高教社杯全国大学生数学建模竞赛优秀范文.docx
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛优秀范文
CT系竦参数标定及成像间题研究
i1
CT机扫描册分主要由X线管和不同数目的控測器组成，用来收集信息。
X线東对所选择的面层进行扫描，其强度因和不同密贋的组级相互作用而产生相应的吸收和衰Mo[1]探測器将收集到的信息经过一系列的转变，最后经12计算机的储存和处理，得到CTffl可以排列成数字矩阵。
通il对题目所提供林料进行分折，提岀了较为合理的假设，对各组附件数据进行了抑合处理制成各种图像并分折说明，冃建立模型来求解CT系筑《（合处理冋題。
在对冋題一的分析中，对附件一模81实体立体化建立模塑I,并对数据进行处理及排差，個设我物台在理想狀态下是水平并与探测器无偏差，而目不考虑HI械系数或各种间题的悄况下，建立起了一个模S1CT系貌的仪器。
运用数学几何知识作图，通il建立相似图形（模U1CT系鋭运行）等比例来确定几个系貌参数之间的关系（CT系统旋转中心在正方形耘盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系筑使用的X射线的180个方向）。
在对建立的模型iait改进的基础上，对附件2进行抓合处理建立模型II,利用数学中的傅里叶变换算法等比对图2模柿示克图进行平面配对。
借助数学算法和MATLAB软件，对附件中所提供的数JgjJ行了篩选，去除异常数据,对残缺数锯进行适肖补充，并册机抽取了其中几组数据对理论箱果进行了数弼模01,给果显示，理论结果与数据模拥结果咧合。
在对冋題二的分析中，对附件3模HI建立模塑III。
和用上述CT系境得到的某未知介质的接受信息还有结合间题一所得到的标定参数，通过建立相做图形等比例来确定几个系统参数之间的关系（CT系统旋转中心在正方形礼盘中的位置、几何图形以及该吸收率等信息）。
借助数学算法和MATLAB軟件，利用图3所给的10个位置，对附件4中所提（对附件4模抓建立模型IV）进行了筛选，去除异常数弼，对殛缺数摇进行适当补充，并ffillltt取了其巾几组数据对理论结果进行了数据模U1推测其的吸收率。
在对问題三的分折中，对附件5模扭建立模塑V。
和用上述CT系境得到的某未知介质的接受信息还有结合间题一所得到的标定参数，通il建立相似图形等比例来确定几个系统参数之间的关系（CT系鋭症转中心在正方形1£盘中的位置、几何图形以及该吸收率等信息）。
借助数学算法和MATLAB軟件，利用图3所给的10个位置，»1lT«据模#1推测其的吸收率。
在对间题E1的分折中，借助数学算法和MATLAB軟件，分桥问题一中参数标定的精度和稳定性，并借K1冋題一的条件设廿出新的模极、建立所对应的标定模塑，以改进精度和稳定性。
关建词：
数字拒阵合处理傅里叶变换算法平面配对标定参数吸收率
1.间题重述
CT（putedTomography）可以在不破坏样品的悄况下，利用样品对射线能量的吸收特
性对生物组织和工程林料的样品进行斷层成像，由此获取样晶部的结构信息。
-种典里
的二绒CT系筑如图1所示，平行人射的X射线垂直于探测器平面，毎个探测器单元看成一个接收点，目等距排列。
X射线的发射器和探測器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时ftSt转180次。
对每一个X射线方向，在具有512f等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二细侍检测介质吸收衰减后的射线能量，并经ii增益等处理后為到180组接收信息。
CT系统安装时住往存在娱差，从而影鞘成像I贯量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助干已知结构的样品（称为模极）标定CT系统的参数，并据此对未知给构的样品进行成像。
请建立相应的数学模型和算法，解决以下间题：
（1）在正方形托盘上笊置两个沟匀同休介质组成的标定模极，模极的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1,其中每一自的数值反映了该点的吸收強度，迪里称为“吸收率”。
对应于该模板的接收信息见可附件2。
请根摇放一模极艮其接收信息,确定CT系统旋转中心在正方形I［盘中的位置、探測器单元之同的距离以及该CT系统使用的X射线的180f方向。
（2）附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。
利用
（1）中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形礼盘中的位置、几何形狀和吸收率等信息。
另外，请具体给岀图3所给的10个位置处的吸收率,相应的数据文件见附件4。
（3）附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。
利用⑴中得到的标定参数，给岀该未知介质的相关信息。
另外，请具体给岀图3所给的10个位置处的吸收率。
（4）分林
（1）中参数标定的精度和稳定性。
在此基础上自行设廿新模极、建立对应的标定模型，以改进标定侑度和稳定性，并说明理由。
（1）-（4）中的所有数值结果均保留4也小数。
同时提供
（2）和（3）重建得到的介质吸收
率的数据文件（大小为256x256,18式同附件1,文件名分别为problem2.xls和
problem3.xls）
2.问题分析
间8-：
本题的濮差主要在于IltCT系筑的安装过程。
CT系貌安装时往往存在蹊差，从而影响成像质量，而目探测器自身的缺陷，教物台自身的不足等，通通都会成为CT系貌测量的不完全的因素，所以在分析问题时，模里是假定处干理想状态下去根据数据以及利用几何知识来实现CT系貌参数标定。
间題二:
根据分折，我物台很有可能会是偵斜的，而教物台可以等效为探测器投影绕一个点在竖直方向蔭转。
由附录一可得知其图像,Q由其图像可以推测其锲差来源，从而可以进行修正，最终可以给出准确的CT系筑参数标定。
间题三：
根据分折，载物台是颐斜的，探测器也可能本身有觎陷，此为机械误差，而技物台可以等效为探测器投影统一个点在竖直方向6H专。
由附录可得知其图像，2由其图像可以推测其误差来源，从而可以进行修正，最终可以给岀准确的CT系统参数标定。
3.模型假设
（1）假设数据来源真实有效，能够反映实际悄况。
（2）各组数据在相同条件下进行，无其他人为因素影响。
（3）题中有并未明确给岀但Q容易得到的数据，若可测量，不列人考虑围。
（4）在数据的果集过程肖巾，我们认为CT系筑的自身参数不会变化。
（5）在此实验中光的衍射观象不明显，在假定光以頁线传播的理。
4.符号说明
符号
定义及说明
t
原点到该射线的垂直距离
S
探测单元之间的距离
L
模板收到射娠的相对长n
n
接收到信息的探测器的个数
圆的直径
厶2
繭圆的短轴
5.建模过程
幵始定标
•对投影进行角度偏差求取
•计算能转轴的扱站
•计算旋转轴到中空射諮的偏差二并调节旋转轴修正此偏差•结束定标
r•计算射线源到探测器旋转轴的距离，射线源到中心射线的投影坐标
）
假设我物台在理想状态下是水平并与探測器无帽差，而目不考虑机械系数或各种冋題的侑况下,科用PROEg立起了一个模81CT系统的仪器。
下图为利用附件一的数据以及MATLAB做成的附件1椒点图像。
100卜，，，亠J
*02040GO&O100
nz=12568
!
$0
r/tx
对比分析：
其与图2的形状大致卿合
说明附件一数据基本无偏差，完成排差工作。
2.对附件2模抓实体立itita立模型ii
下图为利用附件2的数据以及MATLAB做成的附件2立体图像。
模型求解
（1）g用数学几何知识作图，通il建立相做图形（模《1CT系统运行）等比例来确定几个系筑参数之同的关系。
①CT系统旋转中心在正方形礼盘中的位置
[1]平行投影（傅里叶变换算法）[2]
将模板看成图像函数f（x,y）,穿过f（xy）的一条线称为射线,f（x,y）沿某一射线的枳分称为射线枳分，而射线枳分的集合则组成投影。
若从坐标原点向射线作一垂线我此垂线作为新坐标的一个Wit,并枸成新坐标系（t,s）坐标仅是（x,y）坐标系废转0角的给果，二者存在下列变换关系:
[tl_[cosesinO]\x]
[5]=l-sin。
cosO\[y]
因此射线枳分可表达为：
p^=J^/（x^dx
其中射线方程可写为
xcosQ+ysin0=t.
其中t是原点到该射线的垂直距离。
傅里时变换进行二维图像的重建
设f（x,y）为一二维图像,其傅里叶变换为
F（|m9=0；『（為刃£_/饷g+'Wdxdy
设该图像在x«|的投鄭为:
叭，（戈）=0；fgy）dy
现求其傅里叶变换
叭（戈）=戌旳（戈）厂曲必=循f（戈』）厂用皿十切dxdy
通il傅里叶变换，Kt公贰为傅里叶变换的中心剖面。
当满足n=RCose,v=RSineW,只需对投影的傅里叶变换进行反变换，就可以得
到重建的模型。
②廿算探测单元之间的距离
当512个探测器处于模板的正上方时，可以利用公式
S=L-rn
S：
探测单元之间的距离L：
模柿收到射线的相対长度
n：
接收到信息的探測器的个数
从模极示克图可以分折岀，当512f探测器处于模扳正上方时，某一个探测器必定有最大吸收率，通11excel的新建规则，可以找出最大的吸收率，位置是EU223,数值为141.7794o
MlEU这一列的数据为我们假设模机处于正上方时512个探测器的吸收信息，通il貌计可知，模板椭冏的姬轴対应的探测器个数为29,模极惧I的貞径对应的探測器的f数为109o
⑴S2=L2-i-n2
（2）
S=（5X+S2）-r2⑶
联立上述3式棉s=0.2755mmo
①CT系统使用的X射线的180个方向
通UMATLAB对数据进打模81图像
（2）在对建立的模型I进行改进的基础上，利用对称投影相关法还有数学中的傅里
叶变换算法等比对图2模板示意图进行平面配对。
52问題二的建模与求解
模塑建立:
1、对附件3模拥建立模型III
下图为利用MATLAB做成的附件3图像
2.对附件4模8（建立模型IV
下图为利用MATLAB做成的附件4散点图像
1（0
结合图三,进『对比
100
43.5
33
I
发现图形与数据卿合，通过MATLAB,数学知识及图形比对大致可以得出其吸收率。
X
y
位置
吸收率
10.0000
1&0000
（51.AF）
0.0000
34.5000
25.0000
（177.AR）
26.3276
43.5000
33.0000
（223.BG）
76.4033
45.0000
75.5000
（230,EF）
129.9391
48.5000
55.5000
（248,CV）
100.8566
50.0000
75.5000
（256,EF）
110.6755
56.0000
76.5000
（287,EH）
74.3536
65.5000
37.0000
（335,BO）
65.5349
79.5000
1&0000
（407,AE）
0.0000
98.5000
43.5000
（504,BZ）
0.0000
5・3.问題三的建模与求解
模型建立
1、对附件5模jfl建立模型V
下图为利用MATLABBt成的附件5图像
500
20406080100120140160180
模型求解
利用MATLAB他成的附件4厳点图像图三
发观图形与数据咧合，通过MATLAB及图形比对大致可以得出其吸收率。
X
y
位置
吸收率
10.0000
18.0000
（51.AF）
0.1467
34.5000
25.0000
（177.AR）
328.5221
43.5000
33.0000
（223.BG）
240.0157
45.0000
75.5000
（230.EF）
281.0183
48.5000
55.5000
（248,CV）
280.0407
50.0000
75.5000
（256,EF）
224.3034
56.0000
76.5000
（287,EH）
239.0553
65.5000
37.0000
（335,BO）
156.7367
79.5000
18.0000
（407,AE）
85.1330
98.5000
43.5000
（504,BZ）
0.0385
4.1.100的建模与求解
模型建立
1sCTJO原理
Radon变换将图像投影到某个角度的放射线上。
+C0
f（r*cosd
•8
2、公式表达【3】
—£密sinB.r*sm3+t*cosO^dt
Radon逆变换的公式为:
apg）
ay
drdO
投韵射线方程可表示为
3、模里假设
xcosS+ysinO=r
4、验证精度与稳定性
利用MATLAB对数弼进行重新调整，测试其椿度与檜定性，以下图片为其论证
6.模型的综合评价
模塑的优点：
Radon变换可用于頁线检测，它的枳分运算抵消了噪音所产生的误差。
Radon变换
可以将低厦的不清楚的盲点图像険复成原始图像。
Radon可11灵活选取不同枳分路径,由此算出一系列相ffl变換。
模塑的缺点:
Randon变换的离散化是一个比较夏杂的问題,在众多的离散化算法中,
有些存在大量的冗余，有些虽然克服了夫的冗余度，（1是得到其所对应的逆变换2比较困难。
其中有限Radon变换PRAT是其中比较好的离散化算法之一。
有限Radon变换是有限大小的二维离散图像实现Radon变换的离散化方法。
模塑的改进：
为了获得更好的能量集中性，有KRadon变换（FRAT）和反变换FBPS求变换的图像均值为零，对于均值不为零的图像可以在变换前先两去均值，以保证变换前的图像均值为零；反变换回来后再JO上图像均值即可恢夏原图像。
模塑的推广：
此模塑不仅可以运用在CT领域上，还可以运用在烟集记录
7.参考文献
[1]叶〒军，《CT系统简介》，科学，2009年
⑵朱翠、王富东，《利用matlab实现二维图像傅里叶变换法》，科学,2012年
⑶郭立倩，《CT系统的标定与有眼用度CT垂建方法的研究》，科学技术，2003年
[4]巩向博，《高蒂度Radon变换及其应用册究》，高等教育，2005年
[5]《MatlabR2016a全自学一本通》,中国工信,2006年
1.附录
附录1
functioncreatefigure（X1,Y1）
%CREATEFIGURE（X1,Y1）
%X1:
xEy%Yu也屁
%Y1：
y£^YmA£,A6
%0£MATLAB0015-Sep-201721:
38:
09xOH"£ii3£
%八犷figure
figurel=figure;
%八犷axes
axesl=axes（,Parent\flgure1,...
"Position1,[0.51940.47370.39950.5265]）;
holdCaxesl/on*）;
%"%plot
plot（X1,Y1,,DisplayName',,IuE0A££（tj.iai/4,t,Marker,,,.,,,LineStyle,,,none,l...
'Color*,[00.4470.741]）;
%…犷xlabel
xlabelCnz=12568）;
%£iIuOOlADDpAx£lOO±£Adx0+eOaMAX-11§
%xlim（axes1,[0256]）;
%£iIuOOlADDpAx（t：
£lOO±£Adx0±eOanAY7i§
%ylim（axes1,[0256]）;
view（axes1,[-0.002690]）;
box（axes1/on*）;
axis（axes1,,ij,）;
%EeOteO^xo+eOaEoDO
set（axes1,GridLineStyleTnoneTPIotBoxAspectRatio：
[2572571],…
'XTickLabelJ0T20T40T60T80T100LYTick：
[050100150200250],…
YTickLabel\{,0V20\M0V60\,80,,,100,}）；
%_%••legend
legendl=Iegend（axes1/show'）;
set（legend1,...
•Position\[0.55920.49790.68820.16892]）;
附录2
functioncreatefigure（zdatal）%CREATEFIGURE（ZDATA1）%ZDATA1:
surfacezdata
%0£MATLABOU15-Sep-201721:
46:
22xOH"£ii3£
%"犷figure
figurel=figure;
%Vaxes
axesl=axes（'Parent,,figurel）;hold（axes1,,on,）;
%"犷mesh
mesh（zdata1/Parent\axes1）;
view（axes1,[-37.530]）;
gricKaxesl/on*）;
附录三
functioncreatefigure（zdatal）
%CREATEFIGURE（ZDATA1）
%ZDATA1:
surfacezdata
%MATLAB0015-Sep-201721:
48:
07xOTELE
%murefigurel=figure;
%“％axes
axesl=axes（'Parent',figurel）;
hold（axes1/on'）;
%八犷mesh
mesh（zdata1/Parent*,axesl）;
view（axes1,[-37.530]）;gricKaxesl/on*）;
附录皿
functioncreatefigure（X1,Y1,S1,C1）%CREATEFIGURE（X1,Y1,S1,C1）
%
X1:
scatterx
%
Y1:
scattery
%
S1:
scatters
%
C1:
scatterc
%0£MATLABOU15-Sep-201721:
49:
39xOT曲彳p
%…犷figure
figurel=figure;
%…犷axes
axesl=axesCParent',figurel）;hold（axes1,'on'）;
%八犷scatterscatter（X1fY1,S1,C1）;
附录五
functioncreatefigure（zdatal）%CREATEFIGURE（ZDATA1）%ZDATA1:
contourz
%OEMATLAB0015-Sep-201721:
51:
38xOH"£u3£
%"犷figurefigurel=figure;
%八犷axes
axesl=axes（'Parent\figure1）;hold（axes1,,on,）;
%八犷contourcontour（zdatal）;
box（axes1/on*）;
axis（axes1,'tight'）；
%EeOAitaOaxo+eOaEoDO
set（axes1,,BoxStyle,,,full,,,Layer,l,top,）;
升级会员 