人教版高中数学必修五学案 22 等差数列二.docx

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人教版高中数学必修五学案22等差数列二

§2.2　等差数列

（二）

学习目标　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质（重点）；2.能运用等差数列的性质解决有关问题（难点）.

知识点1　等差数列与一次函数

1.等差数列的图象

等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d），当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数，点（n，an）分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.

2.公差d与斜率

等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d＝

（n≥2，n∈N*）.

【预习评价】

1.已知（1，1），（3，5）是等差数列{an}图象上的两点，则an＝________.

解析　根据等差数列与一次函数的关系可知，公差d＝k＝

＝2.又知a1＝1，所以an＝2n－1.另外，由于等差数列的通项公式就是一次函数的解析式，所以本题还可以直接由直线方程的两点式求得，即

＝

，所以an＝2n－1.

答案　2n－1

2.d＝

，d＝

，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？

提示　等差数列通项公式可变形为an＝dn＋（a1－d），其图象为一条直线上孤立的一系列点，（1，a1），（n，an），（m，am）都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点（1，a1），（n，an）连线的斜率d＝

.当两点为（n，an），（m，am）时，有d＝

.

知识点2　等差数列的性质

1.若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有

数　列

结　论

{c＋an}

公差为d的等差数列（c为任一常数）

{c·an}

公差为cd的等差数列（c为任一常数）

{an＋an＋k}

公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N*）

{pan＋qbn}

公差为pd＋qd′的等差数列（p，q为常数）

2.等差数列的项的对称性

在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….

3.下标性质：

在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq.

特别的，若m＋n＝2p（m，n，p∈N*），则有am＋an＝2ap.

【预习评价】　（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n＞1，且n∈N*.（　　）

（2）若{an}为等差数列，且m＋n＝p（m，n，p∈N*），则am＋an＝ap（　　）

（3）取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差数列且其公差为原数列公差的两倍.（　　）

提示　

（2）∵{an}为等差数列，m＋n＝p，

∴am＋an＝a1＋（m－1）d＋a1＋（n－1）d

＝2a1＋（m＋n－2）d.

∴ap＝a1＋（p－1）d.

∴am＋an≠ap.

答案　

（1）√　

（2）×　（3）√

题型一　等差数列与一次函数的关系

【例1】　已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

若是，首项和公差分别是多少？

解　取数列{an}中任意相邻两项an和an－1（n＞1），

求差得an－an－1＝（pn＋q）－[p（n－1）＋q]＝pn＋q－（pn－p＋q）＝p.

它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列.

由于an＝pn＋q＝q＋p＋（n－1）p，

所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.

规律方法　判断一个数列是不是等差数列的常用方法：

（1）从递推公式上看，an＋1－an＝d（d为常数，n∈N*）⇔{an}是等差数列；

（2）从任意连续三项关系上看，2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}是等差数列；

（3）从通项公式代数特点上看，an＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{an}是等差数列.

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.如：

其中某连续三项不成等差数列；存在n∈N*，an＋1－an的结果不等于同一个常数等.

【训练1】　在等差数列{an}中，ar＝s，as＝r（r≠s，r，s∈N*），则ar＋s＝________.

解析　由等差数列与一次函数的关系可知，点（r，s）与（s，r）是一次函数y＝－x＋（r＋s）图象上的两点，并且数列{an}的所有点都分布在这个一次函数的图象上，所以当x＝r＋s时，y＝0，即ar＋s＝0.

答案　0

题型二　等差数列性质的应用

【例2】　已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为（　　）

A.10B.－10

C.15D.－15

解析　法一　设等差数列{an}的公差为d，则30＝（a1＋3d）＋（a1＋6d）＋（a1＋9d）＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.而a3－2a5＝（a1＋2d）－2（a1＋4d）＝－a1－6d＝－10.

法二　由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.而a3－2a5＝a3－（a3＋a7）＝－a7＝－10.

答案　B

规律方法　等差数列运算的两条常用思路

（1）根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，d，然后求其他量.

（2）利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r（m，n，p，q，r∈N*），则am＋an＝ap＋aq＝2ar.

【训练2】　在等差数列{an}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________.

解析　设数列{an}的公差为d.

法一　由题意知

解得

∴a15＝a1＋14d＝

＋14×

＝2b－a.

法二　d＝

＝

，

∴a15＝a10＋5d＝b＋5×

＝2b－a.

法三　∵a5，a10，a15成等差数列，∴a5＋a15＝2a10.

∴a15＝2a10－a5＝2b－a.

答案　2b－a

【例3】　已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.

解　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则

又因为是递增数列，所以d>0，

所以解得a＝±

，d＝

，

此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.

【迁移1】　若本例改为：

已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.

解　法一　设这三个数为a，b，c，则由题意得

解得a＝4，b＝6，c＝8.

这三个数为4，6，8.

法二　设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得

由①得a＝6，代入②得d＝±2，

∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4，6，8.

【迁移2】　已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.

解　法一　根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，则

即

解得

或

因为数列{an}为单调递增数列，所以

从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.

法二　由于数列{an}为等差数列，所以可设前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意得

即

解得

或

由于数列{an}为单调递增数列，所以

从而an＝4n－1.

规律方法　等差数列项的常见设法：

（1）通项法：

设数列的通项公式，即设an＝a1＋（n－1）d.

（2）对称项设法：

当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：

…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：

…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….

对称项设法的优点是：

若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.

题型四　等差数列的实际应用

【例4】　有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：

买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？

解　设某单位需购买电视机n台.

在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，

an＝780＋（n－1）×（－20）＝－20n＋800，

由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，

即购买台数不超过18台时，每台售价（800－20n）元；

购买台数超过18台时，每台售价440元.

到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600（元）.

比较在甲、乙两家家电商场的费用

（800－20n）n－600n＝20n（10－n）.

当n＜10时，（800－20n）n＞600n，到乙商场购买花费较少；

当n＝10时，（800－20n）n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；

当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，到甲商场购买花费较少；

当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.

因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.

规律方法　解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点

（1）解答数列实际应用问题的基本步骤：

①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.

（2）在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.

【训练3】　《九章算术》“竹九节”问题：

现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（　　）

A.1升B.

升

C.

升D.

升

解析　设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，

由条件得

即

解得

所以a5＝a1＋4d＝

.

答案　B

课堂达标

1.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于（　　）

A.5B.8

C.10D.14

解析　法一　设等差数列的公差为d，

则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，

所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.

法二　由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.

答案　B

2.在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－

a8的值为（　　）

A.4B.6

C.8D.10

解析　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，

∴a7－

a8＝

（2a7－a8）＝

（a6＋a8－a8）＝

a6＝8.

答案　C

3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有（　　）

A.a1＋a101>0B.a2＋a101<0

C.a3＋a99＝0D.a51＝51

解析　∵a1＋a2＋…＋a101＝0，

又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，

∴a51＝0＝a3＋a99.

答案　C

4.在等差数列{an}中，已知a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝________.

解析　∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，∴a8＝24.

∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.

答案　24

5.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.

解　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得

∴

解得

或

∴这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.

课堂小结

1.在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝

，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋（m－n）d.

2.等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.

3.等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq（n，m，p，q∈N*），特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.

4.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.