数值计算课件第四章插值与拟合.ppt

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第四章插值与曲线拟合一插值与曲线拟合问题二拉格朗日插值三牛顿插值四曲线拟合的最小二乘法小结插值问题的提出在许多工程实际问题中，常有如下情况：

函数关系没有明显的解析表达式，只有实验观测来确定与自变量的某些相对应的函数值；函数虽然有解析表达式，但是使用很不方便。

对上述问题中的函数建立一个简单的便于计算和处理的近似表达式，即用一个简单的函数来近似代替这些不便处理的函数插值函数。

4插值与曲线拟合拟合问题的提出实际问题中通过测量得到的数据比较多，而且这些数据本身含有一定误差，根据这些数据求取近似函数的方法是曲线拟合。

插值要求找到的近似函数的曲线通过所有的数据点。

曲线拟合不要求近似函数的曲线通过所有数据，只要求该曲线能反映数据变化的基本趋势。

拟合的主要目的是：

去掉测量数据所含的测量误差。

插值与拟合的区别4.1插值问题的数学提法当精确函数y=f（x）非常复杂或未知时，在一系列节点x0xn处测得函数值y0=f（x0）,yn=f（xn），由此构造一个简单易算的近似函数P（x）f（x），满足条件：

P（xi）=f（xi）（i=0,n）。

这里的P（x）称为f（x）的插值函数，称为插值节点。

所以所谓插值就是根据已知点的函数值求其余点的函数值。

nxxx,104.1插值问题的数学提法已知a,b上的函数y=f（x）在n+1个互异点处的函数值:

fnf2f1f0f（x）xnx2x1x0x求简单函数Pn（x），使得（）0,1,（）,*iiPxfin=LLL计算f（x）可通过计算P（x）来近似代替。

如下图所示。

x0x1x2x3x4xP（x）f（x）这就是插值问题,（*）式为插值条件,（）（）Pxfx称函数为函数的插值函数01,nxxxL,称为插值节点由于插值函数的选择不同，就产生不同类型的插值。

若为代数多项式，就是代数插值，若为三角多项式就称为三角多项式插值，若为有理函数就称为有理函数插值。

由于代数多项式结构简单，本章主要介绍代数多项式插值问题。

xPxPxPxP2.满足插值条件的多项式P（x）是否存在且唯一？

3.用P（x）代替f（x）的误差估计，即截断误差的估计；对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题：

4.当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于f（x）。

1.如何构造出插值多项式P（x）;即插值多项式的常用构造方法有哪些？

4.2拉格朗日插值可见P（x）是过（x0,y0）和（x1,y1）两点的直线。

这种插值称为线性插值，显然在节点上插值误差为0。

）（）（001010xxxxyyyxP101xxxx010xxxx=y0+y1l0（x）l1（x）1.线性插值（两点插值）已知函数在节点有函值，求作一次多项式xaaxP10）（使得1100）（,）（yxPyxPxfy10,xx11xfy00xfy于是线性插值函可以表示为函数值与基于是线性插值函可以表示为函数值与基函数的线性组合函数的线性组合10,yy1100yxlyxlxPxl0xl1与称为称为线性插值基函数线性插值基函数。

它有如下性质：

。

它有如下性质：

1,00,111011000xlxlxlxl0,（）（0,1,）1,ijjilxjnjiLL即：

019141（）（9）,（）（4）495945xxlxxlxx所以1137（7）2.65L01,4,9,yxxx7例1已知用线性插值求近似值。

012,3,yy基函数分别为:

解1001111（）（）（）2（9）3（4）55Lxylxylxxx插值多项式为23（9）（4）55xx1（6）5x2.2.抛物线插值（三点二次插值）抛物线插值（三点二次插值）已知在节点上的函数值，已知在节点上的函数值，求二次多项式，使之满足求二次多项式，使之满足根据要满足的三个条件，确定三个未知数，根据要满足的三个条件，确定三个未知数，因此可采用待定系数法。

即因此可采用待定系数法。

即xfy210,xxx210,yyy2210xaxaaxP2,1,0,iyxPii210,aaa222210221211012020100xaxaayxaxaayxaxaay为避免解线性方程组，下面仿线性插值，为避免解线性方程组，下面仿线性插值，用基函数的方法求解方程组。

用基函数的方法求解方程组。

设方程组满足条件的方程为设方程组满足条件的方程为2,1,0,iyxPii221100yxlyxlyxlxP其中基函数应满足其中基函数应满足:

100l2（x）010l1（x）001l0（x）x2x1x0x以为例说明基函数的求取方法，当取，时，为0，取时，因此其中可用求出，xl0x1x2xxl0x0x10xl210xxxxAxlA10xl20101xxxxA2101201xxxxxxxxxl1202102xxxxxxxxxl同理2010210xxxxxxxxxl所以212021012101200201021yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxP抛物线插值是三个二次式的线性组合，是抛物线插值是三个二次式的线性组合，是xx的（不高于）二次式，在节点上插值多项式的值的（不高于）二次式，在节点上插值多项式的值和已知函数值相等和已知函数值相等。

设函数在区间上设函数在区间上有节点上的函数值，构造一个有节点上的函数值，构造一个次数不超过次的代数多项式次数不超过次的代数多项式，使。

即，使。

即次代数插值满足在个节点上插值多项式次代数插值满足在个节点上插值多项式和被插值函数相等，而且插值多项式和被插值函数相等，而且插值多项式的次数不超过次。

的次数不超过次。

xfyba,nxxx,10n0111axaxaxaxPnnnnniyxPii,1,0,n1nxPxfn3.3.nn次代数插值次代数插值这样的插值多项式能构造出来吗？

唯一吗？

插值多项式的存在性和唯一性定理证：

设所求的插值多项式为P（x）=a0+a1x+a2x2+.+anxn则由插值条件式Pn（xi）=yi（i=0,1,.,n）可得关于系数a0,a1,an的线性代数方程组设节点xi（i=0,1,n）互异,则满足插值条件P（xi）=yi的n次多项式P（x）=a0+a1x+a2x2+.+anxn存在且唯一.定理nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程组有n+1个方程,n+1个未知数,其系数行列式是范德蒙行列式，即：

nnnnnnxxxxxxxxx212110200111由于插值节点xi互不相同,所有因子xj-xi0,所以上述行列式不等于零,故由克莱姆法则知方程组的解存在且唯一.即满足条件式的n次多项式存在且唯一。

证毕。

0110niijjixx反证：

若不唯一，则除了P（x）外还有另一n阶多项式Q（x）满足Q（xi）=yi。

考察则S的阶数,）（）（）（xQxPxSn而S（x）有个不同的根n+1x0xn矛盾只有只有S（x）0,所以P（x）Q（x）唯一性说明不论用哪种方法构造的插值多项式，只要满足同样的插值条件，其结果都是互相恒等的。

4.4.拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式要求n阶插值多项式，可以通过求方程组的解得到。

但由于解线性代数方程组的计算量比较大，构造插值多项式时，仍用基函数构造。

希望能找到满足以下条件的n次多项式li（x）0,（）（0,1,）1,ijjilxjnjiLL然后令iniiyxlxP）（）（0，则显然有P（xi）=yi。

基函数的构造）（）（）（）（110niiixxxxxxxxAxl其中A为常数,由li（xi）=1可得）（）（）（1110niiiiiixxxxxxxxA称之为拉格朗日基函数。

0110110（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（0,1,）（）iiniiiiiiinnjjijjixxxxxxxxlxxxxxxxxxxxinxxLLLLLLLLLLli（x）除xi点外,其余xj都是li（x）的根，可设与有关，而与无关节点f拉格朗日插值多项式特别地,当n=1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.当n=2时又叫抛物插值,其几何意义为过三点的抛物线.利用拉格朗日基函数式li（x）,构造多项式可知其满足,称为拉格朗日插值多项式。

iniiyxlxP）（）（0Pn（xi）=yi（i=0,1,.,n）应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关。

5插值余项截断误差R（x）=f（x）-P（x）也称为插值多项式的余项。

以下为拉格朗日余项定理。

定理设f（x）在区间a,b上存在n+1阶导数,xia,b（i=0,1,n）为n+1个互异节点,则对任何xa,b,有（,）ab且与x有关）xnfxPxfxRn!

11,0niixxx其中其中注意这里是对t求导证明：

考察截断误差）（）（）（xPxfxRRollesTheorem:

若充分光滑，则存在使得。

）（x0）（）（10xx）,（10xx0）（推广：

若0）（）（）（210xxx）,（）,（211100xxxx使得0）（）（10）,（10使得0）（0）（）（0nxx存在）,（ba使得0）（）（nR（x）至少有个根n+1niixxxKxR0）（）（）（任意固定xxi（i=0,n）,构造niixtxKtRt0）（）（）（）（t）有n+2个不同的根x0xnx）,（,0）（）1（baxxn!

）1（）（）（）1（nxKRxn!

）1）（）（）（）1（）1（nxKPfxnxn!

）1（）（）（）1（nfxKxnniixnxxnfxR0）1（）（!

）1（）（）（0=证毕证毕常用余项定理研究常用余项定理研究插值的误差估计插值的误差估计。

0（）（）niiiPxlxf=其中其中0（）（）（）njijijjixxlxxx=-=-Lagrange插值公式的标准型公式:

插值余项：

（1）0（）（）（）

（1）!

nnxiifRxxxnxx+=-=-+线性插值，余项，线性插值，余项，其中：

其中：

对求极值：

得为极小值。

对求极值：

得为极小值。

即即取，则。

取，则。

取绝对值：

，则：

取绝对值：

，则：

所以其中：

所以其中：

1nxfxR2210xxxxxx010xxxxx210xxx2011041xxxxxx10,xxx010xxxx2011041xxxxxx102xxxxfxR20128xxMxRxfMxxx210max用余项定理求用余项定理求线性插值线性插值余项及其估计式。

余项及其估计式。

nn次插值次插值余项及其估计式。

余项及其估计式。

）,（,）（max）!

1（）（01baxxxnMxRniibxanxfMnbxan）1（1max其中15.1425.005.02xx,1）（xxf，节点4,5.2,2210xxx）（xf求求的抛物插值多项式,且计算f（3）的近似值并估计误差。

例设25.0）4（,4.0）5.2（,5.0）2（210fyfyfy解）45.2）（25.2（）4）（2（4.0）42）（5.22（）4）（5.2（5.0）（2xxxxxL）5.24）（24（）5.2）（2（25.0xx插值为多项式于是325.0）3（2xLf因为83）2（）（max,64,24fxfxxfx可得03125.0）43）（5.23）（23（8361）3（）3（）3（22LfR

（1）0（）（）（）

（1）!

nnxiifRxxxnxx+=-=-+误差估计例：

已知233sin,214sin,216sin分别利用sinx的1次