初级中学几何复习探讨专题.docx
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初级中学几何复习探讨专题
初中几何复习探讨
学生基本情况及教材分析
学生自六年级下学期起止七年级,处于实验几何阶段,在这个阶段中,学生以实验操作带说理的方法学了一些几何事实和几何图形的性质,在认识这些性质时,使用了观察、操作和比较等实验方法,并在实验中对它们作出解释,初步获得了一些几何知识。
从初二开始,学生将进一步学习运用逻辑推理的论证方法,以便获得更加系统的几何学知识。
为此,本学期几何教学任务,正是提示学生,从现在八年纪开始,必须进入更高层次的几何学习,即必须高度重视对于推理论证能力的学习,培养学生演绎推理能力,帮助学生掌握精确的几何概念和几何语言;学习形式逻辑的初步知识及演绎推理的一般规则和基本方法,学会演绎推理的步骤并尽可能地对“演绎体系”(定义、公理、定理)获得初步的印象并加以欣赏;通过适当的解题训练,掌握常用的思维方法(观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎等),激发学生对逻辑思维产生兴趣并养成逻辑思维的习惯,作为今后终身学习的基础。
二.教学目标
知识与技能:
了解命题、真命题、假命题的概念;能写出题设与结论,了解公理、定理的概念,并能运用其按照证明的步骤进行证明真命题,并会举反例证明假命题。
能运用学过的定义、定理、公理按照证明的步骤和格式独立完成基本的证明题,并会实现文字语言与符号语言的转换,即根据命题写已知、求证。
掌握直角三角形的性质,并能熟练运用于有关几何计算题和证明题。
掌握逆命题和逆定理的概念,并会写出一个命题的逆命题;掌握线段垂直平分线和角的平分线的定理和逆定理,并会运用于计算、证明。
掌握添加辅助线的方法。
通过典型例题的研究,学习和掌握演绎推理的规则,懂得推理过程中的因果关联,会用三角形全等的判定定理和性质定理等方法证明有关线段相等、角相等以及平行、垂直的有关问题,会用有关的性质定理等解决几何问题,并能规范表达。
过程与方法:
1、通过适当的解题训练,使学生认识并掌握常用的数学思维方法:
观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎等,培养学生的逻辑思维能力。
2、在介绍辅助线的添法时,要注意层层铺垫,要把添加辅助线的几种基本思路让学生理解并掌握。
3、对于证明的书写,教师要先以身示范,让学生明确书写的格式与规范,学生要严格要求,必要时反复操练。
4,渗透数形结合、分类讨论、分解与组合、图形运动等数学思想。
情感态度与价值观:
使学生体会几何研究从直观经验、操作实验到演绎推理的演进过程,认识归纳推理和演绎推理的作用;了解几何发展史,并通过对历史的了解,树立民族自豪感,进而培养学生的爱国主义。
三.知识要点:
1.命题、公理、定理
命题:
能判断正确或错误的句子叫命题。
正确的命题是真命题,错误的命题叫假命题
公理:
有些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并作为判断其他命题真假的依据,这样的命题叫做公理
学过的公理有:
经过两点有且只有一条直线;
在所有连接两点的线中,线段最短;
经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行;
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等
定理:
有些命题可以从公理或其它真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并可进一步作为判断其它命题真假的依据,这样的命题叫做定理。
逆命题:
在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么,这两个命题叫做互逆命题。
逆定理:
如果一个定理的逆命题也是定理,那么,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理。
2.几何证明
证明:
根据题设、定义以及已被确认的定理、公理等,经过逻辑推理来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫证明
3.有关直角三角形的几个性质定理
(1)直角三角形两个锐角互余
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(3)在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(4)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30。
4.关于线段的垂直平分线
定理:
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
逆定理:
和一条线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
5.关于角平分线
定理:
在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
逆定理:
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
6.三角形中的边角不等关系
定理:
在一个三角形中,大边对大角
逆定理:
在一个三角形中,大角对大边
四.教学方法:
1.关于几何的语言问题:
指导学生学会把文字语言翻译成符号语言,并注意几何语言的规范表达。
如正确使用画图语言:
作----、截取、延长、连结等等;正确使用表示位置关系的术语:
相交、平行、相邻、同旁、重合等;正确使用表示数量关系的术语:
等边、等角、任意长等。
2.关于识图问题:
指导学生善于观察图形,熟悉一些常见的基本图形,熟练识别一些平移、旋转、对称图形。
能把一些复杂图形分解成几个简单图形。
3.关于几何证明:
(1)注重证明前的分析
注重掌握全等三角形的一次判定及二次全等三角形的判定
注重代数方法解决几何问题
注重掌握辅助线的添线规律
注重解题后的思考
注重一题多解
注重变式的教学设计
注重渗透数学思想
(2)学好几何的“八字方针”
熟记----记住常用的定理
分析----证明前细心审题,执果索因,层层推理,得出解题思路
综合----在理出解题思路的基础上,由因导果,写出解题过程
小结----善于总结经验,学会不断反思,不断积累
(3)添辅助线方法:
添线原则:
一把分散的几何元素转化为相对集中的几何元素(如把分散的元素集中在一个三角形或两个全等的三角形中,以使定理能够针对应用)
二把不规则的图形转化为规则的图形,把复杂图形转化为简单的基本图形。
常见方法:
遇到等腰三角形时,添底边中线,或已知底边中线添两腰,应用等腰三角形三线合一性质;
遇到直角三角形时,添斜边中线,应用直角三角形性质解题;
遇到三角形中线时,将中线延长一倍;
遇到两条线段的和等于第三条线段,可在长的线段上截取,也可延长短的线段;
遇到证明圆中的弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系时,常添半径或弦心距;
遇到一些常见的几何基本图形残缺不全时,利用添线补全基本图形。
例题:
如图,已知△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC于点F。
求证:
AF=EF
(4)本阶段涉及的证明类型及方法:
①证明两线段相等方法
利用全等三角形性质证明;
利用等腰三角形性质及判定证明;
利用直角三角形性质及度量关系证明;
利用平行四边形性质证明;
利用线段的中垂线、角平分线性质证明;
利用图形翻折证明;
通过计算线段证明;
利用第三线段过渡证明。
例1:
如图,已知RT△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,AM=AN,
MN∥AC.求证:
MN=AC
②证明两角相等方法
利用全等三角形性质证明;
利用平行四边形性质证明;
利用等腰三角形性质证明;
利用平行线性质证明;
利用计算角度证明;
利用常用定理证明(如对顶角相等、同角或等角的余角或补角相等、圆的性质等)
例2:
如图:
已知在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于D,连结ED并延长ED到点F,使DF=DE,连FC.求证:
∠F=∠A
③证明两直线平行方法
利用平行线的判定证明;
利用平行四边形性质证明;
利用平行线的传递性证明;
例3:
如图:
已知∠1与∠2互补,∠A=∠D
求证:
AB∥CD
④证明两直线垂直方法
利用垂直定义证明;
利用邻补角的两角的平分线互相垂直证明;
利用三角形内角和证明;
利用等腰三角形性质证明;
利用垂径定理证明;
例4:
如图:
已知在△ABC中,AD⊥BC,M为BC的中点,
且∠BAD=∠DAM=∠MAC
求证:
∠BAC=90°
⑤证明线段的和差倍分方法
通过代数方法证明;
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明;
利用在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半证明;
利用截长补短法证明;
利用延短等长法证明;
例5:
如图:
已知在△ABC中,AD是BC上的高,∠B=2∠C,
求证:
AB+BD=DC
⑥证明角的和差倍分方法
利用三角形外角等于不相邻的两个内角和证明;
利用平行线性质证明;
通过代数方法证明;
通过题中的平行线、垂线中隐含的角与角间的联系证明。
例6:
如图:
已知MN∥PQ,AC⊥PQ,BD和AC交于点E,且
DE=2AB.求证:
∠ABC=3∠DBC
思考:
1.本学期学生学了函数,而函数和几何相结合的解答题是近年中考常见的题型,这是在我们今后的教学中要思考的问题。
2.开放性试题作为一种培养学生的创造性思维的题型,要求学生运用已学的数学知识和思想方法,通过对问题观察、比较、分析、概括去得出结论,在我们的课堂教学中应加以应用。
3.近年中考中的综合题,多数有探索的性质,对学生的动手操作、实验观察、逻辑推理等能力提出了高要求,而这是我们的学生最为缺乏的能力。
因此,我们应在教学逐步培养学生分析问题解决问题的能力。