中考数学一轮复习尺规作图讲学案.docx
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中考数学一轮复习尺规作图讲学案
2017年中考数学一轮复习尺规作图讲学案
2017年中考数学一轮复习第28讲《尺规作图》
【考点解析】
知识点一基本作图
【例题】(2016年浙江丽水)用直尺和圆规作Rt△AB斜边AB上的高线D,以下四个作图中,作法错误的是( )
A.B..D.
【考点】作图—复杂作图.
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解.
【解答】解:
A、根据垂径定理作图的方法可知,D是Rt△AB斜边AB上的高线,不符合题意;
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知,D是Rt△AB斜边AB上的高线,不符合题意;
、根据相交两圆的公共弦的性质可知,D是Rt△AB斜边AB上的高线,不符合题意;
D、无法证明D是Rt△AB斜边AB上的高线,符合题意.
故选:
D.
【变式】
(2016•广东深圳)如图,在□ABD中,以点为圆心,以任意长为半径作弧,分别交于点,再分别以为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在内交于点,连接B并延长交AD于点E,则DE的长为_________答案:
2
考点:
角平分线的作法,等角对等边,平行四边形的性质。
解析:
依题意,可知,BE为角平分线,所以,∠ABE=∠BE,
又AD∥B,所以,∠AEB=∠BE,所以,∠AEB=∠ABE,AE=AB=3,
AD=B=,所以,DE=-3=2。
知识点二基本作图的实际应用
【例题】(2016吉林长春)如图,在△AB中,AB>A,按以下步骤作图:
分别以点B和点为圆心,大于B一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点和点N,作直线N交AB于点D;连结D.若AB=6,A=4,则△AD的周长为 10 .【考点】作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据题意可知直线N是线段B的垂直平分线,推出D=DB,可以证明△AD的周长=A+AB,由此即可解决问题.【版权所有:
21教育】
【解答】解:
由题意直线N是线段B的垂直平分线,
∵点D在直线N上,
∴D=DB,
∴△AD的周长=A+D+AD=A+AD+BD=A+AB,
∵AB=6,A=4,
∴△AD的周长为10.
故答案为10.【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识,解题的关键是学会转化,把△AD的周长转化为求A+AB解决,属于基础题,中考常考题型.
【变式】
(2016,湖北宜昌)任意一条线段EF,其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH、HF、FG,GE,则下列结论中,不一定正确的是( )A.△EGH为等腰三角形B.△EGF为等边三角形
.四边形EGFH为菱形D.△EHF为等腰三角形
【考点】作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可.
【解答】解:
A、正确.∵EG=EH,
∴△EGH是等边三角形.
B、错误.∵EG=GF,
∴△EFG是等腰三角形,
若△EFG是等边三角形,则EF=EG,显然不可能.
、正确.∵EG=EH=HF=FG,
∴四边形EHFG是菱形.
D、正确.∵EH=FH,
∴△EFH是等边三角形.
故选B.【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识,解题的关键是灵活一一这些知识解决问题,属于中考常考题型.
【典例解析】
【例题1】
(2016•四川广安)在数学活动上,老师要求学生在×的正方形ABD网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与AB或AD都不平行.画四种图形,并直接写出其周长(所画图象相似的只算一种).【考点】作图—相似变换.
【分析】在图1中画等腰直角三角形;在图2、3、4中画有一条直角边为,另一条直角边分别为3,4,2的直角三角形,然后计算出四个直角三角形的周长.
【解答】解:
如图1,三角形的周长=2+;
如图2,三角形的周长=4+2;
如图3,三角形的周长=+;
如图4,三角形的周长=3+.
【例题2】
(2016•四川达州)如图,在▱ABD中,已知AD>AB.
(1)实践与操作:
作∠BAD的平分线交B于点E,在AD上截取AF=AB,连接EF;(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)猜想并证明:
猜想四边形ABEF的形状,并给予证明.【考点】平行四边形的性质;作图—基本作图.
【分析】
(1)由角平分线的作法容易得出结果,在AD上截取AF=AB,连接EF;画出图形即可;
(2)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB,证出BE=AB,由
(1)得:
AF=AB,得出BE=AF,即可得出结论.
【解答】解:
(1)如图所示:
(2)四边形ABEF是菱形;理由如下:
∵四边形ABD是平行四边形,
∴AD∥B,
∴∠DAE=∠AEB,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴BE=AB,
由
(1)得:
AF=AB,
∴BE=AF,
又∵BE∥AF,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AF=AB,
∴四边形ABEF是菱形.【中考热点】
【热点1】
(2016•广东广州)如图,利用尺规,在的边上方做,在射线上截取,连接,并证明:
(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)【难易】容易
【考点】尺规作图,平行线,平行四边形
【解析】利用“等圆中,等弧所对的圆心角相等”可以完成等角的作图
再利用“内错角相等”可判定两直线平行,然后利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成平行四边形的判定,最后利用平行四边形的性质进行平行的证明
【参考答案】]证明;如图AD,D为所做
因为,
所以
因为
所以四边形ABD为平行四边形
所以
【热点2】
(2016•四川眉)已知:
如图△AB三个顶点的坐标分别为A(0,﹣3)、B(3,﹣2)、(2,﹣4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度.
(1)画出△AB向上平移6个单位得到的△A1B11;
(2)以点为位似中心,在网格中画出△A2B22,使△A2B22与△AB位似,且△A2B22与△AB的位似比为2:
1,并直接写出点A2的坐标.【分析】
(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出.
【解答】解:
(1)如图所示:
△A1B11,即为所求;
(2)如图所示:
△A2B22,即为所求,A2坐标(﹣2,﹣2).【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换,根据题意正确得出对应点位置是解题关键.
【热点3】
(2016•湖北咸宁)如图1,在平面直角坐标系x中,点A的坐标为(0,1),取一点B(b,0),连接AB,作线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P
(1)当b=3时,在图1中补全图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起,发现:
这些点P竟然在一条曲线L上!
①设点P的坐标为(x,),试求与x之间的关系式,并指出曲线L是哪种曲线;
②设点P到x轴,轴的距离分别为d1,d2,求d1+d2的范围当d1+d2=8时,求点P的坐标;
③将曲线L在直线=2下方的部分沿直线=2向上翻折,得到一条“”形状的新曲线,若直线=x+3与这条“”形状的新曲线有4个交点,直接写出的取值范围图1图2
【考点】二次函数,一次函数,尺规作图,平面直角坐标系,勾股定理,一元二次方程,轴对称——翻折,最值问题
【分析】
(1)根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可,要标出字母;
(2)①分x>0和x≤0两种情况讨论:
当x>0时,如图2,连接AP,过点P作PE⊥轴于点E,可得出PA=PB=;再在Rt△APE中,EP=B=x,AE=E-A=-1,由勾股定理,可求出与x之间的关系式;当x≤0时,点P(x,)同样满足=x2+,曲线L就是二次函数=x2+的图像,也就是说
曲线L是一条抛物线
②首先用代数式表示出d1,d2:
d1=x2+,d2=|x|,得出d1+d2=x2++|x|,可知当x=0时,d1+d2有最小值,因此d1+d2的范围是d1+d2≥;当d1+d2=8时,则x2++|x|=8将x从绝对值中开出,故需分x≥0和x<0两种情况讨论:
当x≥0时,将原方程化为x2++x=8,
解出x1,x2即可;当x<0时,将原方程化为x2+-x=8,解出x1,x2即可;最后将x=±3代入=x2+,求得P的纵坐标,从而得出点P的坐标
③直接写出的取值范围即可
【解答】解:
(1)如图1所示(画垂直平分线,垂线,标出字母各1分)
图1图2
(2)①当x>0时,如图2,连接AP,过点P作PE⊥轴于点E
∵l1垂直平分AB
∴PA=PB=
在Rt△APE中,EP=B=x,AE=E-A=-1
由勾股定理,得(-1)2+x2=2
整理得,=x2+
当x≤0时,点P(x,)同样满足=x2+
∴曲线L就是二次函数=x2+的图像
即曲线L是一条抛物线
②由题意可知,d1=x2+,d2=|x|
∴d1+d2=x2++|x|
当x=0时,d1+d2有最小值
∴d1+d2的范围是d1+d2≥
当d1+d2=8时,则x2++|x|=8
(Ⅰ)当x≥0时,原方程化为x2++x=8
解得x1=3,x2=-(舍去)
(Ⅱ)当x<0时,原方程化为x2+-x=8
解得x1=-3,x2=(舍去)
将x=±3代入=x2+,得=
∴点P的坐标为(3,)或(-3,)
③的取值范围是:
-<<
解答过程如下(过程不需写):
把=2代入=x2+,得x1=-,x2=
∴直线=2与抛物线=x2+两个交点的坐标为(-,2)和(,2)
当直线=x+3过点(-,2)时,可求得=;
当直线=x+3过点(,2)时,可求得=-
故当直线=x+3与这条“”形状的新曲线有4个交点时,的取值范围是:
-<<
【点评】本题是压轴题,综合考查了二次函数,一次函数,尺规作图,勾股定理,平面直角坐标系,一元二次方程,轴对称——翻折,最值问题读懂题目、准确作图、熟谙二次函数及其图像是解题的关键近几年的中考,一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出,其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。
解决压轴题目的关键是找准切入点,如添辅助线构造定理所需的图形或基本图形;紧扣不变量,并善于使用前题所采用的方法或结论;深度挖掘题干,反复认真的审题,在题目中寻找多解的信息,等等压轴题牵涉到的知识点较多,知识转化的难度较高,除了要熟知各类知识外,平时要多练,提高知识运用和转化的能力。