线性代数教案.doc
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线性代数讲稿
刘东
200年―――200年第一章行列式
§1行列式的定义
一、二阶、三阶行列式
中学学过解二元一次方程组
如果有解，它的解完全可由他们的系数表示出来。
.
若，则
（2）
同理（3）
其中均称为二阶行列式
定义1.二阶行列式（4）
是一个数，主对角线两数之积减副对角线两数之积（对角线法则）
同样，在解三元一次方程组（5）
时，要用到“三阶行列式”，这里可采用如下的定义。
定义2，三阶行列式
（6）
行、列称为D的元素。
例1
如果我们把所在的行（第i）和列（第j）划去后，所剩下的二阶行列式记为，那么有
故（6）式可写成：
（7）
称为元素的余子式，若令，则（7）式又可写成
（8）
称为元素的代数余子式（注，这里的是一个二阶的）
二、n阶行列式
以上，从二阶行列式到三阶行列式的定义。
蕴含了一种规律，我们同样用之来定义更高的行列式。
这种规律可由归纳法表现出来。
定义3.由个数排成或行列的正方形数表，按照以下规律，可以得到一个数：
（9）
称为n阶行列式，其中，表示划去第行第列后所剩下的n-1阶行列式。
行列——元素称为元素的余子式，成为元素的代数余子式。
注：
1.为了方便，定义一阶行列式。
2.按照定义式（9），从一阶行列式可以得到二阶行列式的（同对角线法）。
例2.证明对角行列式（其对角线上的元素是未写出的元素都为0）
证：
按定义式（9）
例3.证明下三角行列式
按定义式（9）得
以上，n阶行列式的定义（9）式，是利用行列式的第一行元素来定义行列式的，这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开是。
我们可以证明。
行列式按第一列元素展开也有相同的结果，即
（10）
我们还可以证明，行列式按任意行（列）展开，都有相同的结果，即有：
定理（Laplace）
（11）
（12）
例4计算行列式
解选一行（或列）具有较多的0元素的展开式，按第三行展开，得
例5计算行列式
解按第三行展开，得
另外，三阶行列式也有对角线法则。
例6计算三阶行列式
解：
同样，三元一次方程组（5）的解也可以用三阶行列式表示
当（5）的系数行列式时（5）的解为
，其中
例7解线性方程组
解：
先计算系数行列式
因此可用行列式（13）求解
再计算
，，
代入公式（7）得
，，
例8求二次多项式，使得
，，
解设，于是由，，得
求如下：
，，，
所以，，
故为所求。
注：
公式
（2）-（3）（二元）
称为克莱姆法则
公式（13）（三元）
作业：
习题1-1
1
（2）.（5）.（6）.（7）；2.（3）；3.
1-25
1-41
§2n阶行列式的性质及计算
复习：
定义 D==
定理（Laplace）D==
新授：
一、行列式的性质
记D=D=（）
行列式D称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）
性质1D=D
由此知，行与列具有同等地位。
关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然。
如:
D=D=D=D
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
如:
D==ad-bc,=bc-ad=-D
以r表第i行，C表第j列。
交换 i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。
推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
证：
把这两行互换，有D＝-D 故D＝0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式（第i行乘以k，记作r）
推论2 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和（例如 第i列）
D=
则
D=+
性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变（例如，以数k乘第j列，加到第i列上，可记做）
性质7行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行：
按列：
将性质7与Laplace定理合并为下列结论：
（1）
和
（2）
这些性质证明从略，利用这些性质可以简化行列式的计算。
例1
例2
例3
例4证明
证：
左端
§3克莱姆法则
含有n个未知数的n个线性方程的方程组
（1）
与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即
定理（Cramer法则）如果线性方程组
（1）的系数行列式不等于零，即
，则方程组
（1）有且仅有一组解：
，，…，
（2）
其中是把系数行列式中的第列的元素用方程组右端的常数代替后所得到的n阶行列式
证明思路：
1
（1）如果有解，其解必为
（2）唯一。
2再验证
（2）确为
（1）的解。
证略
例1求解线性方程组
解：
系数行列式
同样可以计算
，，
，
所以，，，
注意1.克莱姆法则的条件：
n个未知数，n个方程，且
2.（3）
称为n元齐次线性方程组。
当
（1）的常数项不全为零时，
（1）称为n元非齐次线性方程组。
显然当是（3）的解。
推论若（3）的系数行列式，则它只有零解。
即若（3）有非零解，则必有。
3.克莱姆法则的关键是行列式的计算，加强之。
例2证明范德蒙行列式
（4）
其中，记号“”表示全体同类因子的乘积。
证：
用归纳法，因为
所以，当n=2时，（4）式成立，现设（4）式对n-1时成立，要证对n时也成立。
为此，设法把降阶；从第n行开始，后行减去前行的倍，有
（按第一列展开，并提出因子）
阶范德蒙行列式
=证毕
例3
作业
习题1-31.
（2）、（4）、（5）2.
（1）3
（1）
1-42.3.4.
1-51.
（1）4.
第二章矩阵
基本要求：
理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算，理解逆矩阵并会求逆矩阵，了解分块矩阵。
矩阵是线性代数中重要的工具，我们先从线性方程组引出矩阵。
§1矩阵的概念
已知n元线性方程组
的系数及常数项可以排成m行，n+1列的有序矩阵数表：
说明：
这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组
（1），对它的研究可以判断
（1）的解的情况。
定义1.由个数排成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵，简称矩阵，其中叫做矩阵的元素。
根据元素的特点，矩阵可分为实矩阵与复矩阵。
下面给出一些特殊矩阵：
1．行矩阵m=1
2．列矩阵n=1
3．零矩阵
4．方阵，，称为n阶方阵。
5．单位矩阵称为n阶单位矩阵。
应用举例：
例1．某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
其中为工厂向第店发送第种产品的数量。
这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵
其中为第种产品的单价，第种产品的单件重量。
例2．北京市某户居民第三季度每个月的水（单位：
）、电（单位：
）、天然气（单位：
）的使用情况，可以用一个三行三列的数表来表示，即
§2矩阵的运算
一、矩阵的加法
设称为同型矩阵（行列数均相等）。
1．相等
2．加法
加法律
（1）
（2）
例3．.求矩阵，使，其中
，
解：
。
二、数与矩阵的乘法
运算律：
（1）；
（2）；
（3）
注：
矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算。
例4．设从某地四个地区到另外三个地区的距离（单位）为：
已知货物每吨的运费为2.40元/.那么，各地区之间每吨货物的运费可记为
三、矩阵的乘法
1．线性变换与线性变换的乘积。
设有两个线性变换
其系数矩阵
其系数矩阵
将代入，可得从到的线性变换：
称为与的乘积。
相应地，称的系数矩阵为与的系数矩阵的乘积，记作：
一般地，我们有
2．矩阵与矩阵的乘法
定义2.设则规定与的乘积是一个矩阵，其中
并记作
注：
（1）.一行与一列相乘
故的第行第列位置上的元素就是的第行与的第列的乘积。
（2）.只有的列数等于的行数时，才有意义（乘法可行）
例5．设，求
解
得
注：
是不可行。
例6．设，，求及。
解：
由此发现：
（1），（不满足交换律）
（2），，但却有。
3．矩阵乘法的运算律（假定运算是可行的）
（1）结合律
（2）分配律
（3）
（4），（单位矩阵的意义所在）
4．n阶方阵的幂
设是n阶方阵，则定义
或
规律：
，，其中为正整数。
但一般地，，为n阶方阵。
例7．计算
解：
设，
则，
假设，
则，
于是由归纳法知，对于任意正整数n，有
例8．令，，，
则线性方程组可用矩阵乘积表示出：
。
四、转置矩阵
定义3.把矩阵的各行均换成同序数的列所得到的矩阵，称为的转置矩阵，记作（或）。
例如：
，
运算律：
（1）；
（2）；
（3）；（4）
证明：
仅证（4）
设，记，，
于是按矩阵乘法公式
.
而的第行为，的第列为，因此
即，亦即。
例9．已知，，求
解：
（法一）
所以
（法二）
小结：
1．矩阵的概念
2．矩阵的运算：
加法，数乘，乘法，幂，转置
3．相应运算的运算律
思考题：
试分析以下给出证明的错误，并给出正确的证明。
若，则称为幂等矩阵。
试证：
若为幂等矩阵，则为幂等矩阵的充分必要条件是.
错误证法：
由条件，，知或，或，
当时，，显然成立。
当（或）时，，且成立。
当时，，而，，即也成立。
综上可知，为幂等矩阵的充要条件为。
答案：
从推得，是不对的，得出这样的结果是作出了如下推导：
，，故或，即.
这里的错误在于：
与数的乘法运算相混淆了。
数若满足，则
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