概率统计习题53.docx
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概率统计习题53
&5.3统计量及其分布
习题与解答5.3
1.在一本书上我们随机地检查了10页，发现每页上的错误数为
4560314214
试计算其样本均值，样本方差和样本标准差.
10
解样本均值X=「...7=4+5+...+4=3.
样本方差s2=±2（Xj-X「=9p4-3）+...+（4-3）j=3.78,
样本标准差s=1.94.
2证明:
对任意常数c,d,有
证2（Xj（片一x^Vj-Y）+n（X-c）（Y-d）.
ii八iA八
艺（X—cXyj—d）=S（Xi-x+X-c）（yi—Y+y—d）=送（片一XX-y）+i4……
n
无（X-cXyj-y）+2（Xi-X）（y-d）+2（X-c）（y-d）,i4八iVr
由2（Xi—X）=0,，（y—y）=0,得
i=1
2（X-Chi-d）=2（Xi-X）（yi-y）+n（X-cXy-d）,
i壬
因而结论成立.
3.设xi,...,Xn和yi,...,yn是两组样本观测值，且有如下关系:
y=3^-4，i=1,2...，n,试求样本均值X和y间的关系以及样本方差
SX和Sy的关系.
-1.2yr送―送（3Xi—4）=送
Sy
Xi
—4=3X-4,
三（yi—y）
i2
2（3x^4
i4'
-3x+4）
一2
送9（Xj-X）=9Sx
iU'
因而得y=3x-4与
4.记Xn
nid
X,，Sn
Xn+1
n+1
Sn
i=1
Xn
=Xn
丄送
niT
i=1
（Xi
—Xn
Sy
=9sx
n—%*x）
n+1
n+l
i=1
g-Xn）.
nX+x
（X
丄无（Xi
（Xi-x
Xn
（Xi-Xn）
n+1
n+1
）=0,丄W（Xn
n=1,2....,证明
（n+1）Xn+X
it
Xn+1
（Xi
-Xn+）21+
（X
F+X1）
）2+
1
—（Xn+1
—Xn+1
iT
一Xn+1
）2
-XnKXn
n+1
1
）+-（Xn+1
一Xn+1
Xn+1
+-Z
一Xn）
nirn
（X
n+1
~Xn）
2
11）_21
（Xn+1—Xn）+-
In+1丿n
1
21n2
S.申=-送（Xi-Xn）+
ni4
n-11n212
=——汽——S（Xi-Xn）+——（Xn+1—Xn）
nn-1yn+1
n-121「_2
=Sn+（Xn+1—Xn）.
nn+1
In+1丿
5.从同一总体中抽取两个容量分别为n,m的样本,样本均值分别为
X1,x2,样本方差分别为s2,s；,将两组样本合并，其均值力差分别为
2
X,s,证明:
-nx<^mx2
x=:
n+m
2（n-1）s2+（m-1）£丄
s=十
nm（为—X2）2
（n+m）（n+m—1）
证设取自同一总体的两个样本为
X11,X12，...，Xin；X21,X22，…，X2m■
Y+Y++YY+Y++Y
j_ClC2…Cn„_入21入22…入2m
由Xi-,X2,得
-x1<^..^x1n+x2<^X22十...十x2mnx^mx2
X==
n+m
1n—
由S2=—送（X1i-X1）2,s2
nTy
1m一
=Z（X2i-X2）2
mTy
1n_m
s2=[无（X1i-X）2+2
n+mTi¥iT
[2（X1i-X1+x1-x）2+2（X2i—X2+x2-x）]
i=1irn
（X2i-X）]
n+mT
An_2__m_2__
I22
[S（X1i-X1）+n（X1-X）中送（X2i-X2）+m（x2-X）
i=1i=±
—nx1+mx2、2,,—nx1+mx2、（n-1）s2+（mT）S22/（X1—）^m（x2—
n+mT
n+m-1
（n-1）S|2+（m-1禺2+n□（%f）2
n+mT（n+m）（n+mT）
6.设有容量为n的样本A,它的样本均值为XA,样本标准差为Sa,样本
极差为Ra,样本中位数为mA.现对样本中每一个观测值施行如下变换
y=ax+b，如此得到样本B,试写出样本B的均值，标准差极差和中位
解不妨设样本A为＜x1,x2,...,x^},样本B为'y1,y2,...,y“〉，且
y=ax+b,i=1,2，…，n,
——yi+y2+...+ynaxi+b+ax2+b+...中axn+b—,
yB===axA+b,
sB=（yi-yB）2=（ax+b-ax-b）2=a2sA
n-1i丄n-1iA
因而sB=l^sA.
Rb=y（n）-y
（1）=aX（n）+b-ax
（1）-b二a（X（n）-x
（1））=nRa,
mB=
yu）,n为奇数,
1
2（y（n）ry（n^）,n为偶数
2
（二）（二F）axn+|+b,n为奇数
U）
—（ax『n]+b+axjn]+b）,n为偶数
=a
8设X1,…，Xn是来自U（—1,1）的样本，试求E（X）和Var（x）
解均匀分布u（—1,1）的均值和方差分别为0和1/3,该样本容量为n,
--1
因而得E（X）=0,Var（X）=—,3n
9.设总体二阶矩存在Xi,…，Xn是样本，证明x-X也Xj-X（iHj）的相
关系数为-（n-1）’对次你能够给予解释吗？
JvaMXj—X）Jvar（Xj-x）
证不妨设总体的方差为b2,则P（Xi7Xj—X）=Cog-x,Xj一x）由Covdj-X,Xj-X）=Cov（XXj）-Cov（x,x）-Cov（Xj,X）+Cov（x,x）
b2
由于，Cov（Xi,Xj）=0,Cov（x,x）二一
n
——1
Cov（xi,X）=Cov（xj,X）=Cov（xi—2xi）=一nimn
因而Cov（x-X,Xj-X）=——n
Var（x-X）=Var（Xj-x）=Var^-x）
n2
=Var（（n一"人一X2-Xn、（n-2+（n-1尸2
（nT）d2
由于2（Xi-X）=0,故其中任意一个偏差Xi-X的增加,都会使另
个偏差Xj-X减少的机会增加，因而两者的相关系数为负.
10•利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率
多少？
xn
p（0.4€』<0.6）>0.9n
此式等价于p（|xn-0.5n|工0.1n）<0.1,利用切比雪夫不等式估计上
（0.1n）2
式左端概率的上界P（Xn-0.5n>0.1n）兰小5。
-0.5）-25
25
再由不等式—兰0.1可得粗糙的估计n工250.即抛均匀硬币250次
n
后可满足要求.
事实上，利用X的渐近正态性可以得到更精确的结论.由中心极限定理知样本均值X二'，亦（X-0.5）/匚N（0,1）,故
n
P（0.^X<
0.6）=P（7nx-0.5/0.5<亦/5）=妙（亦/5）-1二0.9,
即①（亦/5）>0.95,故亦/5二1.645这就给出较精确的上界
n二（5咒1.645），这表明只需抛均匀硬币68次就可满足要求.两
个结果差异很大，说明切比雪夫不等式是一个较为粗糙的不等式，在能够使用大样本结果的情况下应尽量使用中心极限定理
11.从指数总体Exp（1/8）抽取了40个样品试求X的渐近分布.
解由于指数总体Exp（1/0）的均值为日，方差为日2,于是X的渐近分re2、
布为N
e——I
k‘40丿.
12.设Xi,…，X25是从均匀分布U（0,5）抽取的样本，试求样本均值x的
渐近分布.
解均匀分布U（0,5）的均值和方差分别为5/2和25/12,样本容量为25,
因而样本均值X的渐近分布为Ng,-].
13.设Xi,...,X20是从二点分布b（1,P）抽取的样本，试求样本均值X
的渐近分布.
解二点分布b（1,P）的均值和方差分别为P和p（1-P）,样本容量为20,
因而样本均值X的渐近分布为n]p,"^穿]
14.设X1,...,X8是从正态总体N（10,9）中抽取的样本，试求样本均值X
的标准差.
解来自正态分布的样本均值仍服从正态分布，均值保持不变，方差为原来方差的1/n,此处总体方差为9，样本容量为8，因而
VarX=9/8的标准差为372/4=1.06.
15.切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而剩下的当中的值来计算样本均值，其计算公式
n-2〔*]
是心=x（nx）心-同,其中0“1/2是切尾系数，
X
（1）兰X
（2）兰…兰X（n）是有序样本。
现我们在某高校采访了16名大学
生，了解他们平时的学习情况，以下数据是大学生每周用于看电视的时间:
15141292041726151861558
取a=1/16,试计算其切尾均值:
解将样本进行排序得x
（1）=4,…，x（佝=26,当a=1/16时，由题
意得，切尾均值
12.86.
16.有一个分组样本如下
区间
组中值
频数
（154,155）
150
4
（155,165）
160
8
（165,175）
170
6
（175,185）
180
2
试求该分组样本的样本均值.样本标准差，样本偏度和样本峰度.
解计算过程列表如下：
组中值x
频数f
x[f
（x-X）2f
（X-x）3f
（x-：
）4f
150
4
600
676
-8788
114244
160
8
1280
72
-216
648
170
6
1020
294
2058
14406
180
2
360
578
9826
167042
和
20
3260
1620
2880
296340
因而可得样本均值，样本偏度和样本峰度分别为
x=3260=163,s=J1620=9.23,
20V19
288吧2=0.198,4=296340/20-3—0.742.
（1620/20）（1620/20）
批号
批量
不合格品率
1
100
0.05
2
300
0.06
3
250
0.04
4
150
0.03
17•检查四批产品，其批量与不合格率如下
试求这四批产品的总不合格率.
解这批产品的总不合格率为
P=100"0.05中300^O.OS+250^0.04+150^0.03二0.047.
100+300+250+150
18.设总体一等概率取123,4,5,现从中抽取一个容量为4的样本，试分
别求X
（1）和X⑷的分布.
解由古典概率可得P（x
（1）-k）二
4
「6-k、,…CJ，k=1,2,3,4,5.
4
'=0.5904,
P（x
（1）=1）=P（x
（1）「）-P（x
（1）x2）=1-
P（x
（1）=2）=P（x（1严2）-P（x（1严3）=
.5；
15丿
4
'=0.28,
P（x
（1）=3）=P（x（1严3）-P（x（1严4）=
③4
5
-1
<5>
=0.104,
P（x
（1）=4）=P（x
（1）>4）-P（x
（1）>5）=匸
V5>
4”4
「1、
-I-=0.024
15丿
P（x
（1）=5）=P（x
（1）>5）
4
=0.0016,
x
（1）
1
2
3
4
5
P
0.5904
0.28
0.104
0.024
0.0016
这就给出了x（i）的分布列
类似的，p（x（4）5
15丿
P（X（4）
P（X（4）
P（X（4）
P（X（4）
P（X（4）
=1）=p（x（4）兰1）=0.0016,
=2）=p（X（4）兰2）-P（X（4）兰1）=0.024
=3）=卩（旳4）-3）—P（x（4）-2）=O.104
=4）=p（X（4）兰4）-p（x（4）兰3）=o.28
=5）=1-p（X4兰4）=0.5904
这就给出X（4）的分布列
（2）p（x
（1）>5）.
解
（1）p（x（16）>10）=1-p（）<（16）兰10）=1-（p（X1兰10）16
10_8
=1一（①（^^））16=1-0.84136=0.9370,
58
⑵p（x
（1）>5）=（p（X
（1）>5））16=（1-①（〒））16
.16
=〔◎（1.5）]=0.3308
20.设总体为韦布尔分布Wei（mJ），其密度函数为
mJ
p）（x;m,n）M^X^exp{—（护},x>0,m》0,n>0
现从中得到样本Xi,…,Xn,,证明X（i）仍服从韦布尔分布，并指出其参数.
解由总体分布的密度函数可得总体的分布函数F（x）为
XmtmVmX_（t）mt-；X（m）
F（x）=J0^^dt=—J0end（—（孑）m）=1—e
-m
因而最小次序统计量X
（1）的分布函数为
X>0.
P（X
（1）兰X）=1-P（x
（1）》X）=1—（eW
21.设总体密度函数为
p（x）=6x（1-x）,0■中位数的分布.
解总体分布函数为
F（x）=f6t（1-t）dt=3x2-2x3=x2（3-2x）,0EX兰1,
1—F（x）=（1-x）2（2x+1）,0兰X兰1.
故样本中位数口0.5=X（5）的精度分布密度函数为
<9?
Pm0.5（X）-1/
（4丿
=1|（x2（3-2x））4|16x（1-x）（（1-x2）（2x+1））4
I4丿I1丿
=3780x9（1-x）9（3-2x）4（2x+1）4
（F（x））4P
（1丿
p（x）（1-F（x））4
这个精确密度函数是26次多项式，使用是不方便的，譬如Pmo.5<0.7）
用上述密度函数是可以求的，可就是不方便，寻求近似计算就十分必要.
F面来寻求m0.5的渐进分布，由于总体中位数是Xo.5=O.5,且
P（x0.5=0.5）=6X0.5X（1-0.5）=3/2,
故在n=9时m0.5的渐近分布为m（0.5）DN（g,
利用此渐进分布容易算出概率P（讥.5€0.7）=①（1.8）=0.9641.
22.设X1,...,Xn是来自U（0/）的样本，X
（1）兰…兰X（n）为其次序统计，令
yi=1,...,n-1,yn=x（n）,
X（i+|）
证明yi,...,y相互独立.
证令Ui=x（i）,i=1,2,...,n,则Ui，...,Un的联合密度函数为
P（U1,...,Un）=n!
/Tn,0兰U1兰…兰Un兰&
y厂U1/U,2
U^yy.2.yn,
yn斗二Un_1/Un,其逆变换为yn二Un
Un—1=Yn*
Un二yn，
其中0€y
<1j=1,.』71,0^其Jacobi行列式绝对值为
2nT
J=y2y3...yn,联合密度函数为
p（yi,…，yn）二n!
y2y；..yT（1/T）n
=（2y2）（3y2）…（nLyn'）,0c比c1,i=1,...,n-1,0c齐<日该联合密度函数为可分离变量，因而yi,..y相互独立,且
yiUBe（1,1）=U（0,1）,y2UBe（2,1）,...,yn_i「Be（n-1,1）,y“/让Be（n,1）.
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