算法合集之《平衡规划》.docx
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算法合集之《平衡规划》
平衡规划
——浅析一类平衡思想在信息学竞赛中的应用
福建省福州市第八中学郑暾
【目录】
●摘要2
●关键字2
●正文2
◆引言2
◆应用平衡思想的几类问题3
●经典算法的非典型实现3
⏹例题一、警卫安排问题3
⏹例题二、Jackpot6
●效果优秀的非完美算法8
⏹例题三、追捕盗贼8
●复杂问题的简单化构造12
⏹例题四、数列维护12
⏹例题五、树的维护14
◆总结17
●感谢18
●参考文献18
●附录18
【摘要】
应用计算机解题的核心是算法设计。
但算法设计方面涉及的领域十分丰富。
我们不能奢求能完美地应用所有的算法，所以我们关注的通常是如何合理运用已学知识，并在所掌握算法间构建一种平衡，在限定的时间内尽可能多地解决问题。
本文尝试讨论一类平衡思想应用于算法构造、算法实现的模式。
【关键字】
平衡思想、平衡点、时空效率、编程复杂度
【正文】
一、引言
平衡通常指物体或系统的一种状态。
处于平衡状态的物体或系统，除非受到外界的影响，它本身不会有任何自发的变化。
多种状态达到平衡通常是我们所追求的目标。
平衡思想是一种奇妙的思想，它的应用十分广泛。
在算法设计，数据结构设计甚至程序设计中都能发现它的身影。
计算机竞赛就是一场博弈，寻找这场博弈中的平衡点，合理应用平衡思想辅助算法设计与程序实现，往往能起到化腐朽为神奇的作用。
在信息学竞赛中，平衡思想通常有以下几个方面的运用：
1、博弈问题。
有许多博弈类问题都可以转化成寻找平衡点的问题。
2、数据结构的构建。
每种数据结构都能以优秀的性能支持某些操作，合理选择应用数据结构，往往能通过略微提高一些操作的复杂度，降低大多数操作的复杂度，在不同操作的效率之间构建一种平衡，以达到优化的目的。
3、时间效率vs空间效率。
这类问题是我们经常遇到的问题。
这类问题通常有这样的特性，我们能找到时间效率（或空间效率）十分优秀的算法，但代价是空间效率（或时间效率）极端低下。
如何合理设计算法，组织数据，平衡二者的关系是解决这类问题的重点。
4、时空效率vs其他。
如果面对难题难以设计出优美的算法，又或者设计了优秀效率的算法，却无法实现或难以实现，就会出现非常尴尬的局面。
合理应用平衡规划解决这类问题，往往能收到意想不到的效果。
而这类问题也正是本文所要重点探讨的问题。
下文将试图论述运用平衡思想解决这类问题中的三种常见模式：
经典算法的非典型实现，效果优秀的非完美算法，以及复杂问题的简单化构造。
2、应用平衡思想的几类问题
1、经典算法的非典型实现。
大多数经典算法通常是为很多人所熟知，并且能够熟悉运用。
经典算法通常也有很多不同的实现方法。
例如拓扑排序，如果数据范围比较大，通常使用算法复杂度为O（n）的程序，但是如果范围比较小，一个不超过10行的
的程序可以使代码看起来更为简洁。
而不同的实现方法中，哪怕只是细微的不同，实现后的性能与效率也可能有很大的差别。
更进一步，有些算法虽然堪称经典，但是无论是思考复杂度还是实现复杂度都相对颇高，在考场上来说，使用一些相对简单实用的方法无疑是一种不错的选择。
例题一、警卫安排问题（ural1099）
题目描述：
给定若干警卫间搭档关系，要求成对给警卫安排保卫工作，求能够安排警卫的最大值。
（警卫人数不超过222）
初步分析：
题目描述很简单，稍加分析后我们很容易看出来，这题的本质其实是要求我们求出任意图的最大匹配。
任意图的最大匹配的经典算法是应用带花匈牙利树，时间复杂度为
，对付这道题来说是绰绰有余的。
但是带花树本身比较复杂，思维复杂度与编程复杂度较高，而且实现起来很容易退化，考场上有限的时间内难以完成。
于是我们尝试考虑替代算法予以解决。
解法分析：
解决二分图最大匹配的时候，主要过程是不断寻找交错增广树来调整。
那么这么做对于任意图是否可行？
答案是否定的。
考察右边这张图（图一）。
图中粗线表示当前状态下已匹配边，虚线表示未匹配边。
若我们当前找的增广树如图二所示，那么我们就无法找到一条增广路。
但实际上，存这样的一条增广路：
。
为了找到增广路，我们可以采用搜索的方法，但这样寻找增广路复杂度过高。
我们注意到，采用调整增广轨的方法，如果一个点之前已经被匹配到，则之后无论如何调整，这个点始终能被匹配到。
因此，对于一个待匹配点，是否能找到一条以它为起点的增广路是优化解的关键。
而是否能找到一棵增广树又很大程度上依赖于之前找寻的情况，若要设计数据使得无法找到增广树通常又依赖于特定的扩展顺序。
这启发我们采用随机扩展顺序的方法来尽量避免形成类似图一的特殊局面。
笔者的程序中生成了两个随机序列，一个作为点的初次访问序，一个作为点的拓展顺序，然后直接使用一开始所说的寻找交错树的方法来扩展。
同时，采用多次随机运行的方法提高最优解的出现概率。
但是作为随机贪心算法，除了拿到AC之外，我们更应该关注这个程序通常的运行情况如何。
上述算法中，在ural点数限制仅仅为222以下的情况下，通常运行次数却要设定为20至50才能基本上保证AC。
相对于数据本身，这个运行次数还是比较大，说明算法本身具有比较大的不确定因素，以及出最优解概率并不是很高。
所以我们需要进一步优化以提高一次运行的最优解出现概率。
进一步优化
上述解法中曾提到，采用调整增广轨的方法，如果一个点之前已经被匹配到，则之后无论如何调整，这个点始终能被匹配到。
它带来的另一个信息是，若一个点之前未被匹配到，那么在本轮搜索中，这个点最终将很可能保持未匹配的状态。
因此影响最终结果的，往往是某个本应该被匹配到的点因为之前增广树的查找失败而被放弃匹配。
初始算法解决这个问题的方法是全局重新搜索，所以常常出现为了一个点而全部重来的尴尬场面。
其实这是舍近求远。
我们完全可以换一个扩展顺序，对于当前未找到交错树从而无法匹配的点，直接重新搜索一棵交错树！
当然大部分的图都无法实现完美匹配，所以类似运行次数的限制，我们需要设置一个失败次数上限。
当为一个未匹配点寻找匹配点时，只有失败次数超过了这个上限才放弃。
那么失败上限次数应该设置为多少比较好？
进一步的，这个方法实现起来究竟效果如何呢？
为此笔者进行了一系列的实验，得到了如下的实验数据表：
运行次数-失败上限
5-5
5-10
10-1
10-10
20-1
20-10
50-1
Accepted
90%
100%
0%
90%
60%
0%
100%
Wronganswer
10%
0%
100%
10%
40%
0%
0%
Timelimitexceeded
0%
0%
0%
0%
0%
100%
0%
平均AC时间
0.0761
0.1471
--
0.2960
0.0385
--
0.0795
实验的运行平台是Ural1099的测试，时限是0.5秒。
表头的N-M表示程序将重复运行N次，失败上限设置为M，例如5-5表示程序将重复运行5次，失败上限设置为5。
实验表明，这个方法能显著地提高一次运行的最优解出现概率。
从表中数据可以看出，初始算法直到20-1才有50%以上的AC率，而优化后的方法将失败上限设置为5就可以让仅仅重复运行5次的AC率达到了90%。
当然，这种方法同样存在一定的随机因素，加之Ural1099的数据比较强大（从数量到质量），所以出现了如表中5-10是100%AC但是10-10却只有90%的AC率的情况。
但正所谓有得必有失。
优化后的方法有着极高的准确率，但同时时间效率并不高。
实验中，5-5的时间已经逼近了50-1的时间。
虽然相对于时限来说还是比较轻松，但是其增长还是较可观的（20-10的全部超时就可以说明这一点）。
实际上，虽然理论上时间复杂度仅仅是多一个所设置的失败上限的常数，但由于将进一步优化中需要大量地使用了随机函数，而生成随机函数的常数比较大，造成了实际程序的常数较大，拖累了时间。
所以，两种算法都有其各自的优缺点，这就需要我们根据题目的给出的信息，根据实际算法的需求来进行选择。
进一步扩展：
随机搜索序和设置失败上限的作用并不局限于此。
对于随机搜索序，表面上看是根据克制数据或克制情况的顺序依赖性，应用随机的顺序来进行回避。
其实其本质是：
通过设置一些随机权值，以改变一个当前状态的属性，从而回避特殊情况的生成（例如本题是回避克制数据的生成）。
我们常用的Treap，随机快排（随机选择比较变量），其本质也是如此。
设置失败上限则是随机搜索序关于准确率的一个优化。
随机算法不可避免还是有可能无法得到我们理想的状态或结果（例如本题依然可能找不到存在的增广路，又例如Treap并不完全平衡）。
随机搜索序通常是全局重新运行来提高最优解的出现概率，而设置失败上限则是通过对于局部问题的精益求精来强化全局目标情况出现概率，常见的应用有大素数的测试等。
小结：
对于这道题，两种方法都可以比较轻松地通过。
考虑到数据范围并不大，为了追求准确率可以增加参数上限，或者为了保证时间效率压缩参数上限，这需要我们根据实际情况合理平衡二者之间的关系。
以准确率为代价我们得到了随机贪心算法，以时间复杂度为代价我们得到了准确率的进一步的优化，但不论是哪种方法，都能有效地降低了思维与编程复杂度，达到了二者之间的相对平衡。
例题二、Jackpot（PKU2103）
题目描述：
等概率选择任意整数，若其能被p1,p2,p3...pn中至少一个数整除，那么称当前情况为胜利局面。
给定p1,p2,p3...pn，（n<=16）求得到胜利局面的概率（用最简分数表示）。
初步分析：
本题看起来十分复杂。
题目作为参考，给了一个比较复杂的计算概率的式子。
其中P表示最后结果的概率，
是-k到k之间至少能被给定的p1,p2...pn其中一个数整除的个数。
但如果直接用这个式子比较复杂。
所以我们设计了下述算法代替。
注意题目中涉及高精度计算，但本题时限卡的比较紧，如果用普通的高精度容易超时，巨大的常数无法忍受。
如何合理优化常数成为了解决问题的关键。
解法分析：
本题其实是数学题。
题目等价于求取数区间为1~lcm（p1,p2,p3...）的时候的概率，但由于1<=pi<=109，使得最小公倍数可能很大，直接扫描显然不现实。
注意到给定的数最多只有16个，所以我们可以应用容斥原理求出区间中可以得到胜利局面的数的个数。
由于题目涉及了许多求gcd，lcm的高精度，一个小技巧是开一个素数列表，当前状态以纪录素数的次数的方式记录，最后再还原成原来的整数。
主算法的设计与实现并不困难。
所以在主算法相同的情况下，高精度算法的实现优劣就成了左右程序效率的关键。
本题涵盖了许多的高精度算法，而几乎每一次运算都要使用到高精度运算。
其中使用最多的有高精度乘以单精度与高精度加减法。
高精度运算有一个通用的优化：
压位。
在longint范围内通常是压4位（即万进制），在int64则可以压8位，而压位能有效地减少高精度数组的长度，从而提高效率。
注意到程序实现时要大量使用div与mod运算，这两个运算的常数是比较大的。
那么是否有办法绕开这两个运算呢？
答案是肯定的。
我们注意到，除法与取模的运算是为了进行压位处理的操作，（注意到若是高精度乘法，中间结果可能比较大，所以用while递减实现取模的效果更差）。
但无论压位与否，我们的所采用的万进制等进行压位实质上还是沿用着通常的十进制的思维模式。
但计算机处理二进制运算（位操作）显然要比十进制常数小。
所以我们可以跳出思维惯性，采用二进制压位，这样，一些取模或者除法运算就能用位操作很好地实现。
下面是两个程序主要部分的伪代码的对比。
（高精度与单精度乘法）
采用
进制压位的乘法
采用
进制压位的乘法
fori1toa[0]+1do
begin
pa[i]*b+pdiv
;
a[i]pmod
;
end;
fori1toa[0]+1do
begin
pa[i]*b+pshrn;
a[i]pand（
-1）;
end;
可以发现，两者的程序几乎相同。
但采用
进制压位的乘法利用位运算代替了运算常数很高的div与mod，而同等情况下压位后数组长度与通常的压位差别不大（甚至稍优），所以实际应用时可以取得很好的效果。
在本题中，笔者的程序应用了这个方法，在1秒内就通过了所有的数据。
当然有得必有失。
这种优化因为采用
进制进行压位，但通常答案都是要求输出10进制的结果，所以无法类似
那样直接输出。
在输出时需要对其进行高精度计算对10取模。
这里就不再赘述了。
小结：
例题在实现中跳出了典型实现的思维框架，创新地使用了二进制压位思想。
虽然修改后在最后输出时的取模操作提高了输出的时间复杂度，但毕竟输出的次数通常不多，而程序中调用高精度运算的次数却可能很大（例如本题）。
这里以提高输出的复杂度为代价，降低了运算的常数复杂度，实质上是构建了二者的算法复杂度之间的平衡，所以最后能取得相当不错的效果。
经典算法还有很多，也有一大部分无论设计与实现都存在一定的困难，很多细节的操作往往也能左右算法的效率。
在这样一类问题中，本来是简化问题的经典算法却成为了程序实现的障碍。
根据实际需求，合理改造算法，细心设计算法细节的实现，有效地平衡算法中不同部分的复杂度关系，建立各部分之间的平衡，往往是解决这类问题的利器。
2、效果优秀的非完美算法
在信息学竞赛的赛场上，遇到不会做的题目对大多数人来说是很平常的事情。
但是如果就此放弃也未免太可惜了。
毕竟一道题一百分往往能直接左右竞赛的结果。
如果题目有部分分，又或者题目是要求我们求最优解或者构造最优方案时，采用些非完美算法或者近似算法往往能收到不错的效果（虽然不一定能满分）。
如果类似下文能使用DP、贪心算法构造出“几乎是对”的算法的话，则能为我们节省下大量的思考时间，达到了得到的分数与所消耗时间的平衡，性价比可谓是非常高。
例题三、追捕盗贼（NOI2007Day2catch）
题目描述：
MagicLand由N个城市，N-1条公路彼此连接起来，任意两个城市间都可以通过若干条公路互达。
大盗Frank能够在公路上以任意速度移动。
你的任务就是抓住大盗Frank。
但是你完全不知道Frank躲在哪个城市，或者正在哪条公路上移动，所以需要制定一个周密的抓捕计划。
每个单位时间你可以完成以下几个操作：
1、在某个城市空降一位警探。
2、把留在某个城市里的一位警探直接召回指挥部。
3、让待在某个城市的一位警探沿着公路移动到另一个城市。
若警探和大盗在同一城市或者同一条公路上移动则可以抓获大盗。
请你制定一个使用人数最少的捕获计划，并且操作次数不能超过20000。
初步分析：
本题初看上去并不复杂，但却是这次比赛最难的一道题。
事实上，这是一道论文题级别的题目，涉及许多定理与推论，思维复杂度编程复杂度同时达到一定的高度。
事实证明，考场上也没有人想出来标准做法。
但这一百分也不能扔掉。
考虑到这题的评分标准存在部分分，而且只要有一个可行解就有分，即使是简单的构造也能拿到一定的分数。
所以各种骗分的算法蜂拥而至，也取得了一定的效果。
但是这题的数据还是比较强大，寻常的骗分效果并不理想。
于是经过一定的思考，我们可以发现一种比较不错的替代算法。
解法分析：
我们首先考察简单的样例数据。
城市与城市之间的连接关系如右图所示。
一种可行解是：
始终在城市2驻扎一个警探，然后在城市1降落1个警探并往城市2移动，到达城市2后收回，并对城市3、4进行类似的操作。
样例虽然简单，但给我们提供了一种非常有用的构造思想。
我们知道，树上的任意一个点可以将树拆分成若干个无关的部分。
对应于这道题目来说，在一个点上常驻一个警探可以使大盗无法从被这个点分隔开的一个部分进入另一个部分。
显然，为了使我们之前的搜索过程没有浪费，进行分叉的搜索时，在分割点上驻一个警探可以保住之前的搜索成果。
这样，我们就可以每次选择一个点将图拆分成若干个不同的部分。
每个部分就是一个缩小规模版本的题目。
这不是神似我们常用的动态规划的解题构造法么？
根据这个思路，我们能得到一个大概的转移方程式：
其中，
表示树的点集为V时候的较优（最优）警探放置数量，
表示第i棵子树（点集为
）的情况。
但是子状态的情况并不好构造，如果构造不当，这样的结果并不一定很优。
最简单的方法，我们可以搜索每次拆分的点。
但是这么做时间复杂度十分高，而且输出方案、程序实现也相对麻烦。
同时我们考虑这样的情况，例如一个点将这棵树分成了若干个部分，如果我们搜索行动进行到了最后一部分时，原本驻扎的警探就可以沿路径前进，这样可以节省一个驻扎在分割点的警探，结果通常会更优。
而且，一棵子树的最优解情况并不容易转移到原树上。
对于这种方法，子树的若干最优解如何选择，如何与整棵树的解进行衔接从而构造最终解，如何保证正确性最优性的兼并？
这些都是我们需要考虑但又十分困难的问题。
但我们怎能就此放弃这道题？
花时间考虑过于复杂的标准方法显然不现实。
考虑到有部分分，我们完全可以修改上述方法使之能取得一个较优解。
上述方法有一个重点是考虑将树分解成了若干个小规模的问题，但同时产生一个问题，如何衔接子问题与总问题的构造？
我们不妨将初始的分割点作为树的根，构建整棵树，子问题的分割点直接设置为子树的根。
每次选取一个需求最多的子树作为最后扩展部分。
采用这样的思路，一个新的近似构造方法产生了。
首先枚举初始分割点，将初始分割点作为树根建树。
对这棵树进行类似树状动态规划的贪心构造。
我们有如下状态转移方程。
其中D（x）表示以x为根节点的树的较优（最优）警探放置数量。
son[x]表示节点x的儿子节点的集合。
构造具体解的时候，我们也完全可以按照转移来进行构造。
整个过程是递归实现的。
将两个警探驻扎在分割点上，派出一个警探移动向分割点的子节点，然后重复上述过程，探索完毕（即警探走到了叶子节点）就立刻将警探回收。
对每一个分割点，最后探索需求警探数最大的子树，此时不用额外派遣警探，直接将分割点上警探移动到子节点，并重复上述过程直到整棵树探索完毕。
从实现方面来说，算法的主体部分无论计算还是构造，实现起来都相对比较轻松。
但这个算法的最后效果如何呢？
上述算法主要弱点在于，我们除了初始的分割点是枚举的外，其余子树初始分割点直接定为子树的根。
这样做虽然使得构造解变得轻松，但有可能使得子树得到的解无法保证最优，从而影响整体解的质量。
例如下图的情况，如果按照上述的贪心算法，我们会得到最后的答案是4，但是
实际上最优解只需要3个警探就可以了。
构造方案如下，root节点始终驻扎警探，分别派遣警探a，警探b到节点5，6，并同时往节点2移动，回收警探b，让警探a往节点1移动。
派遣警探b到root节点并顺次移动到节点1，4，9。
回收警探b，派遣a往节点3移动并派遣警探b到节点3，之后警探a，b分别往节点7，8移动并回收。
对于root的其他子树采取类似的操作。
我们的贪心算法因为对于子树默认以根节点作为分割点，所以无法得到上述的构造方案。
那么这个算法是否还有意义呢？
我们注意到影响到当前点解的质量只有2个因素，即子节点中需求警探数最大与次大的点。
因此，其他子节点的解即使稍劣也不会影响最终结果。
也就是说，实际的解给部分的解提供了一个弹性空间。
同时，即使部分数据可以克制这个算法，但由于小部分克制数据比较难以构造（上述反例也至少需要大约30个节点来“配合”），随着数据量加大，通常随机的数据即使生成了克制数据也几乎无法影响最后的解。
而且，即使是给定顺序的分割点，得到的解通常也是较优解甚至最优解。
而枚举第一个分割点虽然把时间复杂度提高到了O（N2），但时间方面依然很宽裕，解的质量却有效地提高了。
笔者使用这个方法测试了1000组随机数据，结果表明，有百分之八十五左右的计算结果只需要5个警探，其余都是6个警探（极偶然出现过只需4个警探的情况）。
对照得分规则，可以发现这样至少能获得60%的分数。
（2个以下警探肯定能正确出解）。
实践证明，这种方法对于考场的数据可以拿到96分的好成绩，只有一个数据点结果会比标准答案大1。
小结：
虽然没有AC掉这道题，但对于实质上属于论文难度级别的这道题，考场上能够做到96分已经足够了。
考虑到这种构造法思维复杂度较低，实现起来十分轻松，时间复杂度中规中矩，时限范围内足够出解，而且解的质量相对较高。
考场上，这样的程序能为我们省下大量的时间去解决其它问题。
在这道题目中，我们用解的质量为代价，极大地降低了程序思维复杂度与实现方面的难度，同时在基础的方案上，我们合理优化构造的方法，使得解的质量通常可以达到最优。
在这一类问题中，原本复杂的问题我们无法解决，一味追求AC往往得不偿失，而选择一些效果不错的近似算法就有着较高的性价比。
这样实质上是通过些另类的途径，有效地建立了所得分数与所耗时间的平衡，以少量的代价取得了优秀的效果，也不失为一种优秀的解题策略。
3、复杂问题的简单化构造
当然，并不是每一道题都能够找到第二类问题那样的效果优秀的近似算法。
而且如果是形如ACM之类的比赛，或者题目要求维护一系列操作时，近似算法的作用往往会被限制。
此时，我们即使无法找到时空效率十分优美的算法，也需要沉着下来，仔细分析题目特征。
一类常常使用的方法就是，在可行的时空限制下，以时空效率为代价，降低思维复杂度，建立时空复杂度与思考实现复杂度的平衡，这就是复杂问题的简单化构造。
这类问题通常有一个特征。
如果题目所给的条件再强大一些，把可能涉及的情况限制成某些特例时，我们能找到优秀的算法，但扩展之后却不能通用。
如何有效应用特例提供的信息来简化模型，进一步地建立特例与一般的平衡，往往是解决问题的关键。
例题四、数列维护
题目描述：
给一个长度为n（n<=100000）的整数数列，要求维护以下几个操作。
1、数列第i项到第j项同时加上一个整数。
2、询问第i项到第j项中比整数c小的数有多少个。
最大操作数不超过10000。
初步分析：
本题要求我们应用数据结构维护关于序列区间的一些操作。
由于同时涉及区间的比大小，询问，增减操作，我们的第一反应通常是用树套树的数据结构来解决这样的问题。
但注意到题目中有变换区间序列的操作，简单地套用模型会使得区间合并的时候时间复杂度并不理想。
再者，树套树有着复杂的代码量，调试起来也并不容易，如果不小心就可能造成巨大的损失。
注意到题目中最大操作数仅10000，时限方面也并不紧张（5s），我们可以放弃树套树的思想，考虑采用实现简单、代码量低、调试方便的算法来代替。
解法分析：
对于区间操作，还有一种数据结构也常常为我们所用，那就是块状链表。
不过，直接写普通的块状链表复杂度是
，但代码量依然巨大。
但块状链表的思想可以为我们所用。
我们注意到，题目中的区间操作仅局限于区间增减或者询问，并不会打乱数列的顺序，所以，我们不妨稍微改造下块状链表——块状数组。
块状数组是这样的一个数组，它直接对原数组进行划分，分为
个部分，每个部分长度为
，每个部分开相应的域以记录类似增减的操作信息（当然也可以是一些统计的信息，但这不在本题考虑范围之内）。
这样的结构实现起来十分简单（使用原数组即可），适合的操作包括一些区间大小询问，区间增减操作，但不支持区间插入删除操作，原因是块状数组适合这样的序列操作，序列项与项之间隐含着严格不变的次序关系。
但本题所要求的操作正好能满足这个条件。
在这道题目中，我们需要维护的操作有两个：
区间增减操作，区间询问操作。
注意到增减操作时，
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