是N=6的情况,图中所示的4个三角形从某种意义上说具有一定的代表性。
答案:
C(N,3)+4*C(N,4)+5*C(N,5)+6*C(N,6)
第10题(6分),用1个或多个互不相同的正整数之和表示1~511之间的所有整数
①至少要多少个不同的正整数_________________;
②这些正整数是_______________
答案:
①9
②1,2,4,6,16,32,64,128,256
第11题(7分),在有m行n列格子的棋盘内,一枚棋子从棋盘的左上角格子沿上、下、左、右方向行走,
最后走到棋盘的右下角格子。
该棋子走过的格子数为奇数的充分必要条件是________________
答案:
m+n为偶数
完善程序试题及其答案
第1题(14分)以下程序是将一组整数按从小到大的顺序排列。
排序的方法是将长度为n的数a分为两个长度分别为(ndiv2)与(n-ndiv2)的子数组a1,a2。
然后递归调用排序过程,将a1,a2分别排序,最后将a1,a2归并成数组a。
例如a=(3,1,2,4),那么a1=(3,1),a2=(2,4)。
调用排序过程将a1,a2排序,得到a1=(1,3),a2=(2,4),然后进行合并排序。
从键盘输入数的长度n以及n个整数,存在数组a中,调用子过程sort进行排序,最后输出排序结果。
programwsh;
constmaxn=100;.
typearr:
array[1..maxn]ofinteger;
var
a:
array[1..maxn]ofinteger;
n,i:
integer;
proceduresort(n:
integer;vara:
arr);
var
i,p1,p2,n1,n2:
integer;
a1,a2:
arr;
begin
ifn=1thenexit;
fillchar(a1,sizeof(a1),0);
fillchar(a2,sizeof(a2),0);
n1:
=0;n2:
=0;
n1:
=ndiv2;n2:
=(____
(1)____);
fori:
=1ton1doa1[i]:
=a[i];
fori:
=1ton2doa2[i]:
=____
(2)____;
____(3)____;
sort(n2,a2);
p1:
=1;p2:
=1;
n:
=0;
while(p1<=n1)and(____(4)____)do
begin
n:
=n+1;
if____(5)____
thenbegina[n]:
=a1[p1];inc(p1);end
elsebegin____(6)____;inc(p2);end;
end;
ifp1<=n1
thenfori:
=____(7)____ton1dobeginn:
=n+1;a[n]:
=a1[i]end
elsefori:
=p2ton2dobeginn:
=n+1;a[n]:
=a2[i];end;
end;
begin
write('n=');
readln(n);
fori:
=1tondoread(a[i]);
readln;
sort(n,a);
fori:
=1tondowrite(a[i],'');
writeln;
end.
答案:
n-n1
a[n1+i]
sort(n1,a1)
(p2<=n2)
a1[p1]a[n]:
=a2[p2]
p1
第2题(8分)有n(1≤n≤100)个同学种m(1≤n≤m≤100)种小树苗,例如:
4个同学(1、2、3、4)每小时种4种树苗(A、B、C、D)的数量估算如下表所示,编程输出每人种1种苗所用的总时间最少的安排方案和所花费的时间。
学生ABCD
15245
24353
35242
43233
programwsh;
const
maxn=100;maxm=100;
var
a:
array[1..maxn,1..maxm]ofinteger;
m,n:
integer;
i,j,t:
integer;
procedurework(k,t1:
integer);
vari:
integer;
begin
if____
(1)____then
begin
ift1=t;
exit;
end;
fori:
=___
(2)___to___(3)___do
work(k+1,___(4)___);
end;
begin
readln(n,m);
fori:
=1tondo
begin
forj:
=1tomdoread(a[i,j]);
readln
end;
t:
=maxint;
work(1,0);
writeln(t)
end.
答案:
k>n
1
m
t1+t[k,i]
第3题(10分)程序的任务是用0…9中的数字填入如下乘法运算的*处,数字可重复使用,且所用的数字至少有一个是素数,要求输出满足下列算式的方案数。
***
x**
-------------------------
***
***
-------------------------
***
programwsh;
constp:
setof0...9=[2,3,5,7];
var
s:
setof0..9;
n:
integer;
ans:
longint;
f:
text;
procedureinit;
var
i:
integer;
t:
byte;
begin
readln(n);
s:
=[];
fori:
=1tondo
begin
read(t);
s:
=s+[t];
end;
close(f);
end;
functionok(x,l:
integer):
boolean;{此函数判断x是否符合条件}
vart:
byte;
begin
ok:
=false;
if___
(1)___<>lthenexit;
whilex<>0do
begin
t:
=xmod10;
ifnot(tins)thenexit;
x:
=xdiv10;
end;
ok:
=true;
end;
functioninset(x:
integer):
boolean;{此函数判断x中是否包含素数字}
vart:
byte;
begin
inset:
=false;
while___
(2)___do
begin
t:
=xmod10;
iftinpthen
begin
inset:
=true;
exit;
end;
___(3)___;
end;
end;
procedurework;
vari,i1,i2,i3,j1,j2:
integer;
begin
ans:
=0;
fori1:
=1to9do
ifi1insthen
fori2:
=1to9do
ifi2insthen
fori3:
=1to9do
ifi3insthen
begin
___(4)___;
forj1:
=1to9do
if(j1ins)andok(j1*i,3)then
forj2:
=1to9do
if(j2ins)andok(j2*i,3)and___(5)___then
begin
if(i1inp)or(i2inp)or(i3inp)
or(j1inp)or(j2inp)orinset(j1*i)orinset(j2*i)
theninc(ans);
end;
end;
writeln(ans);
end;
begin
init;
work;
end.
答案:
trunc(ln(x)/ln(10))+1
x>0
x:
=xdiv10
i:
=i1*100+i2*10+i3
ok(j1*i*10+j2*i,4)
第4题(15分)下列程序是对冒泡排序的一种改进,数组elem中有n个元素elem[1]、elem[2]…、elem[n]。
要排序的关键字是key。
先从一端开始扫描,进行比较、交换,然后改变下一趟的扫描方向进行同样的处理。
请完善下面的过程。
programwsh;
type
Td=record
key:
integer;
inf:
real;
end;
var
elem:
array[1..1000]ofTd;
n,i:
integer;
procedureshakesort(n:
integer);
var
i,t,h:
integer;
c:
boolean;
temp:
Td;
begin
h:
=1;
t:
=n;
repeat
____
(1)____;
fori:
=htot-1do
ifelem[i].key>elem[i+1].keythenbegin
temp:
=elem[i];
elem[i]:
=elem[i+1];
elem[i+1]:
=temp;
____
(2)____;
end;
____(3)____;
fori:
=t-1downtohdo
ifelem[i].key>elem[i+1].keythenbegin
temp:
=elem[i];
elem[i]:
=elem[i+1];
elem[i+1]:
=temp;
____(4)____;
end;
____(5)____;
untilc;
end;
begin{主过程}
…{略}
end.
答案:
c:
=true
c:
=false
t:
=t-1
c:
=false
h:
=h+1
第5题(15分)读入一个10x10的数字矩阵,矩阵中的数字各不相同,输出这个矩阵经过旋转、翻转后的7种不同样式。
programwsh;
var
matrix:
array[0..7,1..10,1..10]ofinteger;
lr,lc,which:
integer;
procedureoverturn(which:
integer);
var
lr,lc:
integer;
begin
forlr:
=1to10do
forlc:
=1to10do
matrix[which,lr,lc]:
=matrix[which-1,___
(1)___,___
(2)___];
end;
procedurerotate(which:
integer);
var
lr,lc:
integer;
begin
forlr:
=1to10do
forlc:
=1to10do
matrix[which,lr,lc]:
=matrix[which-1,___(3)___,___(4)___];
end;
begin
forlr:
=1to10do
forlc:
=1to10do
read(matrix[0,lr,lc]);
readln;
forwhich:
=1to7do
begin
if___(5)___thenoverturn(which)
elserotate(which);
forlr:
=1to10do
begin
forlc:
=1to10do
write(matrix[which,lr,lc]:
3);
writeln;
end;
readln;
end;
end.
答案:
11-lr
lc
11-lc
lr
which=4
第6题(16分)[问题描述]在n个元素的集合S中,找最大和最小元素(设n的值为2m).
[解题思路]把集合S分成两个子集S1和S2,每个子集有n/2个元素.应用递归过程search(S,Y,MAX,MIN)(S中有2k个元素),过程返回一对(MAX,MIN)值,为最大和最小元素,最后,把S1和S2中的最大和最小元素进行比较,从而得到S中的最大和最小元素.
[程序]
programwsh;
typedata=array[1..256]ofbyte;
jh=setofbyte;
vars,ss:
jh;
a:
data;
i,j,d,largest,smallest:
byte;
functionsq(k:
byte):
byte;
begin
ifk=1thensq:
=2elsesq:
=2*sq(k-1);
end;
procedureseareh(x:
jh;y:
byte;varmax,rain:
byte);
vark,p,w,nxl,nx2,ni1,ni2,n:
byte;
m:
array[1..2]ofbyte;
s1,s2:
jh;
begin
ify=2then
begin
p:
=0;
fork:
=1toido
if___
(1)___then
begin
p:
=p+1;m[p]:
=___
(2)___;
end;
if___(3)___then
begin
w:
=m[1];m[1]:
=m[2];m[2]:
=w;
end;
max:
=m[1];min:
=m[2];exit;
end
else
begin
si:
=[];n:
=O;y:
=___(4)___;
fork:
=1toido
if___(5)___then
begin
n:
=n+1;ifn<=ythens1:
=___(6)___;
end;
s2:
=___(7)___;
search(s1,y,nx1,ni1);search(s2,y,nx2,ni2);
ifnx1>nx2thenmax:
=nx1elsemax:
=nx2;
ifni1=ni1elsemin:
=ni2;
end
end;
begin
i:
=0;s:
=[];ss:
=[];
forj:
=1to7doss:
=ss+[sq(j)];
writeln('enter2^ndata:
');
repeat
whilenoteolndo
begin
i:
=i+1;read(d);
if___(8)___theni:
=i-1
elsebegin
a[i]:
=d;s:
=s+[a[i]];
end;
end;readln;
untiliinss;
search(s,i,largest,smallest);
writeln('largest-data:
',largest,'smallest-data:
',smallest)
end.
答案:
a[k]inx
m[p]:
=a[k]
m[1]<=m[2]
y:
=trunc(y/2)
a[k]inx
s1:
=s1+[a[k]]
s2:
=x-s1
dins
第7题(14分)[问题描述]将一个含有运算符为:
(、)、+、-、*、/、^(乘幂运算)、~(求负运算)的中缀表达式,如:
((1+2)*5)^2-(3+5)/2转化为后缀表达式,如:
12+5*2^35+2/-.
[解题思路]将中缀表达式转化为后缀表达式,首先规定运算
符的优先数如下:
┌───┬───┬───┬─────┬──────┬───┬───┐
│运算符│(│)│+,-│*,/│~│~│
├───┼───┼───┼─────┼──────┼───┼───┤
│优先数│0│1│2│3│4│5│
└───┴───┴───┴─────┴──────┴───┴───┘
1.若输入是运算量,则将该运算量输出;
2.若是左括号“(”,则将该符号的优先数压入设置的运算符堆栈e[p]中去;
3.输入运算符优先数是2,3,4,5时,如果栈空,则将运算符的优先数进栈。
如果栈不空,则将它与栈顶元素进行比较,倘若优先数大于栈顶元素的优先数,则进栈;小于顶元的,则顶元退栈并输出该运算符,然后再继续比较,直到大于顶元或栈空时进栈;
4.若是右括号“)”,同时栈顶元又为左括号“(”,则栈顶元退栈,并抹去右括号“)”.否则转3处理;
5.输入完而栈非空,则将栈内内容逐一退栈并输出。
所有输出的结果就为后缀表达式。
过程中用到的相关数据结构如下:
typearraydata=array[1..100]ofstring[20];
constfh:
array[1..8]ofstring[1]
=('(',')','+','-','*','/','~','^');
b:
array[1..8]ofbyte=(0,1,2,2,3,3,4,5);
vard:
arraydata;{存储运算量及运算符号}
i,j,m,k:
byte;
[过程程序]
procedurehzbds(vard:
arraydata;varm:
byte);
var:
array[1'-.100]ofbyte;
i,p,k,bi:
byte;
bl:
boolean;
begin
p:
=O;k:
=1;bj:
=0;
whilek<=mdo
begin
if___
(1)___then
begin
p:
=p+1;e[p]:
=1
end
elsebegin
fori:
=2to8do
if___
(2)___then
begin
b1:
=true;
repeat
if___(3)___then
begin
p:
=p+1;e[p]:
=i;bj:
=1;b1:
=false
end
elseif____(4)___then
ife[p]<>1then
begin
p:
=p+1;e[p]:
=i;bj:
=1;b1:
=false
end
elseifd[k]<>')'then
begin
p:
=p+1;e[p]:
=i;bj:
=1;b1:
=false
end
elsebegin
___(5)___;bj:
=1;b1:
=false;
end
elsebegin
write(fh[e[p]],'');p:
=p-1
end;
untilb1=false;
end
if___(6)___thenwrite(d[k],'')elsebj:
=0