专题07 导数大题函数与导数高考理数热点题型追踪.docx

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专题07导数大题函数与导数高考理数热点题型追踪

年份

高考试题

2018

全国卷1理第21题,全国卷2理第21题,全国卷3理第21题

2017

全国卷1理第21题,全国卷2理第21题,全国卷3理第21题

2016

全国卷1理第21题,全国卷2理第21题,全国卷3理第21题

1.含有参数的函数单调性的讨论

【例1】【2018河南南阳模拟】设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若,且在区间上恒成立,求的取值范围.

（2）若,且在区间上恒成立,等价于在区间上；由

（1）中的讨论,

当时,,函数在区间上单调递减,

学%科网

即,从而得

当时,,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,

即只需即,由于

从而得

综上,的取值范围为

2.极值点偏移问题

【例2】【2018陕西咸阳5月模拟】已知函数

（1）若函数在上单调递增,求实数的取值范围；

（2）若函数有两个极值点,证明：

.

（2）依题意知是方程的两个根,

即,

可得．

所以．

欲证,只要证,

令,只要即可．

则,

再令,则．

可知：

在上递减,可知,即在上递增,

有,

综上可知：

．

3.隐零点问题

【例3】【2018河北衡水中学三轮训练】已知函数在处的切线方程为.

（1）求函数的单调区间；

（2）若为整数,当时,恒成立,求的最大值（其中为的导函数）.

（2）法一：

由已知,及整理得

当时恒成立,学&科网

令,

当时,；由

（1）知在上为增函数,

又,

所以存在,使得,此时,

当时,；当时,,

所以,

故整数的最大值为.

法二：

由已知,及整理得,,

令,

得,,

当时,因为,所以在上为减函数,

当时,为增函数,时,,

为减函数,∴,

由已知,

令在上为增函数.

又,故整数的最大值为.

4.不等式证明

【例4】【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数．

（1）若，证明：

当时，；当时，；

（2）若是的极大值点，求．

（ii）若，设函数.

由于当时，，故与符号相同.

又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.

.

如果，则当，且时，，

故不是的极大值点.如果，则存在根，

故当，且时，，所以不是的极大值点.

如果，则.

则当时，；当时，.

所以是的极大值点，从而是的极大值点，

综上，.

5.恒成立问题

【例5】【2017全国卷1】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若,求的取值范围.

（2）当时,恒成立,符合题意；

当时,,

故,即；

当时,

从而,故,所以．

综上所述,的取值范围为．学*科网

6.由函数零点或方程实根个数确定参数范围

【例6】【2018四川成都零诊模拟】已知.

（1）当时,求证：

；

（2）若有三个零点时,求的范围.

（2）由有三个零点可得

有三个零点,

①当时,恒成立,可得至多有一个零点,不符合题意；

②当时,恒成立,可得至多有一个零点,不符合题意；

③当时,记得两个零点为,不妨设,且,

时,；时,；时,

观察可得,且,

当时,；单调递增,

所以有,即,

时,单调递减,

时单调递减,

由

（1）知,,且,所以在上有一个零点,

由,且,所以在上有一个零点,

综上可知有三个零点,

即有三个零点,

所求的取值范围是.

1.确定函数单调区间的步骤

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求f′（x）；

（3）解不等式f′（x）>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′（x）<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2.根据函数单调性求参数的一般思路

（1）利用集合间的包含关系处理：

y＝f（x）在（a,b）上单调,则区间（a,b）是相应单调区间的子集．

（2）f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a,b）都有f′（x）≥0且在（a,b）内的任一非空子区间上f′（x）不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解．

（3）函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．

3.含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能：

①方程f′（x）＝0是否有根；②若f′（x）＝0有根,求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法．

4.用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤：

第一步：

（求导数）求函数f（x）的导数f′（x）；

第二步：

（求极值）求f（x）在给定区间上的单调性和极值；

第三步：

（求端点值）求f（x）在给定区间上的端点值；

第四步：

（求最值）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较,确定f（x）的最大值与最小值；

第五步：

（反思）反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.

5.利用导数解不等式的思路

已知一个含f′（x）的不等式,可得到和f（x）有关的函数的单调性,然后可利用函数单调性解不等式．

6.利用导数证明不等式的方法

证明f（x）

7.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略

①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围．学*科网

②也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题．

8.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤

（1）分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）．

（2）求函数的导数f′（x）,解方程f′（x）＝0.

（3）比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的函数值的大小,最大（小）者为最大（小）值；若函数在开区间内只有一个极值点,那么该极值点就是最值点．

（4）回归实际问题作答．

9.极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性.

已知函数是连续函数,在区间内有且只有一个极值点,且,若极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点,我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”.

极值点偏左：

，处切线与x轴不平行；

若上凸（递减），则，若下凸（递增），则.

极值点偏右：

，处切线与x轴不平行；

若上凸（递减），则，若下凸（递增），则.

10.若是函数的两个零点,而是函数的极值点,证明（或）,根据函数单调性求解的步骤是：

一、构建函数,二、判断函数的单调性,三、证明（或）即（或）,四、由函数的单调性证（或）.根据对数平均不等式求解的步骤是：

一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出,二、通过等式两边同除以构建对数平均数,三、利用对数平均不等式将转化为后再证明（或）.学科@网

1．【2018山东、湖北部分重点中学二模】已知函数.

（1）若函数为单调函数,求的取值范围；

（2）当时,证明：

.

2．【2018山东省潍坊三模】已知

（1）求的单调区间;

（2）设为函数的两个零点,求证：

..

3．【2018山东省肥城模拟】已知函数.

（1）当时,若关于的不等式恒成立,求的取值范围；

（2）当时,证明：

.

4．【2018安徽省六安模拟】已知函数（为实常数）.

（1）若,求曲线在处的切线方程；

（2）若存在,使得成立,求实数的取值范围.

5．【2018新课标I卷理】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点,证明：

．

1.【解析】

（1）,

为单调函数等价为恒成立或恒成立,

令得,

所以在单调递减,在单调递增,

又,学科&网

（2）令,

（i）当时,,

所以.

因为,所以即；

因为,可知函数在处取最小值即,即.

由不等式的性质得,

所以.

（ii）当时,,

因为,所以,即,

即.

易知,所以.

由（i）（ii）得.学科*网

（2）由

（1）知的单调递增区间为,单调递减区间为,

不妨设,由条件知,即

构造函数与图象两交点的横坐标为

由可得.

而,∴.

知在区间上单调递减,在区间上单调递增,

可知

欲证,只需证,即证,

考虑到在上递增,只需证

由知,只需证

令,

则

所以为增函数,又,

结合知,即成立,

即成立.

（2）由

（1）,当时,有,即.

要证,可证,

即证.

构造函数.

则.

∵当时,.∴在上单调递增.

∴在上成立,即,证得.

∴当时,成立.

构造函数.

则.

∵当时,,∴在上单调递减.

∴,即.

∴当时,成立.

综上,当时,有.

5.【解析】

（1）的定义域为.

（i）若,则,当且仅当时,所以在上单调递减.

（ii）若,令得,或.

当时,；学科.网

当时,.所以在上单调递减,在上单调递增.

（2）由

（1）知,存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点满足,所以,不妨设,则.由于

所以等价于.

设函数,由

（1）知,在单调递减,又,从而当时,.

所以,即.