二项分布到期望方差有答案.docx
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二项分布到期望方差有答案
2.4二项分布<1）
教案过程
一．问题情境
1．情景
1）射击n次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率p是不变的；
2）抛掷一颗质地均匀的筛子n次，每一次抛掷可能出现“5”，也可能不出现“5”，而1
且每次掷出“5”的概率p都是；
6
3）种植n粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是67%。
2．问题上述实验有什么共同特点？
由n次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，每次实验中P（A）p0。
二．建构数学
1．n次独立重复实验
一般地，由n次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次实验中P（A）p0。
我们将这样的实验称为n次独立重复实验，也称为伯努利实验。
我们先研究下面的问题：
射击3次，每次射中目标的概率都为p0。
设随机变量X是射中目标的次数，求随机变量X的概率分布。
由树形图可见，随机变量X的概率分布如下表所示。
X
0
1
2
3
P
2．二项分布
若随机变量X的分布列为P（Xk）Cnkpkqnk,其中0p1,pq1,k0,n
则称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB（n,p）。
三．数学运用
1．例题
例1：
求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率。
思考：
“随机抛掷100次均匀硬币正好出现50次反面”的概率是多少？
例2：
设某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，该公司规定：
每人每年付给公司
120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元。
如果已知每人每年意外死亡的概率为
0.006，问：
该公司赔本及盈利额在400000元以上的概率分别有多大？
例3．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布。
例4.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且各次射击的结果互不影响。
<1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率；<2）求射手第3次击
中目标时，恰好射击了4次的概率；<3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列。
例5.一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到
1
红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。
<1）设X为这名学生在途中遇到的红灯次
3
数，求X的分布列；<2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；<3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。
例5.某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查<安检）。
若安检不合格，则必须进行整改。
若整改后经复查仍不合格，则强行关闭。
设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：
<1）恰好有三家煤矿必须整改的概率；<2）至少关闭一家煤矿的概率。
<精确到0.01）
例6.9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
<1）求甲坑不需要补种的概率；<2）求3个坑中需要补种的坑数X的分布列；<3）求有坑需要补种的概率。
<精确到0.001）
§2.5.1离散型随机变量的均值
教案过程
一．问题情境
1．情景：
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的
不合格品数分别用X1,X2表示，X1,X2的概率分布如下．
X1
0
1
2
3
X2
0
1
2
3
pk
0.7
0.1
0.1
0.1
pk
0.5
0.3
0.2
0
2．问题：
如何比较甲、乙两个工人的技术？
三．建构数学
1．定义在《数学3<必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1x2p2...xnpn计算
样本的平均值，其中pi为取值为xi的频率值．
类似地，若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下：
X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
其中，pi0,i1,2,...,n,p1p2...pn1，则称x1p1x2p2...xnpn为随机
变量X的均值或X的数学期望，记为E（X）或．
2．性质<1）E（c）c；<2）E（aXb）aE（X）b．四．数学运用
1．例题：
例1．高三<1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红
球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．
说明：
一般地，根据超几何分布的定义，可以得到E（X）rCMCnNMnM．
r0CNnN
例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X的数学期望
E（X）．
说明：
例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：
当
X~B（n,p）时，E（X）np．
例3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告
1
结束，假定A,B在每场比赛中获胜的概率都是1，试求需要比赛场数的期望．
2
§2.5.2离散型随机变量的方差和标准差（1>
教案过程
一．问题情境
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的
不合格品数分别用X1,X2表示，X1,X2的概率分布如下．
X1
0
1
2
3
X2
0
1
2
3
pk
0.7
0.1
0.1
0.1
pk
0.5
0.3
0.2
0
如何比较甲、乙两个工人的技术？
我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？
三．建构数学
1．一般地，若离散型随机变量X的概率分布如表所示：
X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
则（xi）2（E（X））描述了xi（i1,2,...,n）相对于均值的偏离程度，故
（x1）2p1（x2）2p2...（xn）2pn，＜其中pi0,i1,2,...,n,p1p2...pn1）刻画了随机变量
X与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V（X）或
2
．
n
2．方差公式也可用公式V（X）xi2pi2计算．
i1
3．随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差V（X）的算术平方根称为
X的标准差，即V（X）．
1．例题：
例1．若随机变量X的分布如表所示：
求方差V（X）和标准差V（X）．
X
0
1
P
1p
p
例2．求第2.5.1节例1中超几何分布H（5,10,30）的方差和标准差．
X
0
1
2
3
4
5
P
2584
8075
8550
3800
700
42
23751
23751
23751
23751
23751
23751
例3．求第2.5.1节例2中的二项分布B（10,0.05）的方差和标准差．
X
0
1
2
3
4
5
pk
0010C10p（1p）
119
C110p1（1p）9
C120p2（1p）8
C130p3（1p）7
C140p4（1p）6
555
C150p5（1p）5
X
6
7
8
9
10
pk
C160p6（1p）4
C170p7（1p）3
C180p8（1p）2
C190p9（1p）1
10100
C1100p10（1p）0
说明：
一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：
当
X~H（n,M,N）时，V（X）nM（N2M）（Nn），当X~B（n,p）时，
N2（N1）
V（X）np（1p）．
例4．有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80
分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲
分数
X甲
80
90
100
概率
0.2
0.6
0.2
乙
分数
X乙
80
90
100
概率
0.4
0.2
0.4
§2.5.2离散型随机变量的均值和方差（2>
教案过程
一．问题情境复习回顾：
1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式．
2．练习设随机变量X~B（n,p），且E（X）1.6,V（X）1.28，则n，p；二．数学运用
1．例题：
例1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X．<1）求随机变量X的概率分布；<2）求X的数学期望和方差．
例2．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为X,Y<单位：
s），其分布
列如下：
X
1
0
1
P
0.1
0.8
0.1
Y
2
1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
比较两种品牌手表的质量．
例3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是
0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
<Ⅰ）求的分布列及数学期望；<Ⅱ）记“函数f（x）x23x1在区间[2,）上单调递增”为事件A，求事件A的概率.
例4．有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：
顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．
§2.6正态分布
教案过程
一．问题情境
1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；
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