第3章 第4节 函数fxAsinωx+φ的图像及应用.docx

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第3章第4节函数fxAsinωx+φ的图像及应用

限时规范训练（限时练·夯基练·提能练）

A级　基础夯实练

1．若将函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（　　）

A．x＝－（k∈Z）B．x＝＋（k∈Z）

C．x＝－（k∈Z）D．x＝＋（k∈Z）

解析：

选B．将函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin2＝2sin的图像．由2x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），即平移后图像的对称轴为x＝＋（k∈Z）．

2．（2018·石家庄二检）若ω＞0，函数y＝cos的图像向右平移个单位长度后与函数y＝sinωx的图像重合，则ω的最小值为（　　）

A．B．

C．D．

解析：

选B．函数y＝cos的图像向右平移个单位长度后，所得函数图像对应的解析式为y＝cos＝cos，其图像与函数y＝sinωx＝cos，k∈Z的图像重合，

∴－＋2kπ＝－＋，k∈Z，∴ω＝－6k＋，k∈Z，又ω＞0，∴ω的最小值为，故选B．

3．（2018·昆明调研）已知函数f（x）＝sinωx的图像关于点对称，且f（x）在上为增函数，则ω＝（　　）

A．B．3

C．D．6

解析：

选A．因为函数f（x）＝sinωx的图像关于对称，所以π＝kπ（k∈Z），即ω＝k（k∈Z）　①，又函数f（x）＝sinωx在区间上是增函数，所以≤且ω＞0，所以0＜ω≤2　②，由①②得ω＝，故选A．

4．（2018·衡水模拟）将函数y＝f（x）＝2sin的图像向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图像，则下面对函数y＝g（x）的叙述正确的是（　　）

A．函数g（x）＝2sin

B．函数g（x）的周期为π

C．函数g（x）的一个对称中心为点

D．函数g（x）在区间上单调递增

解析：

选C．将函数f（x）＝2sin的图像向左平移个单位，可得函数y＝2sin＝2sin的图像；再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin的图像，

故g（x）的周期为＝，排除A，B．

令x＝－，求得g（x）＝0，可得g（x）的一个对称中心为，故C满足条件．

在区间上，4x＋∈，函数g（x）没有单调性，故排除D．

5．（2018·广东珠海质检）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图像如图所示，为了得到g（x）＝cos2x的图像，则只需将f（x）的图像（　　）

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

解析：

选D．根据函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）A＞0，|φ|＜的图像，可得A＝1，×＝－，

∴ω＝2.

因此f（x）＝sin（2x＋φ）．

由题图，知f＝sin＝－1，

∴＋φ＝2kπ－（k∈Z）．

又|φ|＜，∴φ＝.

∴f（x）＝sin.

∵f（x）＝sin＝cos

＝cos＝cos＝cos，

故把f（x）＝sin的图像向左平移个单位，可得g（x）＝cos2x的图像．

6．（2018·太原模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图像与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f（x）的单调递增区间是

（　　）

A．[6kπ，6kπ＋3]，k∈Z

B．[6k－3,6k]，k∈Z

C．[6k,6k＋3]，k∈Z

D．[6kπ－3,6kπ]，k∈Z

解析：

选C．因为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图像与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，

所以T＝6＝，所以ω＝，且当x＝3时函数取得最大值，所以×3＋φ＝，所以φ＝－，

所以f（x）＝Asin，

所以－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，k∈Z，

所以6k≤x≤6k＋3，k∈Z.

7．（2018·唐山模拟）已知角φ的终边经过点P（－4,3），函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为________．

解析：

由角φ的终边经过点P（－4,3），可得cosφ＝－.

根据函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，

可得周期为＝2×，解得ω＝2，

∴f（x）＝sin（2x＋φ），

∴f＝sin＝cosφ＝－.

答案：

－

8．（2018·南昌模拟）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I＝Asin（ωt＋φ）A＞0，ω＞0,0＜φ＜的图像如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是______安．

解析：

由函数图像知A＝10，＝－＝，

∴ω＝＝100π.∴I＝10sin（100πt＋φ），

∵图像过点，

∴10sin＝10，

∴sin＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵0＜φ＜，∴φ＝.

∴I＝10sin，

当t＝秒时，I＝－5（安）．

答案：

－5

9．（2018·河北邯郸调研）已知函数f（x）＝2cos2ωx－1＋2cosωxsinωx（0＜ω＜1），直线x＝是f（x）图像的一条对称轴．

（1）试求ω的值；

（2）已知函数y＝g（x）的图像是由y＝f（x）图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sinα的值．

解：

f（x）＝2cos2ωx－1＋2cosωxsinωx＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.

（1）由于直线x＝是函数f（x）＝2sin图像的一条对称轴，∴sin＝±1.

∴ω＋＝kπ＋（k∈Z），

∴ω＝k＋（k∈Z）．

又0＜ω＜1，∴－＜k＜.

又∵k∈Z，从而k＝0，∴ω＝.

（2）由

（1）知f（x）＝2sin，由题意可得

g（x）＝2sin，即g（x）＝2cosx.

∵g＝2cos＝，

∴cos＝.

又α∈，

∴＜α＋＜，

∴sin＝，

∴sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.

10．已知函数f（x）＝sinωx－sin（ω＞0）．

（1）若f（x）在[0，π]上的值域为，求ω的取值范围；

（2）若f（x）在上单调，且f（0）＋f＝0，求ω的值．

解：

f（x）＝sinωx－sin＝sinωx－sinωx－cosωx＝sinωx－cosωx＝sin.

（1）由x∈[0，π]⇒ωx－∈，又f（x）在[0，π]上的值域为，即最小值为－，最大值为1，则由正弦函数的图像可知≤ωπ－≤，解得≤ω≤.∴ω的取值范围是.

（2）因为f（x）在上单调，所以≥－0，则≥，即ω≤3，又ω＞0，所以0＜ω≤3，由f（0）＋f＝0且f（x）在上单调，得是f（x）图像的对称中心，∴－＝kπ，k∈Z⇒ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω≤3，所以ω＝2.

B级　能力提升练

11．（2018·杭州模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0,0＜φ＜），f（x1）＝1，f（x2）＝0，若|x1－x2|min＝，且f＝，则f（x）的单调递增区间为（　　）

A．，k∈Z

B．，k∈Z

C．，k∈Z

D．，k∈Z

解析：

选B．设f（x）的最小正周期为T，由f（x1）＝1，f（x2）＝0，|x1－x2|min＝，得＝⇒T＝2，即ω＝＝π.由f＝，得sin＝，即cosφ＝，又0＜φ＜，所以φ＝，f（x）＝sin.由－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z.所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.故选B．

12．（2018·石家庄质检）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的部分图像如图所示，将函数f（x）的图像向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到函数g（x）的图像关于点对称，则m的值可能为（　　）

A．B．

C．D．

解析：

选D．依题意得解得

＝＝－＝，

故ω＝2，则f（x）＝sin（2x＋φ）＋.

又f＝sin＋＝，

故＋φ＝＋2kπ（k∈Z），即φ＝＋2kπ（k∈Z）．

因为|φ|＜，故φ＝，

所以f（x）＝sin＋.

将函数f（x）的图像向左平移m个单位长度后得到g（x）＝sin＋的图像，又函数g（x）的图像关于点对称，即h（x）＝sin的图像关于点对称，故sin＝0，即＋2m＝kπ（k∈Z），故m＝－（k∈Z）．令k＝2，则m＝.

13．（2018·青岛二中月考）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图像如图所示，若x1，x2∈－，，且f（x1）＝f（x2），则f（x1＋x2）＝________.

解析：

观察题中图像可知，A＝1，T＝π，

∴ω＝2，f（x）＝sin（2x＋φ）．

将代入上式得sin＝0，

由已知得φ＝，故f（x）＝sin.

函数图像的对称轴为x＝＝.

又x1，x2∈，且f（x1）＝f（x2），

∴f（x1＋x2）＝f＝f

＝sin＝.

答案：

14．某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ

0

π

2π

x

Asin（ωx＋φ）

0

5

－5

0

（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）将y＝f（x）图像上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝g（x）的图像．若y＝g（x）图像的一个对称中心为，求θ的最小值．

解：

（1）根据表中已知数据，得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

ωx＋φ

0

π

2π

x

π

Asin（ωx＋φ）

0

5

0

－5

0

且函数解析式为f（x）＝5sin.

（2）由

（1）知f（x）＝5sin，

得g（x）＝5sin.

因为y＝sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z.

令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.

由于函数y＝g（x）的图像关于点成中心对称，

令＋－θ＝，k∈Z，

解得θ＝－，k∈Z.由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.

15．已知函数f（x）＝2cosπx·cos2＋sin[（x＋1）π]·sinφ－cosπx的部分图像如图所示．

（1）求φ的值及图中x0的值；

（2）将函数f（x）的图像上的各点向左平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数g（x）的图像，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．

解：

（1）f（x）＝2cosπx·cos2＋sin[（x＋1）π]·sinφ－cosπx＝cosπx·－sinπx·sinφ

＝cosπx·cosφ－sinπx·sinφ＝cos（πx＋φ）．

由题图可知，cosφ＝，又0＜φ＜，所以φ＝.

又cos＝，所以πx0＋＝，

所以x0＝.

（2）由

（1）可知f（x）＝cos，将图像上的各点向左平移个单位长度得到y＝cos

＝cos的图像，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍后得到g（x）＝cos的图像．

因为x∈，所以－≤πx＋≤.

所以当πx＋＝0，即x＝－时，g（x）取得最大值；

当πx＋＝，即x＝时，g（x）取得最小值－.

C级　素养加强练

16．（2018·广东中山质检）已知函数f（x）＝msinx＋ncosx，且f是它的最大值（其中m，n为常数，且mn≠0）．给出下列命题：

①f为偶函数；

②函数f（x）的图像关于点对称；

③f是函数f（x）的最小值；

④函数f（x）的图像在y轴右侧与直线y＝的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|＝π.其中正确命题的个数是________个．

解析：

由于函数f（x）＝msinx＋ncosx＝sin（x＋φ），且f是它的最大值，

∴＋φ＝2kπ＋，

∴φ＝2kπ＋，k∈Z.

∴f（x）＝sin

＝sin.

对于①，由于f＝·sinx＋＋

＝cosx是偶函数，故①正确；

对于②，由于当x＝时，f（x）＝0，故函数f（x）的图像关于点对称，故②正确；

对于③，由于f＝·sin＝－是函数f（x）的最小值，故③正确；

对于④，由正弦函数的图像可知，|P2P4|等于最小正周期2π.故④不正确．

答案：

3