第九讲全等等腰三角形综合.docx

第九讲全等等腰三角形综合.docx

《第九讲全等等腰三角形综合.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第九讲全等等腰三角形综合.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第九讲全等等腰三角形综合

第九讲全等三角形，等腰三角形综合

【例题讲解】

1.如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：

①△CDE≌△BDF②CE=AB+AE③∠BDC=∠BAC④∠DAF+∠CBD=90°其中正确的是（　　）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：

EB⊥AB．

3.如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．求证：

（1）∠BAC=2∠BEC；

（2）∠CAE+∠BEC=90°．

4.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AB=AC，点P是ABC内一点，且∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数．

5.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？

请将三条线段分别填入后面横线中：

　　．（不需证明）

（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述

（1）中结论是否成立？

请说明理由．

（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述

（1）中结论是否成立？

若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想，不需证明．

6.如图所示，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF．

（1）如图

（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为　相等　，位置关系为　垂直　（不需要证明）．

（2）如图

（2），将△BEF绕B点顺时针旋转α°（0＜α＜45），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？

请写出你的结论并证明．

（3）如图（3），E点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（3），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？

直接写出你的结论，不需要证明．

7.平面直角坐标系内，直线AB过一，二，三象限，分别交x，y轴于A，B两点，直线CD⊥AB于D，分别交x，y轴于C，E．已知AB=AC=10，S△ACD=24，且B（0，6），

（1）①求证：

△AOB≌△ADC；②求A点的坐标；

（2）连接OD，AE，求证：

OD⊥AE；

（3）点M为线段OA上的动点，作∠NME=∠OME，且MN交AD于点N，当点M运动时，求

的值．

8.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：

①BD=CE，②AC=CE+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？

若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．

9.如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB=30°，延长DB至E，使BE=BD．P为x轴正半轴上一动点（P在C点右边），M在EP上，且∠EMA=60°，AM交BE于N．

（1）求证：

BE=BC；

（2）求证：

∠ANB=∠EPC；

（3）当P点运动时，求BP﹣BN的值．

10.已知：

在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4.0）．

（1）求C点的坐标；

（2）D为△ABC内﹣点（AD＞2），连AD．并以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE．连CD、BE，试判断线段CD、BE的位置及数量关系，并给出你的证明；

（3）旋转△ADE，使D点刚好落在x轴的负半轴，连CE交y轴于M．求证：

①EM=CM；②BD=2AM．

11.已知，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，3）．点Q为x轴正半轴上一动点，过点A作AC⊥BQ交y轴于点D．

（1）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：

∠OCQ的度数不变．

（2）有一等腰直角三角形AMN绕A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连BN，点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明．

【作业】

1.已知一个等腰三角形腰上的高与底边的夹角为37°，则这个等腰三角形的顶角等于　　．

2.如图，△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D，过D作DH∥BC分别交EF、EB于G、H两点．下列结论：

①S△EBD：

S△FBD=BE：

BF；②∠EFD=∠CFD；③HD=HF；④BH﹣GF=HG，其中正确结论的个数有（　　）

3.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

（1）求证：

DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明．

4.如图1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：

（1）BD=DE+CE．

（2）若直线AE绕A点旋转到如图2位置时（BD＜CE），其他条件不变，判断BD与DE，CE的关系并说明理由．

（3）若直线AE绕A点旋转到如图3位置时（BD＞CE），其他条件不变，则BD与DE，CE的关系又怎样？

请写出结果，不必证明．

5.已知B（﹣2，0），C（2，0），点A是y轴正半轴上一点，CD⊥AC交y轴于D，M为AC上一动点．N为AB延长线一动点，且满足AM+AN=2AC，MN交BC于E，连DE．

（1）求证：

CM=BN；

（2）过M作MK⊥BC于K，求证：

①ME=NE，②DE⊥MN；

（3）在

（2）的条件下问

的值是否发生变化？

若不变，求其值．

6.如图，直线BE交x轴正半轴于点B（a，0），交y轴正半轴于点E（0，b），且a、b满足

，点A为BE的中点，

（1）写出A点坐标为　　；

（2）如图，若C为线段OB上一点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连BD，求证：

OA∥BD；

（3）如图，P为x轴上B点右侧任意一点，以EP为边作等腰Rt△EPM，其中PE=PM，直线MB交y轴点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？

若不变；求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

7.如图，在平面直角坐标系中，B（0，1），C（0，﹣1），D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，DM⊥AC于M．

（1）求证：

∠ABD=∠ACD；

（2）若点E在BA延长线上，求证：

AD平分∠CAE；

（3）当A点运动时，

的值是否发生变化？

若不变，求其值；若变化，请说明理由．

第九讲全等三角形，等腰三角形综合

参考答案

1.解：

过点D作DG⊥BC

∵DG垂直平分BC，∴BD=CD

角平分线到角两边的距离相等，∴DE=DF，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠BDF=∠CDE，CE=BF，∠FBD=∠DCE，

∵DE=DF，且DE⊥AC，DF⊥AB∵AD=AD，∴Rt△AFD≌Rt△AED，∴AE=AF，∴CE=BF=AB+AF=AB+AE

∴∠BDC=∠180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠DBC+∠ACB+∠DCA）=180°﹣（∠FBD+∠DBC+∠ACB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=∠BAC∴①②③正确，故选A．

2.证明：

作EF⊥AC于F，∵EA=EC，∴AF=FC=

AC，

∵AC=2AB，∴AF=AB，∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD=∠CAD，∴△ABE≌△AFE（SAS），

∴∠ABE=∠AFE=90°．∴EB⊥AB．

3.解：

（1）∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD=

∠ACD=

（∠BAC+∠ABC），∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=

∠ABC，∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+

∠ABC，∴∠BEC+

∠ABC=

（∠BAC+∠ABC）∴∠BEC=

∠BAC，

即∠BAC=2∠BEC；

（2）过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BA的延长线于N，EG⊥AC于G，∵CE平分∠ACD，EM⊥BD，EG⊥AC，

∴EG=EM∵BE平分∠ABC，EM⊥BD，EN⊥BA

∴EN=EM∴EG=EN∴AE平分∠CAN

∴∠CAE=

∠CAN=

（180°﹣∠BAC），

∴∠CAE+∠BEC=

（180°﹣∠BAC）+

∠BAC=90°．

4.解：

在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC

∴AD=AB=AC，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=20°，∴∠ACD=∠ADC=80°，∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∴∠CDB=140°=∠BPC，又∵∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，∴△BDC≌△BPC，∴PC=DC，又∵∠PCD=60°，∴△DPC是等边三角形，∴△APD≌△APC，∴∠DAP=∠CAP=10°，∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．

故答案为：

70°．

5.解：

（1）如图1，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠CBF=∠EBA，BE=BF，∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形，CF=

，AE=

，∴EF=BE=BF=AE+CF；

（2）如图2，延长FC至G，使AE=CG，连接BG，

∴△BAE≌△BCG（SAS），∴∠ABE=∠CBG，BE=BG，

∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，

∴∠CBG+∠CBF=60°，∴∠GBF=∠EBF，∴△GBF≌△EBF（SAS），∴EF=GF=CF+CG=CF+AE；

（3）不成立，但满足新的数量关系．

如图3，在AE上截取AH=CF，连接BH，

∴△BAH≌△BCF（SAS），∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，

∵∠EBF=60°=∠FBC+∠CBE∴∠ABH+∠CBE=60°，

∵∠ABC=120°，∴∠HBE=60°=∠EBF，∴△EBF≌△EBH（SAS），∴EF=EH，∴AE=EH+AE=EF+CF．

6.解：

（1）∵∠BFE=90°，点P为DE的中点∴PF=PD=PE，同理可得PC=PD=PE，∴PC=PF，又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，∴∠FPC=2∠FDC=90°，所以PC=PF，PC⊥PF．故答案为：

相等、垂直；

（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：

延长FP至G使PG=PF，连DG，GC，FC，延长EF交BD于N，如图，∵点P为DE的中点，∴△PDG≌△PEF，∴DG=EF=BF．∴∠PEF=∠PDG，∴EN∥DG，∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°﹣∠NBF=90°﹣（45°﹣∠FBC）

∴∠FBC=∠GDC，∴△BFC≌△DGC，∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．∴∠FCG=∠BCD=90°．∴△FCG为等腰Rt△，

∴PC⊥PF，PF=PC；

（3）画图：

线段PC、PF有何数量关系：

相等，位置关系：

垂直．

7.解：

（1）①证明：

∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠AOB=90°，∴△AOB≌△ADC（AAS）；

②∵△AOB≌△ADC，B（0，6），∴S△AOB=S△ACD=24=OA×6÷2=3OA，解得：

OA=8，即A点坐标为（﹣8，0）；

（2）∵△AOB≌△ADC，∴AD=AO，又∵AD⊥EC，AO⊥EO，

∴点A在∠OED的角平分线上，∴OD⊥AE；

（3）过点E作EF⊥MN于点F，连接NE，∵∠NME=∠OME，EF⊥MN，EO⊥MO，∴EF=EO，MF=MO，由

（2）知，点E在∠OAD平分线上，ED⊥AD，EO⊥AO，∴EO=ED，∴EF=ED，∴RT△EDN≌RT△EFN（HL），∴ND=NF，∴

=

=

=1．

8.解：

（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．∴△ABD≌△ACE（SAS）．②∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．

（2）BC+CD=CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD．

9.

（1）证明：

∵A（﹣2，0），B（2，0），∴AD=BD，AB=4，∵∠ODB=30°，∴∠ABD=90°﹣30°=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=4，∵B（2，0），C（6，0），

∴BC=6﹣2=4，∴BC=BD，又∵BE=BD，∴BE=BC；

（2）证明：

由三角形的外角性质得，∠BAN+∠ANB=∠ABD=60°，∠BAN+∠EPC=∠EMA=60°，所以，∠ANB=∠EPC；

（3）解：

∵BE=BD=BC，∠CBE=∠ABD=60°，∴△BCE是等边三角形，

∴BC=CE，∵AB=BC=4，∴AB=CE，∵∠ABD=∠BCE=60°，∴∠ABN=∠ECP=120°，

∴△ABN≌△ECP（AAS），∴BN=CP，∵BP﹣CP=BC，∴BP﹣BN=BC=4，故BP﹣BN的值为4，与点P的位置无关．

10.解：

（1）如图1，过C作CD⊥y轴于D，∴∠CDA=∠AOB=90°，∵∠BAC=90°，

∴∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠OAB=90°，∴∠ACD=∠OAB，∴△ACD≌△ABO，∴CD=AO，AD=OB，∵A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4.0），

∴OA=2，OB=4，∴CD=2，OD=6，∴C（2，6）；

（2）CD⊥BE，CD=BE，如图2，延长CD交AB于F，交BE于G，

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAD=∠BAE，∴△ABE≌△CAD，∴∠ACD=∠ABE，CD=BE，∵∠ACD+∠AFC=90°，∴∠ABE+∠AFC=90°，∵∠AFC=∠BFG，

∴∠ABE=∠BFG=90°，∴∠BGF=90°，∴CD⊥BE；

（3）①如图3，过C作CP⊥y轴于P，过E作EQ⊥y轴于Q，∴∠APC=∠AQE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAP+∠ACP=∠CAP+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠ACP，

∴△ABO≌△ACP，∴AO=CP，同理△ADO≌△AEQ，∴AO=EQ，∴CP=EQ，∴△EQM≌△CPM，∴CM=EM，②如图4，在y轴上截取MK=AM，连接CK，∴△AME≌△CMK，∴CK=AE，∠MKC=∠MAE，∵AE=AD，∠ACK=180°﹣∠CKM﹣∠CAK，∠BAD=180﹣∠EAM﹣∠CAK，∴CK=AD，∠ACK=∠BAD，∴△ABD≌△ACK，∴BD=AK，∵AK=2AM，∴BD=2AM．

11.

（1）证明：

∵A（﹣3，0），点B（0，3），∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，

∵AC⊥BQ，∴∠ACB=90°，又∵∠AOB=90°，∴点O、C、B、A四点共圆，

∴∠OCQ=∠BAO=45°，故：

∠OCQ的度数不变，是45°；

（2）解：

如图，分别以AN、AB为直角边构造出等腰直角△AND和△ABC，连接BD、CN，∵∠BAD+∠BAN=∠CAN+∠BAN=90°，∴∠BAD=∠CAN，∴△ABD≌△ACN（SAS），∴BD=CN，∠ABD=∠ACN，∴∠DBO+∠NCO=∠ABO+∠ACO=90°，

∴BD⊥CN，∵点P为BN的中点，∴MP、OP分别是△BDN和△BCN的中位线，∴MP∥BD且MP=

BD，OP∥CN且OP=

CN，∴MP=OP且MP⊥OP．

【作业】

1.74．

2.解：

①正确．因为S△EBD=

BD•BE•sin∠EBD，S△FBD=

BD•BF•sin∠DBF，所以S△EBD：

S△FBD=

BD•BE•sin∠EBD：

BD•BF•sin∠DBF，因为BD是∠EBC的平分线，所以sin∠EBD=sin∠DBF，

所以S△EBD：

S△FBD=BE：

BF；②正确．过D作DM⊥AB，DN⊥CB，DO⊥EF，

∵DE是∠AEF的平分线，∴AD﹣DO，∵DB是∠ABC的平分线，∴DA=DN，∴DO=DN，∴DF是∠EFC的平分线，∴∠EFD=∠CFD；③错误．因为HD∥BF，

所以∠HDB=∠FBD，又因为BD平分∠ABC，所以∠HBD=∠CBD，

于是∠HBD=∠HDB，故HB=HD．但没有条件说明HF与HB必然相等；④正确．由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点，故D为△BEF的旁心，于是FD为∠EFC的平分线，故∠CFD=∠EFD，又因为DH∥BC，所以∠HDF=∠CFD，故∠GDF=∠DFE，于是GF=GD，又因为HB=HD，所以HD﹣GD=HG，即BH﹣GF=HG．故①②④正确．故选B．

3.证明：

（1）∵AC=BC，∴∠CBA=∠CAB，又∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，

又∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，∵AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，∴BD=AD，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CDE=60°，∵∠CDE=∠BDE=60°，∴DE平分∠BDC；

（2）ME=BD，

连接MC，∵DC=DM，∠CDE=60°，∴△MCD为等边三角形，∴CM=CD，∵EC=CA，∠EMC=120°，

∴∠ECM=∠BCD=45°∴△BDC≌△EMC（SAS），

∴ME=BD．

4.解：

证明如下：

（1）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠CEA=90°，

∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE；∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE；

（2）DE=BD+CE．∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；又∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°，

∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE；∵DE=AE+AD，∴DE=BD+CE；

（3）结论是：

当B、C在AE两侧时，BD=DE+CE；当B、C在AE同侧时，BD=DE﹣CEDE=BD+CE．

5.

（1）证明：

过N作NF⊥x轴于F，如图1所示：

∵NF⊥x轴，MK⊥BC，∴∠NFC=∠MKF=90°，∵B（﹣2，0），C（2，0），点A是y轴正半轴上一点，∴AB=AC，∴∠ABC=∠MCK，∵∠NBF=∠ABC，∴∠NBF=∠MCK，∵AM+AN=2AC，

∴CM=BN；

（2）证明：

①∴△BFN≌△MCK（AAS），∴NF=MK，∴△EFN≌△MEK（AAS），

∴ME=NE；②连接BD、MD、DN，如图2所示：

∵CD⊥AC，∴∠DCA=90°，

∵BD⊥AN，∴∠DBN=90°，∵B（﹣2，0），C（2，0），点D在y轴上，∴BD=CD，∴△BND≌△MCD（SAS），∴DN=DM，∵NE=ME，∴DE⊥MN；

（3）解：

的值不变，理由如下：

∵△ENF≌△MEK，∴EF=EK，∵△BFN≌△MKC，∴BF=CK，

∴EK=EF=

FK=

（BF+OB+OC﹣CK）=

（OB+OC）=

BC，∴

=

．

6.解：

（1）∵

∴a=4，b=4，∴△EOB为等腰直角三角形．∴点A的坐标为（2，2），故答案为（2，2）；

（2）∵以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，∴∠CAB+∠BAD=45°，又∵∠CDB+∠BAD+∠ADC=90°，∴∠CAB=∠CDB，∴∠ABD=90°=∠OAB，

∴OA∥BD；

（3）过M作MD⊥x轴，垂足为D．∵∠EPM=90°，∴∠EPO+MPD=90°．∵∠QOB=∠MDP=90°，∴∠EPO=∠PMD，∠PEO=∠MPD．∴△PEO≌△MPD，MD=OP，PD=BO，OP=OB+BP=PD+BP=BD，∴MD=BD，∠MBD=45°．∵∠QBO=45°，∴△BOQ是等腰直角三角形．∴OB=OQ=4．∴无论P点怎么动OQ的长不变．

7.证明：

（1）在△ABC中，∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=180°﹣∠BAC，∵∠BAC=2∠BDO，∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣2∠BDO，①

在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°﹣∠ADC，

∵BO=CO=1，∴∠BDC=2∠BDO，∴∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°﹣2∠BDO，②

①﹣②得，∠ABD﹣∠ACD=0，∴∠ABD=∠ACD；

（2）过D作DN⊥BE于N，由于BD=CD，∠ABD=∠ACD；∴△BDN≌△CDM，

∴DM=DN，∴AD是∠CAE的角平分线；

（3）

的值不发生变化，理由：

∵△BDN≌△CDM，∴BN=CM，∵AD是∠CAE的角平分线，∴AN=AM，∵BN=AN+AB=AM+AB，CM=AC﹣AM，∴AM+AB=AC﹣AM，∴AC﹣AB=2AM，∴

=2是定值．