湖北中职技能高考数学知识总汇上.docx

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湖北中职技能高考数学知识总汇上

实用文档

标准文案湖北技能高考数学基础知识总汇（上）

预备知识：

1.完全平方和（差）公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

2.平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）

3.立方和（差）公式：

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3±b3=（a-b）（a2±ab+b2）4.韦达定理：

；

;求根公式：

。

第一章集合与简易逻辑

一．集合

1、集合的有关概念和运算

（1）集合的特性：

确定性、互异性和无序性；

（2）元素a和集合A之间的关系：

a∈A，或a?

A；

（3）常用数集及其符号：

自然数集N、整数集Z、正整数集、有理数集Q、实数集R。

（4）集合的表示方法：

列举法、描述法、图示法。

2、子集定义：

A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集；记作：

B，

注意：

B时，A有以下可能：

A＝φ、A=B、A的元素比B少且A的元素都属于B。

3、真子集定义：

A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A；记作：

B。

4、补集定义：

，且。

5、交集与并集：

交集：

}|{BxAxxBA?

且?

；并集：

}|{BxAxxBA?

或?

6、集合中元素的个数的计算：

若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为

）个，所有真子集的个数是（

）个，所有非空真子集的个数是

个。

二．简易逻辑：

充分条件与必要条件：

若qp?

，则p叫q的充分条件；

若qp?

，则p叫q的必要条件；

若qp?

，则p叫q的充要条件；

第二章不等式

一、不等式的基本性质：

1.特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

2.中间值比较法：

先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小。

3.实数大小的基本性质:

4.不等式的性质：

（1）传递性：

且则。

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标准文案

（2）加法性质：

则，且无论的正负。

（3）乘法性质：

①则、

；②则、

。

（4）作差法比较两数（或两式）的大小或证明不等式成立：

作差→变形（通分、配方、分解因式等→判断符号。

也可以求比来比较大小。

二．均值定理：

1.内容：

两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

即：

若0,?

，则abba?

2（当且仅当ba?

时取等号）

基本变形：

①）,（2?

Rbaabba（当且仅当ba?

时取等号）；②若Rba?

，则abba222?

。

三、区间的概念：

区间、区间的端点、开区间、闭区间、半开半闭区间、无（有）限区间以及它们的数轴表示。

如{x|x≥-1}∩{x|x<3}=[-1，3）可表示为：

四、绝对值不等式：

（1）

（2）①（。

小于取中间

②（或。

大于取两边

（3）、则且。

五、一元一次不等式的解法：

依据不等式性质：

去分母、去括号、移项、合并同类项将其化为或或的形式求解；

一元一次不等式组的解则是各不等式解的交集。

六、一元二次不等式的图解法：

（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）

判别式：

△=b2-4ac

二次函数

）0（）（2?

acbxaxxf

x1yx1=x2

一元二次方程

）0（02?

acbxax的根

有两相异实数根

）（,2121xxxx?

有两相等实数根

abxx221?

没有实数根

一元二次不等式

）0（02?

acbxax的解集

},|{21xxxxx?

“＞”取两边}2|{abxx?

一元二次不等式

）0（02?

acbxax的解集

}|{21xxxx?

“＜”取中间?

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标准文案注意：

①带等于号的情况；②先化为a＞0的形式；③若的解集为，则a＞0且△＜0。

若的解集为，则a＜0且△＜0。

七、分式不等式的解法：

通解变形为整式不等式；

（1）?

0）（）（xgxff（x）>0且g（x）>0或f（x）<0且g（x）<0即f（x）g（x）>0；

（2）

且或且即。

且。

第三章函数

1、定义：

设A，B

是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：

A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），

2、函数的三要素：

定义域，值域，对应法则；两个函数相同，则定义域、对应法则要相同，最终值域也相同。

3、函数的表示方法：

解析法、列表法、图象法。

4、求定义域的一般方法：

①整式：

全体实数R；②分式：

分母0?

；③0次幂：

底数0?

；

④偶次根式：

被开方式0?

，例：

225xy?

；⑤对数：

真数0?

，例：

）11（logxya?

⑥正切函数：

；⑦指数函数、对数函数：

底数（a>0且a≠1）；⑧其他实际要求：

例如三角形的内角0<α<、人的个数、工件个数、工作天数等x∈N。

5、求值域的一般方法：

①图象观察法：

；②单调函数法：

]3,31[）,13（log2?

xxy

③二次函数配方法：

）5,1[,42?

xxxy，

222?

xxy

6、求函数解析式f（x）的一般方法：

①待定系数法：

把已知点（x,y）值代入f（x）=ax+b或f（x）=解析式中求解。

②奇偶性法：

f（x）是左路函数，且在（0，+∞）上解析式是f（x）=x-2，则在（-∞，0）上解析式是f（x）=x+27、函数的单调性：

（1）定义：

区间D上任意两个值21,xx，若21xx?

时有）（）（21xfxf?

，称）（xf为D上增函数；

若21xx?

时有）（）（21xfxf?

，称）（xf为D上减函数。

（一致为增，不同为减）

（2）区间D叫函数）（xf的单调区间，单调区间包含于定义域；

（3）证明函数单调性的方法：

在定义域上取21xx?

，作差法（）比较大小。

（4）一次函数a>0时是增函数，反之是减函数；二次函数a>0时在对称轴左边是减函数，右边是增函数，a<0时则反之。

8、奇偶性：

定义域一定关于原点对称，比较f（x）与f（-x）

的关系；要会用奇偶性比较大小。

实用文档

标准文案f（x）-f（-x）=0?

f（x）=f（-x）?

f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称；

f（x）+f（-x）=0?

f（x）=－f（-x）?

f（x）为奇函数，其图象关于原点对称。

9、周期性：

若函数f（x）对定义域内的任意x满足：

f（x+T）=f（x），则T为函数f（x）的周期。

正

弦、余弦函数周期为2，正切函数周期为。

10、函数图像变换：

（1）平移变换y=f（x）→y=f（x+a）,y=f（x）+b；

（2）法则：

加左减右，加上减下；（3）还可

以通过特殊值法，描点定性作出函数图象，分析其单调性、奇偶性等。

11、分段函数：

在实际应用问题中常涉及：

水费、电费、商品售价优惠等。

不同区间上解析式不相同，但整体是一个函数。

注意每段定义域的端点是否包含。

12、二次函数：

（1）二次函数的三种解析式

①一般式：

（a≠0

）;

②顶点式：

（a≠0），其中（k,h

）为顶点;

③两根式：

（a≠0），其中x1,x2是f（x）=0的两根

（2）图像与性质：

二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：

开口：

a>0开口向上a<0开口向下

对称轴：

顶点坐标：

与x轴的交点：

有两交点有一交点无交点

④根与系数的关系：

（韦达定理）

⑤为偶函数的充要条件为b=0

⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0，用于解二次不等式）

图象位于x轴上方；图象位于x轴下方。

⑦若二次函数对任意x都有，则其对称轴是

x=t。

第四章指数函数与对数函数

1.根式与实数指数幂：

（1）n次根式：

如果xn=a（n>1,且n∈N*），则称x是a的n次方根。

①0的n次实数方根等于0，即。

②若n是奇数，则a的n次实数方根记作：

。

③若n是偶数，且a>0，则a的n次实数方根为，其中

叫做a的n次算术根。

（2）根式的性质：

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标准文案①。

②

（a≥0）。

③当n为奇数时，

；当n

为偶数时，?

）0（）0（||aaaaaann。

（3）

分数指数幂：

①正分数指数幂：

nmnmaa?

；负分数指数幂：

nmnmaa1?

②③

且

（4）实数指数幂运算法则：

①;②;③;④;⑤

。

2.对数及其运算法则：

（1）定义：

如果）1,0（?

aaNab，则。

以10为底叫常用对数，记为lgN，以e=2.7182828…为底叫自然对数，记为lnN

（2）性质：

①负数和零没有对数，②1的对数等于0：

01log?

a，③底的对数等于1：

1log?

aa，④积的对数：

NMMNaaaloglog）（log?

，

商的对数：

NMNMaaalogloglog?

，

幂的对数：

MnManaloglog?

，

方根的对数：

MnManalog1log?

，

指数和对数：

（a>0,a≠1），（a>0,a≠1）。

（3）换底公式：

（a,b,N>0,a,b≠1）。

3.幂函数的图象和性质：

图像

定义域RRR[0,+∞）x≠0（0,+∞）值域R[0,+∞）R[0,+∞）y≠0

（0,+∞）单调性增先减后增增增减先增后减

奇偶性奇偶奇无奇偶

过定点（0，0）和（1，1）（1，1）

象限1，3

1，2

1，3

1，2

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标准文案

函数

指数函数

对数函数

定义

xay?

（10?

aa且）

xyalog?

（10?

aa且）

图象

a>1

1yO

1y=ax

y=logax

性

质

定义域

（-∞，+∞）

（0，+∞）

值域

（0，+∞）

（-∞，+∞）

单调性

增函数

减函数

增函数

减函数

函数值变化

0,10,10,1xxxax

10,01,01,0logxxxxa

图

象

定点

10a?

过定点（0，1）

01loga?

过定点（1，0）

特征

0xa?

图象在x轴上方

0x图象在y轴右边

图象

关系

xay?

的图象与xyalog?

的图象关于直线xy?

对称

的图象与的图象关于y轴对称，例与

。

4.指数函数和对数函数的图象性质：

5.幂函数（和指数函数的特征都可归纳为：

“因变量、自变量的系数都为1，只有一项”。

即等式左右两边都只有一项且系数都为1。

6.函数的应用：

一次函数、二次函数、分段函数用来解决水费、电费问题，商品优惠问题，一般先列出相应解析式，确定定义域，再计算相应函数值并求解最值。

指数函数、对数函数一般用于处理增长率问题、利息问题，先按通式，再取常用对数求解，它跟等比数列还可以发生联系，比如房贷问题。

第五章三角函数

1、角的定义：

①概念：

角、始边、终边、顶点、正角、负角、零角、象限角、界限角。

②终边相同的角：

与?

终边相同的角的集合为{Zkk?

360|?

}，一般:

°α

°。

处理方法是：

去整留零。

2、弧度制：

（1）定义：

等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

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标准文案

（2）度数与弧度数的换算：

180弧度，＝

弧度180（）?

（3）弧长公式：

rl||?

（?

是角的弧度数）

扇形面积：

2||2121rlrS?

3、任意角的三角函数：

（如图）

4、同角三角函数基本关系式

（１）平方关系,（２）商数关系,（３）倒数关系：

1cossin22?

αα

（αα）＝αα

cossintan?

ααα用于弦化切、切化弦。

5、诱导公式（理解记忆方法：

把α“看成锐角”，则-α、°+α、°-α分别是第四、第三、第二象限角，再确定其符号。

三角函数的形式不变。

）

公式一：

tan）360tan（cos）360cos（sin）360sin（?

kkk

公式二：

公式三：

公式四：

（奇偶性）

tan）180tan（cos）180cos（sin）180sin（?

tan）tan（cos）cos（sin）sin（?

6、三角函数值的符号：

一全正、二正弦、三正切、四余弦。

函数

定义域

值域

周期性

奇偶性

递增区间

递减区间

xysin?

Rx?

[-1，1]

奇函数

kk22,22

kk223,22

xycos?

Rx?

[-1，1]

偶函数

kk2,）12（?

）12（,2?

xytan?

}2|{?

kxx?

（-∞,+∞）

奇函数

kk2,2

7、三角函数的图象性质：

（Zk?

）

xysin?

图象的五个点：

（0，0），（2?

，1），（?

，0），（23?

，-1），（?

2，0）；

xycos?

图象的五个点：

（0，1），（2?

，0），（?

，-1），（23?

，0），（?

2，1）；?

P（x，y）

022?

yxry

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标准文案

8、灵活运用三角函数的图象比较大小：

例如：

和π

，°和°。

9、牢记0°内特殊角的三角函数值、ππ时不存在、勾股定理：

3、4、5和5、12、13的关系。

1-1

22?

23?

xysin?

1-1

22?

23?

xycos

23?

xytan?

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