高考理科数学全国2卷含答案.docx
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高考理科数学全国2卷含答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(全国2卷)
一、选择题:
本题共要求的。
12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
3i八
1i
A.12i
B.12i
C.2
2.设集合
1,2,4,x
2x
4xm0.若
D.2i
1,则()
A.1,3
B.1,0
C.1,3D.1,5
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了
倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏B.3盏C.5盏
4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()
A.90B.63
C.
42
2x
5.设x,y满足约束条件
2x
3y
3y
3(
0
0,则z
"远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八^一,
381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2
D.9盏
2x
D.36
y的最小值是()
A.15B.
6.安排3名志愿者完成4项工作,则不同的安排方式共有()
A.12种B.18种
C.
每人至少完成1项,
D.9
每项工作由
1人完成,
C.24种
D.
36种
你们四人中
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:
有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:
我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()
A.乙可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的
A.2
B.3
C.
B.丁可以知道四人的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
1,则输出的S()
D.5
9.若双曲线
0)的一条渐近线被圆
2y2
得的弦长为
2,贝UC的离心率为
()
A.2
B.3
C.
D.
10•已知直三棱柱
C11C1中,
C120o,
CC1
面直线1与C1所成角的余弦值为()
A.
B.f
C.卫
D.仝
2
5
5
3
11
若X
2是函数f(x)(x2
ax1)ex1的极值点,贝U
f(x)的极小值为()
A.
1
B.
2e3
C.5e3
D.1
uuuuuuuuu
12.已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,贝UPA(PBPC)的最小值是()
34’
A.2B.C.D.1
23
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,表示抽到的二
等品件数,则D•
14.函数fX
23
sinx,3cosx(4
0,)的最大值是.
2
15•等差数列
an的前n项和为Sn,a3
S410,则
k
n1
1S
16.已知F是抛物线C:
y28x的焦点,
是C上一点,F
的延长线交y轴于点.若为F的中
点,则F
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题,每个试题考
生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
2B
17.(12分)ABC的内角代B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(AC)8sin—.
2
(1)求cosB
(2)若ac6,ABC面积为2,求b.
18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网
箱,测量各箱水产品的产量(单位:
kg)其频率分布直方图如下:
频率
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法
的箱产量不低于50kg”估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量v50kg
箱产量>50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
P(?
?
>?
?
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
2
K2
n(adbc)
(ab)(cd)(ac)(bd)
19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,
1
ABBC-AD,BADABC90°,E是PD的中点.
2
(1)证明:
直线CE//平面PAB
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为
45°,
求二面角M-AB-D的余弦值
D
C
2
X2
20.(12分)设0为坐标原点,动点M在椭圆C:
y1上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满
2
uuu_ULU0
足NP,2NM.
(1)求点P的轨迹方程;
UUUUULT
⑵设点Q在直线x=-3上,且OPPQ1.证明:
过点P且垂直于0Q的直线丨过C的左焦点F.
21.(12分)已知函数f(x)
2
axaxxlnx,且f(x)0.
(1)求a;
(2)证明:
f(x)存在唯一的极大值点x0,且e2f(x0)22
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为
cos4.
(1)M为曲线G上的动点,点P在线段OM上,且满足|OMI|OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为(2,—),点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.
3
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知a0,b0,a3b32,证明:
(1)(ab)(a5b5)4;
(2)ab2.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(n)试题答案
、选择题
1.D2.C3.B4.B5.A
6.D
7.D8.B9.A10.C
11.A
12.B
二、填空题
13.1.9614.115.
2n
n1
16.6
三、解答题
17.解:
(1)由题设及ABC得sinB8sin2—,故2
sinB(1-cosB)
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0
解得cosB=1(舍去),
_15cosB=—
17
158
(2)由cosB=得sinB,故SABC
1717
17
又Sabc=2,则ac—
2
由余弦定理及ac6得
b2a2c22accosB
acsinB
2
4ac17
(a+c)22ac(1cosB)
1715
362-2-(1石)
4
所以b=2
18•解:
(1)记B表示事件旧养殖法的箱产量低于
50kg”,C表示事件新养殖法的箱产量不低于
50kg
由题意知PAPBC
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
(0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62
故PB的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为
(0.0680.0460.0100.008)5=0.66
故PC的估计值为0.66
因此,事件A的概率估计值为0.620.660.4092
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量50kg
箱产量>50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
2
220062663438
K15.705
10010096104
由于15.7056.635
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为
0.0040.0200.04450.340.5,
箱产量低于55kg的直方图面积为
0.0040.0200.044+0.06850.680.5
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.5-0.34=/、
50+~52.35(kg).
0.068
19.解:
(1)取PA中点F,连结EF,BF.
11因为E为PD的中点,所以EFPAD,EF=§AD,由BADABC90得BC//AD,又BC-AD
所以EF/BC•四边形BCEF为平行四边形,CE/BF.
又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE//平面PAB
(2)
一luffuiu
由已知得BAAD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,AB为单位长,建立如图所示的空间直
角坐标系A-xyz则
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,.3)
uuu_uuu
PC(1,0,.3),AB(1,0,0)则
uiuumum_
因为BM与底面ABCD所成的角为45
BM(x1,y,z),PM(x,y1,z3)
,而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以
;LUULTcos]BM,n}
sin45°,
z
(X1)2y2z2
_2
~2
即(x-1)2+y2-z2=0
UUJUuuu
又M在棱PC上,设PMPC,则
x,y1,z3、3
x=1诗
x='-2
y=1
(舍去),
y=1
z
z
由①,②得
所以MV'1,丄
uuuu
,从而AM
2
1冷,1冷
设m=x°,
y。
,z。
是平面ABM的法向量,则
uuiurmgAMuuumgAB
2-迈x02y0阮0
Xo
所以可取m=(0,
-6,2)•于是cosm,n
mgi
mn
10
"V
因此二面角M-AB-D的余弦值为
5
20.解
(1)设
P(x,y),M(X0,y0),设N
(XO,0)
uuu
NP
uuuu
x0,y,NM0,y°
uuu
由NP
_uiuu
2NM得x0=x,
因为M
(x0,y0)在C上,
2所以I
2
y_
因此点P的轨迹方程为
因为g1=0,gx
0,故g'1=0,而g'x
g'1=a
1,得a1
若a=1,贝Ug'x
1^.当0vxv1时,
x
g'
v0,gx单调递减;当x>1
时,
g'x>0,gx单调递
增•所以x=1是gx
的极小值点,
=0
(2)由题意知F(-1,0)•设Q(-3,t),P(m,n),则
uur
OQ3,t
uu
PF
uiruur
1
m,n,OQgPF33mtn,
iun
uur
OPm,n
PQ
3
m,t
n,
uuiuuu
由OPgPQ
1得-3m
2m
tn
n21,又由
(1)知m2+n2
=2,故
3+3m-tn=0
uuiruuu
uur
uuu
所以OQgPF
0,即
OQ
PF
又过点P存在唯一直线垂直于
OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线1过C
的左焦点F.
21.解:
(1)fx的定义域为0,+
等价于g
设gx=ax-a-lnx,贝yfx=xg
综上,a=1
(2)
由
(1)知f
2
xxx
xInx
f'(
x)
2x
2Inx
设h
x
2x2
Inx,则h'(x)
2
1
x
当x
0,1时,
h'xv0;当x
1
,+
时,
h'x>0,所以hx
在
0,
1
单调递减,在
1
-,+单
2
2
2
2
调递增
:
曾
又h
e2
1
>0,h-
v0,h10,
所以
hx
在
0,1
有唯一零点X0,
在
1
,+
有唯一零点
1,且当
2
2
2
x
0,
X。
时,h
x>0;当x
X°,1
时,
hx
v0
,当X1,+
时,
h
X
>0.
因为f'xhx,所以x=X0是f(x)的唯一极大值点
由f'x00得Inx02x01),故fx0=x0(1x0)
1
由x00,1得f'x0v
4
因为x=X0是血)在(0,1)的最大值点,由e10,1,f'e10得
12
fx0>fee
所以e2vfx0v2-2
22•解:
(1)设P的极坐标为
M的极坐标为
1>0,由题设知
OP=,0M
1
cos
由OMgOP
=16得C?
的极坐标方程
=4cos
2
因此C2的直角坐标方程为x2
y24x
(2)设点B的极坐标为b,
B>0,由题设知
OA=2,B=4cos,于是△OAB面积
1
S=OAgBgsin
AOB
4cos
sin
sin2
当=-12时,S取得最大值2+3
所以△OAB面积的最大值为
23•解:
(1)
aba5
b5
ab5
a5bb6
b3
2a3b3
aba4
b4
4ab
b22
(2)因为
a
3
b
a33a2b
3ab2b3
2
3aba+b
2
3
3
a+b
3a+b
2+
a+b
2
4
4
3
所以
a+b
8,因此a+bw2.