若圆周运动的轨道半径R>l，则每个周期沿AB界限向A移动的距离：
Δx=R–l
粒子可能从电场中再次经过P点需要满足的条件是：
l=n×Δx（n=1、2、3…）
解得：
，（n=1、2、3…）
【知识补给】
带电粒子在磁场中运动的多解问题
求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧
（1）分析题目特点，确定题目多解性形成原因。
（2）作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。
（3）若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。
有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。
已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。
求：
（1）磁感应强度B0的大小；
（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
如图甲所示，在坐标系xOy的第一象限内存在图乙所示的交变磁场（取垂直纸面向外为正），OD与x轴正方向的夹角为α，α=37°，P（4L，3L）是OD上一点。
t=0时刻，一质量为m、所带电荷量为q的带正电粒子从P点沿y轴负方向射入磁场，经过一定的整周期（交变磁场变化的周期）后粒子恰好能经过原点O，已知粒子的重力不计，sin37°=0.6，求：
（1）粒子的运动速度应满足的条件；
（2）交变磁场变化的周期T。
在如图所示的xOy坐标系中，y>0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场，y<0的区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场。
一电子（质量为m、电荷量为–e）从y轴上的P（0，d）点以沿x轴正方向的初速度v0射出，第一次穿越x轴时，恰好能通过x轴上的D（2d，0）点，第二次穿越x轴后可再次运动到P点，不计重力的影响。
求：
（1）请用铅笔、直尺和圆规画出电子的运动轨迹；
（2）电场强度E的大小和感应强度B的大小；
（3）若将电子的速度增大为，则电子从磁场穿越x轴到电场时的时刻。
一圆筒的横截面如图所示，圆心为O、半径为R，在筒上有两个小孔M，N且M、O、N在同一水平线上。
圆筒所在区域有垂直于圆筒截面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在圆筒左侧有一个加速电场．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由静止经电场加速后从M孔沿MO方向射入圆筒．已知粒子与圆筒碰撞时电荷量保持不变，碰撞后速度大小不变，方向与碰撞前相反，不计粒子重力。
（1）若加速电压为U0，要使粒子沿直线MN运动，需在圆筒内部空间加一匀强电场，求所加电场的电场强度大小E；
（2）若带电粒子与圆筒碰撞三次后从小孔N处射出，求粒子在圆筒中运动时间t；
（3）若带电粒子与圆筒碰撞后不越过小孔M，而是直接从小孔M处射出，求带电粒子射入圆筒时的速度v。
如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N。
现有一质量为m、带电荷量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，此时速度方向与x轴正方向的夹角为30°。
不考虑电子所受的重力。
（1）求电子进入圆形区域时的速度大小和匀强电场场强E的大小；
（2）若在圆形区域内加一个垂直纸面向里的匀强磁场，使电子穿出圆形区域时速度方向垂直于x轴，求所加磁场磁感应强度B的大小和电子刚穿出圆形区域时的位置坐标；
（3）若在电子刚进入圆形区域时，在圆形区域内加上图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子从N点处飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同.请写出磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T各应满足的关系表达式。
【参考答案】
（1）
（2）
（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力
做匀速圆周运动的周期
联立两式得磁感应强度
（2）要使正离子从孔垂直于N板射出磁场，的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即时，有
当两板之间正离子运动n个周期即时，有：
联立求解，得正离子的速度的可能值为：
【名师点睛】对于离子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律的应用，理解几何关系的运用，同时注意运动的周期性。
（1）（n=1，2，3，…）
（2）
（1）粒子运动的轨迹如图；根据；由图可知：
（n=1，2，3，…），
解得（n=1，2，3，…）
（2）粒子运动的周期：
，则磁场变化的周期：
（1）略
（2）E=B=（3）（k=1，2，3…）
（1）电子的部分运动轨迹如下图：
（2）电子在电场中做类平抛运动
设电子从P到D的时间为t1，，，
求出
设电子进入磁场时速度为v，v与x轴的夹角为θ，则，解得θ=45
求出
电子进入磁场后做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力
由图可知，求出
（3）若将电子的速度增大为，则，解得，则电子在磁场中做匀速圆周运动转过的圆心角为300°，运动的时间：
，
电子从磁场穿越x轴到电场时的时间：
（k=1，2，3）
（1）
（2）或（3）（n=2，4，6，…）
（1）带电粒子在平行板加速过程中，由动能定理得
在磁场中运动时，电场力与洛伦兹力平衡qv0B=qE
解得
（2）带粒子在磁场中运动的周期
带电粒子与环碰撞三次有两种情况：
第一种情况如图
（1）所示，两次碰撞点与圆环圆心的连线夹角α=
两次碰撞过程粒子通过弧长对应的圆心角
β=π–α=
整个过程运动时间
第二种情况如图
（2）所示，两次碰撞点与圆环圆心的连线夹角α′=
两次碰撞过程粒子通过弧长对应的圆心角β′=π–α′=
整个过程运动时间
所以带电粒子在圆环中运动的时间为或
（3）设粒子从M点射入磁场后做圆周运动的速度为v、半径为r，得
设粒子经n次碰撞从小孔M射出，则
2π=（n+1）·2φ即n=2，3，4，5，…
又当·2φ=π时，粒子会从小孔N射出，故n只能取偶数
综上可得φ=（n=2，4，6，…）
由几何关系得tanφ=
解得入射粒子速度大小为
（n=2，4，6，…）
（1）
（2）（3）（n=1，2，3……）（n=1，2，3…）
【解析】
（1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，速度分解图如图1中所示
由速度关系可得：
解得：
由速度关系得：
vy=v0tanθ=v0
在竖直方向：
而水平方向：
解得：
（2）根据题意作图如图1所示，电子做匀速圆周运动的半径R=L
根据牛顿第二定律：
解得：
根据几何关系得电子穿出圆形区域时位置坐标为（，–）
（3）电子在在磁场中最简单的情景如图2所示
在磁场变化的前三分之一个周期内，电子的偏转角为60°，设电子运动的轨道半径为r，运动的T0，粒子在x轴方向上的位移恰好等于r1；
在磁场变化的后三分之二个周期内，因磁感应强度减半，电子运动周期T′=2T0，故粒子的偏转角度仍为60°，电子运动的轨道半径变为2r，粒子在x轴方向上的位移恰好等于2r
综合上述分析，则电子能到达N点且速度符合要求的空间条件是：
3rn=2L（n=1，2，3…）
而：
解得：
（n=1，2，3…）
应满足的时间条件为：
（T0+T′）=T
而：
解得（n=1，2，3…）
【名师点睛】本题的亮点在于第三问，综合题目要求及带电粒子运动的半径和周期关系，则符合要求的粒子轨迹必定是粒子先在正B0中偏转60°，而后又在−B0中再次偏转60°，经过n次这样的循环后恰恰从N点穿出。
先从半径关系求出磁感应强度的大小，再从周期关系求出交变磁场周期的大小。
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