高中物理第五章曲线运动5向心加速度教学案新人教版必修2.docx

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高中物理第五章曲线运动5向心加速度教学案新人教版必修2

5　向心加速度

[学习目标]1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题.

一、向心加速度的方向

1.定义：

任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度.

2.向心加速度的作用：

向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响.

二、向心加速度的大小

1.向心加速度公式

（1）基本公式an＝＝ω2r.

（2）拓展公式an＝·r＝ωv.

2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动.

[即学即用]

1.判断下列说法的正误.

（1）匀速圆周运动的加速度的方向始终不变.（×）

（2）匀速圆周运动是匀变速运动.（×）

（3）匀速圆周运动的加速度的大小不变.（√）

（4）根据a＝知加速度a与半径r成反比.（×）

（5）根据a＝ω2r知加速度a与半径r成正比.（×）

2.在长0.2m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为________，向心加速度为________.

答案　3rad/s　1.8m/s2

解析　角速度ω＝＝rad/s＝3rad/s

小球运动的向心加速度an＝＝m/s2＝1.8m/s2.

一、向心加速度及其方向

[导学探究]　如图1甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动（近似的）；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.

图1

（1）在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？

若变化，变化的原因是什么？

（2）地球受到的力沿什么方向？

小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？

（3）地球和小球的加速度方向变化吗？

匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？

答案　

（1）地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化.运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用.

（2）地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、线的拉力作用，合力等于线的拉力，方向沿半径指向圆心.

（3）物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是时刻沿半径指向圆心，即加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动.

[知识深化]　对向心加速度及方向的理解

1.向心加速度的方向：

总指向圆心，方向时刻改变.

2.向心加速度的作用：

向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响.

3.圆周运动的性质：

不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.

例1　下列关于向心加速度的说法中正确的是（　　）

A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢

B.向心加速度描述线速度方向变化的快慢

C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的

D.匀速圆周运动是匀变速曲线运动

答案　B

解析　匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错，B正确；向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故C、D错误.

二、向心加速度的大小

[导学探究]　

（1）匀速圆周运动的速度方向不断发生变化，如图2所示，经过Δt时间，线速度由vA变为vB，圆周的半径为r.

图2

试根据加速度的定义式推导向心加速度大小的公式.

（2）结合v＝ωr推导可得向心加速度与角速度关系的表达式为：

an＝________.

（3）有人说：

根据an＝可知，向心加速度与半径成反比，根据an＝ω2r可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的.你认为呢？

答案　

（1）如图，由于A点的速度vA方向垂直于半径r，B点的速度vB方向垂直于另一条半径r，所以∠AOB＝∠CBD，故等腰△AOB和△CBD相似，根据对应边成比例可得：

＝，由于时间t很短，故弦长AB近似等于弧长，而弧长＝vA·Δt，所以＝，根据an＝得an＝.

（2）由v＝ωr，代入an＝可得an＝ω2r.

（3）不矛盾.说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾.

[知识深化]

1.向心加速度的几种表达式：

an＝＝ω2r＝r＝ωv.

2.向心加速度与半径的关系（如图3所示）

图3

3.向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动

（1）物体做非匀速圆周运动时，加速度不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：

an＝＝ω2r.

（2）无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度都指向圆心.

例2　如图4所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是（　　）

图4

A.A、B两点具有相同的角速度

B.A、B两点具有相同的线速度

C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心

D.A、B两点的向心加速度之比为

答案　A

解析　A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin60°，B运动的半径rB＝Rsin30°，＝＝＝，B错；＝＝，D错.故选A.

例3　如图5所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径.已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是（假设皮带不打滑）（　　）

图5

A.1∶2∶3B.2∶4∶3

C.8∶4∶3D.3∶6∶2

答案　C

解析　因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率.根据向心加速度公式an＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同.根据向心加速度公式an＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C.

讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系，可以分为两类问题：

（1）皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an＝.

（2）同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r.

针对训练　如图6所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍.压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度是多少？

大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？

图6

答案　aB＝0.24m/s2　aC＝0.04m/s2

解析　大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等.由aA＝和aB＝得aB＝aA＝24cm/s2＝0.24m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相同，由aA＝ω2R和aC＝ω2·得aC＝＝4cm/s2＝0.04m/s2.

1.（向心加速度的概念）（多选）关于向心加速度，以下说法中正确的是（　　）

A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直

B.向心加速度的方向保持不变

C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

答案　AD

解析　向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变.物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；非匀速圆周运动的加速度不是始终指向圆心，故选A、D.

2.（向心加速度公式）关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是（　　）

A.由an＝可知，an与r成反比

B.由an＝ω2r可知，an与r成正比

C.由v＝ωr可知，ω与r成反比

D.由ω＝2πf可知，ω与f成正比

答案　D

解析　质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关.但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出.当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，正确答案为D.

3.（传动装置中的向心加速度）如图7所示，两轮压紧，通过摩擦传动（不打滑），已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是（　　）

图7

A.anC＝anD＝2anEB.anC＝2anD＝2anE

C.anC＝＝2anED.anC＝＝anE

答案　C

解析　同轴转动，C、E两点的角速度相等，由an＝ω2r，有＝2，即anC＝2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，由an＝，有＝，即anC＝anD，故选C.

4.（向心加速度的计算）滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图8所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0m的圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度（不计各种阻力）.

图8

答案　50m/s2，方向竖直向上　0

解析　运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a＝＝m/s2＝50m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上.运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0.

课时作业

一、选择题（1～5为单项选择题，6～10为多项选择题）

1.关于向心加速度，下列说法正确的是（　　）

A.由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定

B.匀速圆周运动不属于匀速运动

C.向心加速度越大，物体速率变化越快

D.做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心

答案　B

解析　向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以A错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B正确；向心加速度不改变速率，C错；只有匀速圆周运动的加速度才时刻指向圆心，D错.

2.如图1所示是A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（　　）

图1

A.A物体运动的线速度大小不变

B.A物体运动的角速度大小不变

C.B物体运动的角速度大小是变化的

D.B物体运动的线速度大小不变

答案　A

解析　根据an＝知，当线速度v大小为定值时，an与r成反比，其图象为双曲线的一支；根据an＝rω2知，当角速度ω大小为定值时，an与r成正比，其图象为过原点的倾斜直线，所以A正确.

3.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动的周期之比为3∶4，则它们的向心加速度之比为（　　）

A.1∶4B.4∶1

C.4∶9D.9∶4

答案　B

解析　ω＝，根据题意＝，＝，由an＝r得：

＝·2＝×＝4，B选项正确.

4.如图2所示，A、B是两个摩擦传动轮（不打滑），两轮半径大小关系为RA＝2RB，则两轮边缘上的（　　）

图2

A.角速度之比ωA∶ωB＝2∶1

B.周期之比TA∶TB＝1∶2

C.转速之比nA∶nB＝1∶2

D.向心加速度之比aA∶aB＝2∶1

答案　C

解析　两轮边缘的线速度相等，由ω＝知，ωA∶ωB＝RB∶RA＝1∶2，A错.由T＝知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶1，B错.由ω＝2πn知，nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，C对.由an＝知，aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，D错.

5.如图3所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使