7.甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 设甲射击命中目标为事件A,乙射击命中目标为事件B,丙射击命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P()=P()P()·P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-×1-×1-=.∴三人同时射击目标,击中目标的概率P=1-P()=.
8.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A.[0.4,1]B.(0,0.4]
C.(0,0.6]D.[0.6,1]
答案 A
解析 设事件A在一次试验中发生的概率为p,则
Cp(1-p)3≤Cp2(1-p)2,解得p≥0.4.故选A.
9.某次知识竞赛规则如下:
在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
答案 0.128
解析 此选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮,说明此选手第2个问题回答错误,第3、第4个问题均回答正确,第1个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0.2×0.82=0.128.
二、高考小题
10.(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312
答案 A
解析 由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故所求概率P=C0.62(1-0.6)+C0.63=0.648.故选A.
11.(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)
A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3
答案 B
解析 ∵D(X)=np(1-p),∴p=0.4或p=0.6.
∵P(X=4)=Cp4(1-p)6
0.5.故选B.
三、模拟小题
12.(2018·广西柳州调研)把一枚硬币任意抛掷三次,事件A=“至少有一次出现反面”,事件B=“恰有一次出现正面”,则P(B|A)=( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 依题意得P(A)=1-=,P(AB)==,因此P(B|A)==.故选A.
13.(2018·广东汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得,则所求概率是×1-+×1-=.故选D.
14.(2018·福建厦门二模)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次抽到黄球的概率P1=,
∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P=C21-=.
15.(2018·河北唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 甲不跑第一棒共有A·A=18种情况,甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类:
(1)乙跑第一棒,共有A=6种情况;
(2)乙不跑第一棒,共有A·A·A=8种情况.∴甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率为=.故选D.
16.(2018·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,已知第一次取得红球,则第二次取得白球的概率为________.
答案
解析 口袋中装有大小形状相同的红球2个,白球3个,黄球1个,甲从中不放回地逐一取球,设事件A表示“第一次取得红球”,事件B表示“第二次取得白球”,则P(A)==,P(AB)=×=,∴第一次取得红球后,第二次取得白球的概率为P(B|A)===.
一、高考大题
1.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
解
(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=Cp2(1-p)18.
因此f′(p)=C[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]
=2Cp(1-p)17(1-10p).
令f′(p)=0,得p=0.1.
当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0;
当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由
(1)知,p=0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.
②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.
2.(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).
解
(1)记事件A:
“甲第一轮猜对”,记事件B:
“乙第一轮猜对”,记事件C:
“甲第二轮猜对”,记事件D:
“乙第二轮猜对”,记事件E:
“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC,
由事件的独立性与互斥性,得
P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+
P(ABD)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+
P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+
P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()
=×××+2×
=.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性,得
P(X=0)=×××=,
P(X=1)=2××××+×××==,
P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,
P(X=3)=×××+×××==,
P(X=4)=2××××+×××==,
P(X=6)=×××==.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.
二、模拟大题
3.(2018·山西太原二模)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则如下:
Ⅰ.抽奖方案有以下两种:
方案a:
从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金30元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回甲袋中;方案b:
从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金15元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回乙袋中.
Ⅱ.抽奖条件:
顾客购买商品的金额满100元,可根据方案a抽奖一次;满150元,可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元,则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a,b各抽奖一次).已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元.
(1)若顾客A只选择方案a进行抽奖,求其所获奖金的期望;
(2)要使所获奖金的期望值最大,顾客A应如何抽奖?
解
(1)按方案a抽奖一次,获得奖金概率P==.
顾客A只选择方案a进行抽奖,则其可以按方案a抽奖三次.此时中奖次数服从二项分布B3,.
设所得奖金为w1元,则所获奖金的期望Ew1=3××30=9.
即顾客A所获奖金的期望为9元.
(2)按方案b抽奖一次,获得奖金的概率P1==.
若顾客A按方案a抽奖两次,按方案b抽奖一次,则由方案a中奖的次数服从二项分布B12,,由方案b中奖的次数服从二项分布B21,.
设所得奖金为w2元,则所获奖金的期望Ew2=2××30+1××15=10.5.
若顾客A按方案b抽奖两次,则中奖的次数服从二项分布B32,.
设所得奖金为w3元,则所获奖金的期望Ew3=2××15=9.
结合
(1)可知,Ew1=Ew3所以顾客A应该按方案a抽奖两次,按方案b抽奖一次.
4.(2018·东北三省四市一模)近两年双11网购受到广大市民的热捧.某网站为了答谢老顾客,在双11当天零点整,每个金冠买家都可以免费抽取200元或者500元代金券一张,中奖率分别是和.每人限抽一次,100%中奖.小张、小王、小李、小赵4个金冠买家约定零点整抽奖.
(1)试求这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率;
(2)这4人中抽到200元、500元代金券的人数分别用X,Y表示,记ξ=XY,求随机变量ξ的分布列与数学期望.
解
(1)设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件Ai,其中i=0,1,2,3,4,
则P(A1)=C13=.
(2)易知ξ可取0,3,4,
P(ξ=0)=P(A0)+P(A4)
=C04+C40=+=,
P(ξ=3)=P(A1)+P(A3)
=C13+C31=+=.
P(ξ=4)=P(A2)=C22=.
ξ的分布列为
ξ
0
3
4
P
E(ξ)=0×+3×+4×=.
5.(2018·广东肇庆二模)某工厂对A,B两种型号的产品进行质量检测,从检测的数据中随机抽取6次,记录数据如下:
A:
8.3,8.4,8.4,8.5,8.5,8.9;
B:
7.5,8.2,8.5,8.5,8.8,9.5.
(注:
数值越大表示产品质量越好)
(1)若要从A,B中选一种型号产品投入生产,从统计学角度考虑,你认为生产哪种型号产品合适?
简单说明理由;
(2)若将频率视为概率,对产品A今后的4次检测数据进行预测,记这4次数据中不低于8.5分的次数为ξ,求ξ的分布列及期望E(ξ).
解
(1)A产品的平均数:
A==8.5.
B产品的平均数:
B==8.5.
A产品的方差:
s=
≈0.037.
B产品的方差:
s=
≈0.363.
因为A=B,s
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,
数据不低于8.5的频率为=,将频率视为概率,
则ξ~B4,,
P(ξ=k)=Ck1-4-k=C4(k=0,1,2,3,4).
∴ξ的分布列如下:
ξ
0
1
2
3
4
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=2或者E(ξ)=4×=2.