例6直线a（x+1）+b（y+1）=0与圆x2+y2=2的位置关系是（C）
（A）相离（B）相切（C）相交或相切（D）不能确定
考点二：
圆的切线的求法：
直线与圆相切，切线的求法：
（1）当点在圆上时，切线方程为；
（2）若点在圆上时，切线方程为
；
（3）斜率为且与圆相切的切线方程为；斜率为且与圆相切的切线方程的求法：
先设切线方程为，然后变成一般式，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求；
（4）点在圆外面，则切线方程为，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上.
例7求经过点（1，－7）与圆x2+y2=25相切的切线方程.
解法一：
设切线的斜率为k，由点斜式有y+7=k（x－1），即，y=k（x－1）－7，
将上述方程代入圆方程x2+[k（x－1）－7]2=25整理得（k2+1）x2－（2k2+14k）x+k2+14k+24=0，
△=（2k2+14k）2－4（k2+1）（k2+14k+24）=0，
由此方程解出k，再代回y+7=k（x－1），可得切线方程，好了，到此打住！
从过程可以看到：
利用此法求切线方程，一般地讲，过程冗长，计算、书写量大而繁杂，容易出现错
误，通常情况下不采用.
解法二：
设所求切线斜率为k，所以所求直线方程为y+7=k（x－1），整理成一般式为kx－y－k－7=0，
所以，化简为12k2－7k－12=0，
所以k=或k=－.所以切线方程为4x－3y－25=0或3x+4y+25=0.
解法三：
设切点为（x0，y0），所求切线方程为x0x+y0y=25，将坐标（1，－7）代入后得x0－7y0=25，由，解得，或故所求切线方程为4x－3y－25=0或3x+4y+25=0.
例8已知圆C：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．
解析 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1.
设切线方程为y＝－x＋b或y＝x＋c，分别代入圆C的方程得2x2－2（b－3）x＋（b2－4b＋3）＝0
或2x2＋2（c－1）x＋（c2－4c＋3）＝0，
由于相切，则方程有等根，即b＝3或b＝－1，c＝5或c＝1.
故所求切线方程为：
x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.
例9直线x+y=m与圆x2+y2=m（m>0）相切，则m=（D）
（A）（B）（C）（D）2
例10由点P（1，－2）向圆x2+y2+2x－2y－2=0引的切线方程是5x+12y+19=0和x=1.
例11直线a（x+1）+b（y+1）=0与圆x2+y2=2的位置关系是（C）
（A）相离（B）相切（C）相交或相切（D）不能确定
考点三：
直线与圆相交的弦长公式
（1）平面几何法求弦长公式：
如图所示，直线l与圆相交于两点A、B，线段AB的长即为直线l与圆相交的弦长.
设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有，即AB=.
（2）解析法求弦长公式：
如图所示，直线l与圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的倾斜角存在时，联立方程组，消元得到一个关于x的一元二次方程，求得x1+x2和x1x2.于是，
这样就求得。
例11直线l经过点P（5，5），且和圆C：
x2+y2=25相交，截得弦长为4，求l的方程.
解：
设|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，
在Rt△AHO中，|OA|=5，|AH|=|AB|=2，
所以|OH|=，即,解得k=，k=2，
所以直线l的方程为x－2y+5=0，或2x－y－5=0.
例12两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．
分析：
首先求、两点的坐标，再用两点式求直线的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．
解：
设两圆、的任一交点坐标为，则有：
①
②
①－②得：
．
∵、的坐标满足方程．
∴方程是过、两点的直线方程．
又过、两点的直线是唯一的．
∴两圆、的公共弦所在直线的方程为．
说明：
上述解法中，巧妙地避开了求、两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．
例13圆心为（1，－2）、半径为2的圆在x轴上截得的弦长为（A）
（A）8（B）6（C）6（D）4
例14直线x+y=1被圆x2+y2－2x－2y－7=0所截得线段的中点是（A）
（A）（，）（B）（0，0）（C）（D）
例15已知圆C：
x2+y2－2x+4y－4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解法一：
假设存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点。
设l的方程为y=x+b，A（x1，y1），B（x2，y2），由OA⊥OB知，kOA·kOB=－1，即x1x2+y1y2=0.
由，得2x2+2（b+1）x+b2+4b－4=0。
∴x1+x2=－（b+1），x1x2=，y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2=,
∵x1x2+y1y2=0.∴b2+3b－4=0，解得b=－4或b=1
故存在这样的直线.，它的方程是y=x－4或y=x+1。
解法二：
圆C化成标准方程为（x－1）2+（y+2）2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）。
由于CM⊥l，∴kCM·kl=－1，即，∴b=－a－1.
直线l的方程为y－b=x－a，即x－y+b－a=0，∴，
因为以AB为直径的圆C过原点，所以|MA|=|MB|=|MO|，
而|MB|2=|CB|2－|CM|2=，|OM|2=a2+b2，
∴=a2+b2，代入消元得2a2－a－3=0，∴a=或a=－1，
当a=，b－时，此时直线l的方程为x－y－4=0；
当a=－1，b=0时，此时直线l的方程为x－y+1=0。
故这样的直线l是存在的，它的方程为x－y－4=0或x－y+1=0。
例16在Rt△ABO中，∠BOA=90°，|OA|=8，|OB|=6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O的距离的平方和的最大值和最小值.
解：
如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，
则A（8，0），B（0，6），内切圆C的半径r=，
所以圆心坐标为C（2，2），
所以内切圆C的方程为（x－2）2+（y－2）2=4，设P（x，y）为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，
则d=（x－8）2+y2+x2+（y－6）2+x2+y2=3x2+3y2－16x－12y+100=3[（x－2）2+（y－2）2]－4x+76，
因为点P（x，y）在圆上，所以（x－2）2+（y－2）2=4，∴d=88－4x，
因为点P（x，y）是圆C上的任意点，x∈[0，4]，∴当x=0时，dmax=88；当=4时，dmin=72.
例17已知圆C：
（x－3）2+（y－4）2=4和直线l：
kx－y－4k+3=0.
（1）求证：
不论k取何值，直线和圆总相交.
（2）求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长.
答案：
（2）k=1，弦长为2
第二部分课堂练习
1、直线与圆没有公共点，则的取值范围是
解：
依题意有，解得.∵，∴.
2：
若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是.
解：
依题意有，解得，∴的取值范围是.
3、圆上到直线的距离为的点共有（）．
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
分析：
把化为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于，所以选C．
4、过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示．
分析：
观察动画演示，分析思路．
解：
设直线的方程为
即
根据有
整理得解得．
5、已知△ABC的两个顶点A（-10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C的坐标．
解:
∴
∴直线AC的方程为即x+2y+6=0
（1）又∵
∴BC所直线与x轴垂直故直线BC的方程为x=6
（2）
解
（1）
（2）得点C的坐标为C（6,-6）
6、已知方程.
（Ⅰ）若此方程表示圆，求的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点）求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
解：
（Ⅰ）
D=-2，E=-4，F==20-，
（Ⅱ）代入得
，∵OMON
得出：
∴∴
（Ⅲ）设圆心为半径
圆的方程
7、已知圆，直线。
（Ⅰ）求证：
对，直线与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线的方程。
解：
（Ⅰ）解法一：
圆的圆心为，半径为。
∴圆心C到直线的距离
∴
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