初二动点问题.docx
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初二动点问题
初二动点问题
1.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动;动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为ts.
(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?
(3)当t为何值时,四边形PQCD为直角梯形?
分析:
(1)四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ.
(2)四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE.
(3)四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC.
所有的关系式都可用含有t的方程来表示,即此题只要解三个方程即可.
解答:
解:
(1)∵四边形PQCD平行为四边形
∴PD=CQ
∴24-t=3t
解得:
t=6
即当t=6时,四边形PQCD平行为四边形.
(2)过D作DE⊥BC于E
则四边形ABED为矩形
∴BE=AD=24cm
∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD为等腰梯形
∴QC-PD=2CE
即3t-(24-t)=4
解得:
t=7(s)
即当t=7(s)时,四边形PQCD为等腰梯形.
(3)由题意知:
QC-PD=EC时,
四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t)=2
解得:
t=6.5(s)
即当t=6.5(s)时,四边形PQCD为直角梯形.
点评:
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中.
2.
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.
(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形;
(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?
若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;
(4)探究:
t为何值时,△PMC为等腰三角形.
分析:
(1)依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知,DQ就是t,即解;∵AB∥QN,∴△CMN∽△CAB,∴CM:
CA=CN:
CB,
(2)CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM;
四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解;
(3)可先根据QN平分△ABC的周长,得出MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出t的值.然后根据得出的t的值,求出△MNC的面积,即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半,由此可得出是否存在符合条件的t值.
(4)由于等腰三角形的两腰不确定,因此分三种情况进行讨论:
①当MP=MC时,那么PC=2NC,据此可求出t的值.
②当CM=CP时,可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值.
③当MP=PC时,在直角三角形MNP中,先用t表示出三边的长,然后根据勾股定理即可得出t的值.
综上所述可得出符合条件的t的值.
解答:
解:
(1)∵AQ=3-t
∴CN=4-(3-t)=1+t
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42
∴AC=5
在Rt△MNC中,cos∠NCM=
=
,CM=
.
(2)由于四边形PCDQ构成平行四边形
∴PC=QD,即4-t=t
解得t=2.
(3)如果射线QN将△ABC的周长平分,则有:
MN+NC=AM+BN+AB
即:
(1+t)+1+t=
(3+4+5)
解得:
t=
(5分)
而MN=
NC=
(1+t)
∴S△MNC=
(1+t)2=
(1+t)2
当t=
时,S△MNC=(1+t)2=
≠
×4×3
∴不存在某一时刻t,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分.
(4)①当MP=MC时(如图1)
则有:
NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2(1+t)
解得:
t=
②当CM=CP时(如图2)
则有:
(1+t)=4-t
解得:
t=
③当PM=PC时(如图3)
则有:
在Rt△MNP中,PM2=MN2+PN2
而MN=
NC=
(1+t)
PN=NC-PC=(1+t)-(4-t)=2t-3
∴[
(1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2
解得:
t1=
,t2=-1(舍去)
∴当t=
,t=
,t=
时,△PMC为等腰三角形
3.
如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.
(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;
(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;
(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?
如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.
分析:
以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合,此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm;或者点Q、M重合且点P、N不重合,此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm.所以可以根据这两种情况来求解x的值.
以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形的话,因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧.当点P在点N的左侧时,AP=MC,BQ=ND;当点P在点N的右侧时,AN=MC,BQ=PD.所以可以根据这些条件列出方程关系式.
如果以P,Q,M,N为顶点的四边形为等腰梯形,则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm,AP=ND即2x=x2,BQ=MC即x=3x,x≠0.这些条件不能同时满足,所以不能成为等腰梯形.
解答:
解:
(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形.
①当点P与点N重合时,由x2+2x=20,得x1=
-1,x2=-
-1(舍去).
因为BQ+CM=x+3x=4(
-1)<20,此时点Q与点M不重合.
所以x=
-1符合题意.
②当点Q与点M重合时,由x+3x=20,得x=5.
此时DN=x2=25>20,不符合题意.
故点Q与点M不能重合.
所以所求x的值为
-1.
(2)由
(1)知,点Q只能在点M的左侧,
①当点P在点N的左侧时,
由20-(x+3x)=20-(2x+x2),
解得x1=0(舍去),x2=2.
当x=2时四边形PQMN是平行四边形.
②当点P在点N的右侧时,
由20-(x+3x)=(2x+x2)-20,
解得x1=-10(舍去),x2=4.
当x=4时四边形NQMP是平行四边形.
所以当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形.
(3)过点Q,M分别作AD的垂线,垂足分别为点E,F.
由于2x>x,
所以点E一定在点P的左侧.
若以P,Q,M,N为顶点的四边形是等腰梯形,
则点F一定在点N的右侧,且PE=NF,
即2x-x=x2-3x.
解得x1=0(舍去),x2=4.
由于当x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形,
所以以P,Q,M,N为顶点的四边形不能为等腰梯形.
点评:
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点.
4.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm,点M从点A开始,沿边AD向点D运动,速度为1cm/s;点N从点C开始,沿边CB向点B运动,速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,四边形MNCD是平行四边形?
(2)当t为何值时,四边形MNCD是等腰梯形?
分析:
(1)根据平行四边形的性质,对边相等,求得t值;
(2)根据等腰梯形的性质,下底减去上底等于12,求解即可.
解答:
解:
(1)∵MD∥NC,当MD=NC,即15-t=2t,t=5时,四边形MNCD是平行四边形;
(2)作DE⊥BC,垂足为E,则CE=21-15=6,当CN-MD=12时,即2t-(15-t)=12,t=9时,四边形MNCD是等腰梯形
点评:
考查了等腰梯形和平行四边形的性质,动点问题是中考的重点内容.
5.
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,P、Q分别从点D、C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动,设运动时间为t(s).
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系;
(2)当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
分析:
(1)若过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形,得出PM=DC=12,由QB=16-t,可知:
s=
PM×QB=96-6t;
(2)本题应分三种情况进行讨论,①若PQ=BQ,在Rt△PQM中,由PQ2=PM2+MQ2,PQ=QB,将各数据代入,可将时间t求出;
②若BP=BQ,在Rt△PMB中,由PB2=BM2+PM2,BP=BQ,将数据代入,可将时间t求出;
③若PB=PQ,PB2=PM2+BM2,PB=PQ,将数据代入,可将时间t求出.
解答:
解:
(1)过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形.
∴PM=DC=12,
∵QB=16-t,
∴s=
•QB•PM=
(16-t)×12=96-6t(0≤t≤
).
(2)由图可知,CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况
:
①若PQ=BQ,在Rt△PMQ中,PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,解得
;
②若BP=BQ,在Rt△PMB中,PB2=(16-2t)2+122,由PB2=BQ2得(16-2t)2+122=(16-t)2,此方程无解,∴BP≠PQ.
③若PB=PQ,由PB2=PQ2得t2+122=(16-2t)2+122得
,t2=16(不合题意,舍去).
综上所述,当
或
时,以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.
点评:
本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题
(2)时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象.
6.
直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,同时到达A点,运动停止.点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O⇒B⇒A运动.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点Q的运动时间为t(秒),△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;
(3)当S=485时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.
分析:
(1)分别令y=0,x=0,即可求出A、B的坐标;
(2))因为OA=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10,进而可求出点Q由O到A的时间是8秒,点P的速度是2,从而可求出,
当P在线段OB上运动(或0≤t≤3)时,OQ=t,OP=2t,S=t2,当P在线段BA上运动(或3<t≤8)时,OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,作PD⊥OA于点D,由相似三角形的性质,得PD=48-6t5,利用S=12OQ×PD,即可求出答案;
(3)令S=485,求出t的值,进而求出OD、PD,即可求出P的坐标,利用平行四边形的对边平行且相等,结合简单的计算即可写出M的坐标.
解答:
解:
(1)y=0,x=0,求得A(8,0)B(0,6),
(2)∵OA=8,OB=6,∴AB=10.
∵点Q由O到A的时间是81=8(秒),
∴点P的速度是6+108=2(单位长度/秒).
当P在线段OB上运动(或O≤t≤3)时,
OQ=t,OP=2t,S=t2.
当P在线段BA上运动(或3<t≤8)时,
OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,
如图,做PD⊥OA于点D,
由PDBO=APAB,得PD=48-6t5.
∴S=12OQ•PD=-35t2+245t.
(3)当S=485时,∵485>12×3×6∴点P在AB上
当S=485时,-35t2+245t=485
∴t=4
∴PD=48-6×45=245,AD=16-2×4=8
AD=82-(245)2=325
∴OD=8-325=85
∴P(85,245)
M1(285,245),M2(-125,245),M3(125,-245)
点评:
本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题
(2)时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象.