离散数学必备知识点总结讲解.docx
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离散数学必备知识点总结讲解
总结离散数学知识点
第二章命题逻辑
1.前键为真，后键为假才为假；＜—＞，相同为真，不同为假；
2•主析取范式：
极小项（m）之和；主合取范式：
极大项（M）之积；
3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0,求极大项时相反；
4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；
5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写;
6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；
7.n个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为（0~2n-1）刚好为化简完后的主析取加主合取；
8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；
9.推证蕴含式的方法（=＞）:
真值表法；分析法（假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假）
10.命题逻辑的推理演算方法：
P规则，T规则
1真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；
第三章谓词逻辑
1.一元谓词：
谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；
多元谓词：
谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2.全称量词用蕴含T,存在量词用合取“；
3•既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词;
第四章集合
1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0;
2.基：
集合A中不同元素的个数，|A|;
3.幕集：
给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合，P（A）;
4.若集合A有n个元素，幕集P（A）有2°个元素，|P（A）|=2|A|=2n;
5.集合的分划：
（等价关系）
1每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；
2这几个子集相交为空，相并为全（A）;
6.集合的分划与覆盖的比较：
分划：
每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；
覆盖：
只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；
第五章关系
1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔AXB的基数为mn,A到B上可以定义2mn种不同的关系；
2.若集合A有n个元素，则|AX\|=n2,A上有2“个不同的关系；
3.全关系的性质：
自反性，对称性，传递性；
空关系的性质：
反自反性，反对称性，传递性;
全圭寸闭环的性质：
自反性，对称性，反对称性，传递性;
4.前域（domR）:
所有元素x组成的集合；
后域（ranR）：
所有元素y组成的集合；
5.自反闭包：
r（R）=RUIx;
对称闭包：
s（R）=RUR-1;
传递闭包：
t（R）=RUR2UR3U……
6.等价关系：
集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；
7.偏序关系：
集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；
8.covA二｛|x,y属于A,y盖住x｝；
9.极小元：
集合A中没有比它更小的元素（若存在可能不唯一）；极大元：
集合A中没有比它更大的元素（若存在可能不唯一）；最小元：
比集合A中任何其他元素都小（若存在就一定唯一）；最大元：
比集合A中任何其他元素都大（若存在就一定唯一）；
10.前提：
B是A的子集
上界：
A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界（若存在，可能不唯一）；
下界：
A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界（若存在，可能不唯一）；
上确界：
最小的上界（若存在就一定唯一）；
下确界：
最大的下界（若存在就一定唯一）；
第六章函数
1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有2mn种不同的关系，有nm种不同的函数；
2.在一个有n个元素的集合上，可以有2n2种不同的关系，有nn种不同的函数，有n!
种不同的双射；
3.若|X|=m,|Y|=n，且m＜二n，则从X到Y有a；种不同的单射；
4.单射：
f:
X-Y，对任意x「x2属于X,且xi#x2，若f（xj彳化）;
满射：
f:
X-Y,对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；
双射：
f:
X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；
5.复合函数：
fog=g（f（x））;
6.设函数f:
A-B,g:
B-C，那么
1如果f,g都是单射，则fog也是单射；
2如果f,g都是满射，则fog也是满射；
3如果f,g都是双射，则fog也是双射；
4如果fog是双射，则f是单射，g是满射；
第七章代数系统
1.二元运算：
集合A上的二元运算就是A2到A的映射；
2.集合A上可定义的二元运算个数就是从AXA到A上的映射的个数,即从从AXA到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的
个数为22*2=24=16种；
3.判断二元运算的性质方法:
1封闭性：
运算表内只有所给元素；
2交换律：
主对角线两边元素对称相等；
3幕等律：
主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；
4有幺元：
元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；
5有零元：
元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；
4.同态映射：
,vB,心，满足f（a*b）二f（aFf（b）,则f为由到
的同态映射；若f是双射，则称为同构；
第八章群
1•广群的性质：
封闭性；
半群的性质：
封闭性，结合律；
含幺半群（独异点）:
封闭性，结合律，有幺元；
群的性质：
封闭性，结合律，有幺元，有逆元；
2.群没有零元；
3.阿贝尔群（交换群）:
封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；
4.循环群中幺元不能是生成元；
5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；
第十章格与布尔代数
1.格：
偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界;
2.格的基本性质：
1）自反性
aa>a
2）反对称性
aa=>a=b
对偶:
a>b八ba=b
3）传递性
aa对偶:
a>b八b>c=>a>c
4）最大下界描述之一
aAba
AAbb
5）最大下界描述之二
cc对偶c>a,c》b=>c》avb
6）结合律
aA（bAc）=（aAbFc
对偶av（bvc）=（avb）vc
7）等幕律
aAa=a对偶ava=a
8）吸收律
aA（avb）=a
对偶av（aAb）二a
9）
a
aAb=aavb=b
10）
a=>aAb11）
保序性
b
aAb12）
分配不等式
av（bAc）<（avb）八（avc）
对偶aA（bvc）>（aAb）v（aAc）
13）模不等式
aav（bAc）<（avb^c
3.分配格：
满足aA（bvc）=（aAb）v（aAc）和av（bAc）=（avb）A（avc）;
4.分配格的充要条件：
该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；
5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；
6.全上界：
集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；（若存在则唯一）
全下界：
集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，
则称b为格的全下界，记为0;（若存在则唯一）
7.有界格：
有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；
8.补元：
在有界格内，如果aAb=0,avb=1，则a和b互为补元；
9.有补格：
在有界格内，每个元素都至少有一个补元；
10.有补分配格（布尔格）：
既是有补格，又是分配格；
11.布尔代数：
一个有补分配格称为布尔代数;
第十一章图论
1.邻接：
两点之间有边连接，贝y点与点邻接；
2.关联：
两点之间有边连接，则这两点与边关联；
3•平凡图：
只有一个孤立点构成的图；
4.简单图：
不含平行边和环的图；
5.无向完全图：
n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图：
n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；
6.无向完全图有n（n-1）/2条边，有向完全图有n（n-1）条边；
7.r-正则图：
每个节点度数均为r的图；
8.握手定理：
节点度数的总和等于边的两倍；
9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；
10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；
11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；
12.可达：
对于图中的两个节点v「Vj，若存在连接Vi到比的路，则称Vi与Vj相互可达，也称Vi与Vj是连通的；在有向图中，若存在Vi到Vj的路，则称Vi到Vj可达；
13.强连通：
有向图章任意两节点相互可达；
单向连通：
图中两节点至少有一个方向可达;
弱连通：
无向图的连通；（弱连通必定是单向连通）
14.点割集：
删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，贝S这些点组成的集合称为点割集；
割点：
如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；
15.关联矩阵：
M（G）,mj是m与ej关联的次数，节点为行，边为列；无向图：
点与边无关系关联数为0,有关系为1，有环为2；有向图：
点与边无关系关联数为0,有关系起点为1终点为-1,关联矩阵的特点：
无向图：
1行：
每个节点关联的边，即节点的度；
2列：
每条边关联的节点；
有向图：
3所有的入度
（1）=所有的出度（0）；
16.邻接矩阵：
A（G）,aj是w邻接到Vj的边的数目，点为行，点为列;
17.可达矩阵：
P（G），至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；
P（G）=A（G）+A2（G）+A3（G）+A4（G）
可达矩阵的特点：
表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；
A（G）中所有数的和：
表示图中路径长度为1的通路条数；
A2（G）中所有数的和：
表示图中路径长度为2的通路条数；
a3（G）中所有数的和：
表示图中路径长度为3的通路条数；
A4（G）中所有数的和：
表示图中路径长度为4的通路条数；
P（G）中主对角线所有数的和：
表示图中的回路条数；
18.布尔矩阵：
B（G），w到Vj有路为1，无路则为0,点为行，点为列;
19.代价矩阵：
邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；
20.生成树：
只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；
21.构造生成树的两种方法：
深度优先；广度优先；
深度优先：
1选定起始点V0；
2选择一个与V。
邻接且未被访问过的节点V1；
3从W出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所
有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；
广度优先：
1选定起始点V。
；
2访问与V0邻接的所有节点V1,V2,,Vk,这些作为第一层节点；
3在第一层节点中选定一个节点V1为起点；
4重复②③，直到所有节点都被访问过一次；
22.最小生成树：
具有最小权值（T）的生成树；
23.构造最小生成树的三种方法：
克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法;
（1）克鲁斯卡尔方法
1将所有权值按从小到大排列；
2先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；
3再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满
足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；
4重复③，直到所有节点都被访问过一次；
（2）管梅谷算法（破圈法）
1在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；
2在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；
3重复②，直到所有节点都被访问过一次；
（3）普利姆算法
1在图中任取一点为起点Vi，连接边值最小的邻接点v2；
2以邻接点V2为起点，找到V2邻接的最小边值，如果最小边值
比Vi邻接的所有边值都小（除已连接的边值），直接连接，否则退回Vi，连接Vi现在的最小边值（除已连接的边值）；
3重复操作，直到所有节点都被访问过一次；
24.关键路径
例2求PERT图中各顶点的最早完成时间，最晚完成时间，缓冲时间及关键路径.
解：
最早完成时间
TE（vi）=O
TE（v2）=max{0+1}=1
TE（v3）=max{0+2,1+0}=2
TE（v4）=max{0+3,2+2}=4
TE（v5）=max{1+3,4+4}=8
TE（v6）=max{2+4,8+1}=9
TE（v7）=max{1+4,2+4}=6
TE（v8）=max{9+1,6+6}=12
最晚完成时间
TL（v8）=12
TL（v7）=min{12-6}=6
TL（v6）=min{12-1}=11
TL（v5）=min{11-1}=10
TL（v4）=min{10-4}=6
TL（v3）=min{6-2,11-4,6-4}=2
TL（v2）=min{2-0,10-3,6-4}=2
TL（v1）=min{2-1,2-2,6-3}=0
缓冲时间
TS（v1）=0-0=0
TS（v2）=2-仁1
TS（v3）=2-2=0
TS（v4）=6-4=2
TS（v5=10-8=2
TS（v6）=11-9=2
TS（v7）=6-6=0
TS（v8）=12-12=0
关键路径：
v1-v3-v7-v8
Vi
r2
25.欧拉路：
经过图中每条边一次且仅一次的通路；
欧拉回路：
经过图中每条边一次且仅一次的回路；
欧拉图：
具有欧拉回路的图；
单向欧拉路：
经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；
欧拉单向回路：
经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；
26.
（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：
①连通图；②有0个或2个奇数度节点；
（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：
①连通图；②所有节点度数均为偶数；
（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：
1除两个节点外，每个节点入度二出度；
2这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入;
度比出度少1;
（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：
图中每个节点的出度二入度；
27.哈密顿路：
经过图中每个节点一次且仅一次的通路；
哈密顿回路：
经过图中每个节点一次且仅一次的回路；
哈密顿图：
具有哈密顿回路的图；
28.判定哈密顿图（没有充要条件）
必要条件：
任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；
充分条件：
图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；
29.哈密顿图的应用：
安排圆桌会议；
方法：
将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连
接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路（哈密顿图），即可；
30.平面图：
将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是
平面图；
31.面次：
面的边界回路长度称为该面的次；
32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；
33.欧拉定理：
假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则
v-e+r=2；
34.判断是平面图的必要条件：
（若不满足，就一定不是平面图）
设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则ev=3v-6；
35.同胚：
对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36•判断G是平面图的充要条件：
图G不含同胚于K3.3或K5的子图；
37.二部图：
①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；
②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；
完全二部图：
二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：
图中每条回路经过边的条数均为偶数；
38.树：
具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；
39.节点的层数：
从树根到该节点经过的边的条数；
40.树高：
层数最大的顶点的层数；
41.二叉树：
1二叉树额基本结构状态有5种；
2二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；
3二叉树内树叶的节点度数为0,而树内树叶节点度数为1；
4二叉树内节点的度数二边的总数（只算出度）；握手定理“节点数二边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；
5二叉树内节点的总数二边的总数+1；
6位于二叉树第k层上的节点，最多有2心个（k>=1）；
7深度为k的二叉树的节点总数最多为2k-1个，最少k个（k>=1）；
8如果有no个叶子，n2个2度节点，则no=匕+1；
42.二叉树的节点遍历方法：
先根顺序（DLR）;
中根顺序（LDR）;
后根顺序（LRD）;
43.哈夫曼树：
用哈夫曼算法构造的最优二叉树；
44.最优二叉树的构造方法：
1将给定的权值按从小到大排序；
2取两个最小值分支点的左右子树（左小右大），去掉已选的
这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；
3重复②，直达所有权值构造完毕；
45.哈夫曼编码：
在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1
代替所有边的权值；
每个节点的编码：
从根到该节点经过的0和1组成的一排编码;
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