高中数学公式及知识点归纳.docx
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高中数学公式及知识点归纳
高中数学公式及知识点速记
、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设Xi、X2[a,b],xiX2那么f(xjf(X2)0f(x)在[a,b]上是增函数;f(xjf(X2)0f(x)在[a,b]上是减函数。
⑵设函数yf(x)在某个区间内可导,若f(x)0,则f(x)为增函数;若f(x)0,则f(x)
为减函数。
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的x,都有f(x)f(x),贝yf(x)是偶函数;
对于定义域内任意的x,都有f(x)f(x),则f(x)是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。
灵犀一指:
若奇函数在x0处有定义,则有f(X)0。
3、对数的性质及运算公式:
①axblogabx②loga10,logaax=x:
③
a'°9abb:
④lOgaMNlogaMlogaN,logaMlogaMlogaN:
⑤
logcblogca
lgb
lga
N
logambn=—logab;®logabm
4、函数yf(x)在点xo处的导数的几何意义
f(X0),相应
axlna;
函数yf(x)在点xo处的导数是曲线yf(x)在P(xo,f(x。
))处的切线的斜率
的切线方程是yy0f(x0)(xx0)。
5、几种常见函数的导数
①C0:
②(xn)nxn1:
③(sinx)cosx:
④(cosx)sinx•,⑤(ax)
x'x'1'1
⑥(e)e;⑦(logax):
⑧(lnx)
xlnax
6、导数的运算法则
II
U、’uvuvzc、
(1)(uv)uv;
(2)(uv)uvuv;(3)
(一)2(v0)。
vv
7、会用导数求单调区间、极值、最值
8、求函数yfx的极值的方法是:
(1)如果在X。
附近的左侧fx0,
⑵如果在x0附近的左侧fx0,
解方程
f
X
0。
当■
fX00时:
右侧f
X
0,
那么f
X0是极大值;
右侧f
X
0,
那么f
X0是极小值。
、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
9、同角三角函数的基本关系式:
sin2cos21,tan
cos
10、正弦、余弦的诱导公式
k
的正弦、余弦,等于的同名函数,前面加上把
看成锐角时该函数的符号;
11、sin(cos(
2
和角与差角公式
sin
的正弦、余弦,等于
的余名函数,前面加上把
看成锐角时该函数的符号。
tan(
cos
tan
coscoscosmsintan
o
sin;
sin
1mtantan
12、二倍角公式
sin2
cos2
2sincos;
2.2cossin
2tan
c2
2cos
12sin2
2cos21
cos2
21,cos
cos2;
2
公式变形.
(1)降幂公式2sin1
cos2
.21
cin
cos2;
oil1
2
2sincos
sin2
sincos
-sin2
tan2
2
1
cos2
1tan2°
(2)sin2
1cos2
13、三角函数的周期函数ysin(x
sin2
tan
的周期T
—;函数
0)的周期
14、函数
ysin(
15、辅助角公式:
16、正弦定理:
sinA
x€R及函数ycos(
ytan(x),x
)的周期、最值、
asinx
bcosx
sinB
sinC
x€
R(A,3,为常数,且AM0,
Z(A,3,为常数,且AM0,
单调区间、图象变换
a2b2sin(x
),其中tan
2R=—
sinA
sinBsinC
17、余弦定理
a2b2
cosA
c2
b2
2
2bccosA;b
22ca
;cosB2bc
2
c
2
a
a2
2
c
2ac
2cacosB;
—;cosC
c2
2,2
ab
2.2
ab
2ab
2abcosCo
2
c
o
>0)
3>
18、三角形面积公式
11
SabsinCbcsinA
22
19、三角形内角和定理
在厶ABC中,有ABC
-casinB。
2
(AB)。
20、a与b的数量积(或内积):
ab|a||b|cos
21、平面向量的坐标运算
uuuuuuUJU
(1)设A(Xi,^1),B(X2,y2),则ABOBOA(x?
“yYi)。
—*—►―►—p-
⑵设^(为,%),b=(X2,y2),则ab=xM2y”2。
(3)设a=(x,y),则aJx2y2。
22、两向量的夹角公式
abx.x2y.y2
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则cos帀,22f22
|a||b|WY1(X2Y2
23、向量的平行与垂直
—-—►—+
a//bbax1y2x2y10。
—F—F—Ff■*
ab(a0)ab0yy0。
灵犀一指:
涉及到平面向量问题时,可建坐标系将问题转化坐标借助函数、方程、不等式知识。
三、数列
24、数列的通项公式与前n项的和的关系
an
Sn
n1
Sn1,n
2(数列{an}的前n项的和为色
a1a?
L
25、等差数列的通项公式:
ana-i(n1)ddna1d(nN)。
26、等差数列其前n项和公式为
3d
n(a1an)
snna1
2
27、等比数列的通项公式
d21
n(印d)n。
22
an4qn1a1qn(nN*)。
q
28、等比数列前n项的和公式为
印(1q)q
4a1anqc
1,q
1
Sn1q
或Sn1q
。
na1,q1
nai,q1
灵犀一指:
(1)等差数列:
①
ananb二②Sn
An2
Bn等。
(2)等比数列:
①
anaqn:
②S.A
Aqn
等。
*数列重点考查内容:
(1)求数列的通项:
①公式法;②Sn法;③累加法、迭乘法;④构造法等。
(2)求数列的前n项和:
①公式法;②裂项相消法;③错位相减法;④分组求和法等。
四、不等式
29、已知x,y都是正数,则有x一-xy,当xy时等号成立。
,则当xy时和xy有最小值2p;
12y时积xy有最大值一s。
4
(1)若积xy是定值p
(2)若和xy是定值
s,则当x
*.拓展与补充:
(1)重要不等式:
a2
(2)均值不等式:
b22ab。
a2b2
,(当且仅当a=b时,取“=”
_b
2
、ab2(a,bR
11
ab
)。
(当且仅当a
b时,取
=)
五、解析几何
30、直线的五种方程
(1)
(2)
点斜式:
斜截式:
(3)
两点式:
(4)
截距式:
y
y
y
y2
x
yi
kx
般式:
aAx
y1
y
b
k(xxj(直线I过点R(X1,y1),且斜率为
b(b为直线I在y轴上的截距)°
xx1/
(y1y2)(只(知力)、卩2化,丫2)(人x?
))。
%
k)。
X2
1(a、
ByC
b分别为直线的横、纵截距,a、b0)。
(5)
31、两条直线的平行和垂直
若11:
yk1xbi,l2:
yk2xd°
①I1III2k1k2,bb2:
②11I2
32、平面两点间的距离公式
0(其中A、B不同时为0)。
kik21°
dA,BJ(X2X1)2(y2yj2"1kAB?
X2X1(其中A(x1,y1),B(x2,y2))。
33、点到直线的距离
d1Ax°By02C1(点p(Xo,yo),直线I:
AxByC0)。
AB
34、圆的三种方程
(1)
圆的标准方程
:
(x
a)2
(y
b)2
2
r;
(2)
圆的一般方程
2
:
X
2
y
Dx
Ey
F
22
0(DE4F>0);
(3)
圆的参数方程:
X
y
ab
rcosrsin
。
35、
直线与圆的位置关系
直线
AxByC
0与圆
(x
a)2
(y
b)2
r2的位置关系有三种:
d
r相离
0;
d
r
相切
0;dr相交
0。
AaBbC
弦长
=2Jr2d2,
其中d
JA2
B2
。
灵犀一指:
0的切线,切线长为
;Xo2
(2)
2
X
(x2
2
y0Dx0Ey0C;
当两圆相交时,两2
y
2
y
圆(两圆一般方程分别为
36、椭圆、
0)公共
22
(xy
双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、
D1xE1yC10和
程为
线的方
椭圆:
2
爲1(ab0),a2
b2
c2
双曲线:
2
X
-2
a
2
詁1(a>o,b>o),
c2
D2x
E2yC2)
几何性质
b2,离心率e
b,离心率
1,参数方程是
y
acos
。
bsin
e—1,渐近线方程是
a
抛物线:
2PX,焦点(号,0),准线
p
。
抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距
2
离。
37、双曲线的方程与渐近线方程的关系
2
y_
b2
(1)若双曲线方程为
2X~~2a
渐近线方程:
2X~~2a
2yb2
(2)若渐近线方程为
双曲线可设为
2
X
~2
a
2
⑶若双曲线与务
a
2yb20,焦点在y轴上)。
1有公共渐近线,可设为
2
X
2
a
2yb2
0,焦点在x轴上,
(1)过圆外一点(x0,yo)作圆x2y2DxEy
39、过抛物线焦点的弦长
AB
Xi
X2
-x1x2p。
2
*焦点三角形的面积公式:
(1)椭圆:
SPF1F2
b2tan(其中P为椭圆上任意
2
亠占
八、、:
F1PF2o)
⑵双曲线:
SPF1F2
b2
(其中P为双曲线上任意一
一占
八、、:
F1PF2o)
tan—
2
38、抛物线
y22px的焦半径公式
抛物线y2
2px(p
0)焦半径|PF|X。
p。
(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距
离。
)
*弦长公式:
ABV1k2
X2X1
1k2..(x2x1)2
4x2x1
六、立体几何
40、证明直线与直线平行的方法
(1)三角形中位线
(2)平行四边形(一组对边平行且相等)
41、证明直线与平面平行的方法
(1)直线与平面平行的判定定理(证平面外一条直线与平面内的一条直线平行)
(2)先证面面平行
42、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行)
43、证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
44、证明直线与平面垂直的方法
(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条相交直线垂直)
(2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面)
45、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与另一个平面垂直)
46、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=2rl,表面积=2rl2r2
圆椎侧面积=rl,表面积=rlr2
V柱体Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高)。
V锥体-Sh(S是锥体的底面积、h是锥体的高)
3
球的半径是R,则其体积V4R3,其表面积S4R2。
3
47、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算
48、点到平面距离的计算(定义法、等体积法)
49、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:
侧棱平行且相等,与底面垂直。
正棱锥的性质:
侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
平均数:
X
X1X2Xn
50、平均数、方差、标准差的计算
方差:
S2丄[(X1X)2(X2X)2(XnX)2]
n
标准差:
s
n[(x1
x)2
(X2x)2
(XnX)2]
51、回归直线方程
Xixyi
$abx,其中
—2
XiX
52、独立性检验:
K2
i1
bX
2
n(acbd)
n
Xiyinxy
i1
n
22。
Xinx
i1
(ab)(cd)(ac)(bd)
53、古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来,不
重复、不遗漏)。
八、复数
54、复数的除法运算
1
sinxx,x[0,],cosx0
3
1
3(X0[0,]),那么
①f(x)的最大值为f(x0):
②f(x)的最小值为
f(Xo):
③f(x)在[0,X。
]上是减函数;④f(x)
a
bi
(a
bi)(cdi)(ac
bd)(bcad)i
c
di
(c
di)(cdi)
cd2
55、
复数
z
abi的模|z|=|a
bi|=.a2b2。
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
cosx
56、,
siny
【同步范例】
2
tan
22
xy
x
。
0)
示例1:
(奇函数)
定义在
R上的以
3为周期的奇函数,且f
(2)0在区间(0,6)内整数解
的个数的最小值是(
)
A.2B.3
C.
4D.
5
听课笔记:
示例2:
已知性质M:
点P(x,y)满足5x7y,则下列命题正确的序号是
x
①点P(0,0)满足性质M②点P(lg5,lg7)满足性质M;③点P(x,y)满足12;
y
④所有满足性质M的点P(x,y)共线。
听课笔记:
在[x0,]]上是减函数。
听课笔记:
示例4:
(导数与函数含参分类讨论)(2010佛山市质检)已知函数f(x)x2axblnx(实
数a,b为常数)。
(I)若a1,b1,求函数f(x)的极值;
(n)若ab2,讨论函数f(x)的单调性。
听课笔记:
示例5:
(三角函数)已知函数f(x)
(I)求f(x)的最大值和最小值;
(II)若不等式f(x)m2在x
听课笔记:
2冗厂nn
2sinx.3cos2x,x—
442
nn
上恒成立,求实数m的取值范围。
42
1——-
示例6:
(平面向量)在ABC中,若BC4—cosB—,则ABAC的最小值为
2
听课笔记:
示例7:
(等差、等比数列的性质)
(1)在等差数列{an}中,已知Soo=10,So=100—贝ySio=
。
示例&(求数列的通项)求下列数列的通项公式:
(1)已知数列an满足a1=1,an1
an
3an1
an1
(2)已知数列an中,31=2,且」,则an=
(6)已知数列an满足a1=1,....an1、an
an1n1
(3)已知数列
an
满足a1=1,且an
an1
.n
-厂(n
1.n
2),则an=0
(4)
数列an
中,
a1=2,前n项和
Sn(MSn1
2)2(n
N*),则数列an的通项公式
是
0
(5)
已知数列
an
满足=1,an1
2an2,则
an=
o
anan1,贝Van=
听课笔记:
示例9:
(数列求和)
(1)求和:
1447
1
(3n2)(3n1)
(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2a46,S410。
(i)求数列{an}的通项公式;
(n)令bnan2n(nN),求数列{bn}的前项和Tn。
示例10:
(不等式)
(1)(2010年全国卷)已知函数f(x)Igx,若0ab且f(a)f(b),
则a2b的取值范围是()
(A)(22,)
(B)
[2、2,
)(C)(3,)(D)
[3,)
(2)(2012陕西卷
•文)
小王从甲地到乙地的往返时速分别为
a和b(a
时速为
)
A.aB.
v=..ab
C.、、abab
D.v=
2
2
听课笔记:
22
xy
示例11:
(圆锥曲线的定义)
(1)Fi、F2是椭圆孑+^2=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任一点,
过一焦点引/RPR的外角平分线的垂线,则垂足Q的轨迹为()
A.圆B•椭圆C•双曲线D•抛物线
(2)已知M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过MN与圆C相切的
两直线相交
于点
p,则
点P
的轨迹方
「程为(
)
2
2
A.x2
y
1(x
1)
B
2
.x
y
1(x
1)
8
8
C.x2
2
2
.x
2
y
1(x
0)
D
y
1(x
1)
8
10
(3)
ABC中,
,另一个顶点
B(-3,8),C(-1,-6
A在抛物线y2
4x上移动,则此三角
2
(2)已知双曲线
2x
y
1的焦点为F1、
2
轴的距离为(
)
4
A.兰B.
5
C
.二D.
3
3
3
听课笔记:
的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1
示例13:
(圆锥曲线大题---弦长、基本量)
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,
形重心G的轨迹方程为。
(4)已知圆的方程为x2y24,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,
则抛物线的焦点的轨迹方程为。
听课笔记:
22
Xy
示例12:
(圆锥曲线---焦点三角形)
(1)已知Fi、F2是椭圆21(a>b>0)
ab
PF2。
若PF1F2的面积为9,则b=。
LULUTuujur
直线yx1与椭圆交于P和Q,且OP
OQ,PQ
求椭圆方程。
F2,点M在双曲线上且MF1MF20,则点M到x
示例14:
(圆锥曲线大题---定值)如图,ADB为半圆,AB为半圆直径,0为半圆圆心,且0D丄AB,Q为线段0D的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
II)过点B的直线I与曲线C交于M、N两点,与0D所在直线交于E点,
uuuuUJITUULTuuu
EM,MB,EN2NB,求证:
2为定值。
下面命题中真命题的序号是。