1最值系列之将军饮马.docx
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1最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马
、什么是将军饮马？
问题引入】
【问题描述】如图，将军在图中点使得路程最短？
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：
将军怎么走能
B军营
将军A
问题简化】
如图，在直线上找一点
P使得PA+PB最小？
【问题分析】
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'P=A，所以PA+PB=PA'P+B
A'
当A'、P、B三点共线的时候，PA'P+B=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）
A端点
P折点
【思路概述】
作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
二、将军饮马模型系列
【一定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP'，'当P'、M、N、P'共'线时，△PMN周长最小．
【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为．
【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P'、P'，'化PM+PN+MN为P'N+MN+P'M'．
N
OP'，'可
Q关于
，四边形
B
N
P
A
O
M
P''
P
B
N
O
P''
两定两动之点点】
A
A
P'
M
P
M
Q
Q
B
B
O
O
N
定两动之点线】
A
A
M
P
B
B
O
PMNQ的周长最小。
在OA、OB上分别取点
M
N
Q'
得△OP'P'为'等边三角形，所以P'P''O=P'O=P=8
M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
P
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P
OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ'，当P'、M、N、Q'共线时
当P'、N、M、P'共'线时，得△PMN周长的最小值，
ON
即线段P'P'长'，连接OP
MA
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P'，将折线段PM+MN转化为P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
三、几何图形中的将军饮马
【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】1．正方形中的将军饮马
【关于对角线对称】如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，则△DMN
周长的最小值是
【假装不存在的正方形】
（2019·山东聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:
CB=1:
3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）
y
5588
A．（2,2）B．（，）C．（，）D．（3,3）
2233
分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P所在直线OA的对称：
也可以作点C的对称：
隐身的正方形】
2017·辽宁营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，
点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时，PC+PD最小，最小值为5，故选B．
2．三角形中的将军饮马
【等边系列】
如图，在等边△ABC中，AB=6，N为AB上一点且BN=2AN，BC的高线AD交BC于点D，
M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是
分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值．
过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7．
隐身的等边三角形】
如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN，M是
AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是．
分析】对称点并不一定总是在已知图形上．
【角分线系列之点点】
（2018·山东潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为（）
A．3【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C'在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C'E+EF，当C'、E、F共线时得最小值，C'F为CB的一半，故选C．
【角分线系列之点线】
（2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）
3．矩形、菱形中的将军饮马
【菱形高】
（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC的中点，P、M分别
是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是（）
当E、P、M'共线时，EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：
AC·BD/2=BC·EM'
折点在边上】
2017山东菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）
折点与面积】
A．213B．210C．35D．41
【分析】由SPAB1S矩形ABCD可作出P点轨迹为直线MN（AM=BN=2），作点B关于MN的
3矩形
对称点B'，化折线PA+PB为PA+PB'．
B'
当A、P、B'共线时，取到最小值，选A．
分别在矩形ABCD
）
全等与对称】
2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（
A．55
B．105
C．103
【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF最小值，此处关于AB对称点F'，则BF'B=F=DH=CM，∴MF'B=C=5，MH=DC=10，∴周长最小值为10倍根号5，故选B．
153
E为折点，作F
HF'为5倍根号5，
F'
5
四、特殊角的对称
【60°角的对称】
2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）
当P'、N、M、P'共'线时，得最小值，利用60°角翻倍得∠P'OP''=12，0°OP'O=P''O=P，可得最小值．
30°角的对称】
2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为．
x
分析】此处点P为折点，作点M关于OA的对称对称点M'如图所示，连接PM'，化PM+PN为PM'P+N．
x
当M'、P、N共线时，得最小值，又∠M'ON=60°且ON=2OM'，可得∠OM'N=90°，故P点坐标可求．
x
【20°角的对称】
如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=k（xk>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为．
x
分析】先考虑M为折点，作点P关于OM对称点P'，化AM+MP+PN为AM+MP'P+'N
x
此处P'为折点，作点N关于OP'对称点N'，化AM+MP'P+'N为AM+MP'P+'N'
x
当A、M、P、'N'共线且AN'⊥ON'时，值最小．
x
最值系列之——将军饮马
（二）
【将军过桥】
已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：
桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A'位置．
问题化为求A'N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】
【将军过两个桥】
已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：
桥建在何处能使路程最短？
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．
【将军遛马】
如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？
【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．
构造点A关于MN的对称点A'，'连接A'B'，可依次确定N、M位置，可得路线．
【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为．
x
【分析】考虑PQ、AE为定值，故只要AP+QE最小即可，如图，将AP平移至A'Q，考虑A'Q+QE最小值．
x
P点．
作点A'关于x轴的对称点A'，'连接A'E'，与x轴交点即为Q点，左移2个单位即得
【练习】如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值．
【分析】此题难点在于要得到AF与CE之间的关系，方能将这两条线段联系到一起．过点E作EH⊥CD交CD于H点，由相似可得：
FH=1．
连接BH，则BH=CE
问题转化为BH+AF最小值．
参考将军遛马的作法，作出图形，得出AF+BH=A'H+B'H=A'B'=．5
A'
B'
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