小学数学素材奥数最全知识点汇总通用版.docx

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小学数学素材奥数最全知识点汇总通用版

小学奥数的知识点汇总

　　1、年龄问题的三大特征

　　年龄问题：

已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。

　　年龄问题的三个基本特征：

　①两个人的年龄差是不变的;②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;③两个人的年龄的倍数是发生变化的;

　　解题规律：

抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键。

　　例：

父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍?

　　⑴父子年龄的差是多少?

　　54–18=36（岁）

　　⑵几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍?

　　7-1=6

　　⑶几年前儿子多少岁?

　　36÷6=6（岁）

　　⑷几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍?

　　18–6=12（年）

　　答：

12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。

　　2、归一问题特点

　　归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

　　关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量;复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。

这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。

有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。

　　由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。

　　3、植树问题总结

　　植树问题

　　基本类型：

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树

　　封闭曲线上植树

　　基本公式：

　　棵数=段数+1

　　棵距×段数=总长

　　棵数=段数-1

　　棵距×段数=总长

　　棵数=段数

　　棵距×段数=总长

　　关键问题：

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

　　4、鸡兔同笼问题

　　基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;

　　基本思路：

　　①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

　　②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;

　　③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;

　　④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

　　基本公式：

　　①把所有鸡假设成兔子：

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

　　②把所有兔子假设成鸡：

兔数=（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

　　关键问题：

找出总量的差与单位量的差。

　　5、盈亏问题

　　基本概念：

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：

按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.

　　基本思路：

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量.

　　基本题型：

　　①一次有余数，另一次不足;

　　基本公式：

总份数=（余数+不足数）÷两次每份数的差

　　②当两次都有余数;

　　基本公式：

总份数=（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

　　③当两次都不足;

　　基本公式：

总份数=（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

　　基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

　　关键问题：

确定对象总量和总的组数。

　　6、牛吃草问题

　　基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

　　基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的;

　　关键问题：

确定两个不变的量。

　　基本公式：

　　生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）;

　　总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;

　　7、平均数问题

　　平均数

　　基本公式：

①平均数=总数量÷总份数

　　总数量=平均数×总份数

　　总份数=总数量÷平均数

　　②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数

　　基本算法：

　　①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

　　②基准数法：

根据给出的数之间的关系，确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②

　　8、周期循环数

　　周期循环与数表规律

　　周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

　　周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

　　关键问题：

确定循环周期。

　　闰年：

一年有366天;

　　①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;

　　平年：

一年有365天。

　　①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;

　　9、抽屉原理

　　抽屉原则一：

如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

　　例：

把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

　　①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

　　观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：

总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

　　抽屉原则二：

如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

　　①k=[n/m]+1个物体：

当n不能被m整除时。

　　②k=n/m个物体：

当n能被m整除时。

　　理解知识点：

[X]表示不超过X的最大整数。

　　例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

　　关键问题：

构造物体和抽屉。

也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

　　10、定义新运算

　　基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

　　基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

　　关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

　　注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

　　②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

　　11、数列求和

　　等差数列：

在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

　　基本概念：

首项：

等差数列的第一个数，一般用a1表示;

　　项数：

等差数列的所有数的个数，一般用n表示;

　　公差：

数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;

　　通项：

表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;

　　数列的和：

这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.

　　基本思路：

等差数列中涉及五个量：

a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

　　基本公式：

通项公式：

an=a1+（n-1）d;

　　通项=首项+（项数一1）×公差;

　　数列和公式：

sn,=（a1+an）×n÷2;

　　数列和=（首项+末项）×项数÷2;

　　项数公式：

n=（an+a1）÷d+1;

　　项数=（末项-首项）÷公差+1;

　　公差公式：

d=（an-a1））÷（n-1）;

　　公差=（末项-首项）÷（项数-1）;

　　关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式;

12、二进制及其应用

　　十进制：

用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。

所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

　　=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100

　　注意：

N0=1;N1=N（其中N是任意自然数）

　　二进制：

用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。

（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7

　　+……+A3×22+A2×21+A1×20

　　注意：

An不是0就是1。

　　十进制化成二进制：

　　①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。

　　②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。

　　13、加法原理

　　加法乘法原理和几何计数

　　加法原理：

如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：

m1+m2.......+mn种不同的方法。

　　关键问题：

确定工作的分类方法。

　　基本特征：

每一种方法都可完成任务。

　　乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：

m1×m2.......×mn种不同的方法。

　　关键问题：

确定工作的完成步骤。

　　基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。

　　直线：

一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

　　直线特点：

没有端点，没有长度。

　　线段：

直线上任意两点间的距离。

这两点叫端点。

　　线段特点：

有两个端点，有长度。

　　射线：

把直线的一端无限延长。

　　射线特点：

只有一个端点;没有长度。

　　①数线段规律：

总数=1+2+3+…+（点数一1）;

　　②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）;

　　③数长方形规律：

个数=长的线段数×宽的线段数：

　　④数长方形规律：

个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

　　14、质数与合数

　　质数：

一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

　　合数：

一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

　　质因数：

如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

　　分解质因数：

把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

　　分解质因数的标准表示形式：

N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1

　　求约数个数的公式：

P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×……×（rn+1）

　　互质数：

如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

　　15、约数与倍数

　　约数和倍数：

若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

　　公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

　　最大公约数的性质：

　　1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

　　2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

　　3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

　　4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

　　例如：

12的约数有1、2、3、4、6、12;

　　18的约数有：

1、2、3、6、9、18;

　　那么12和18的公约数有：

1、2、3、6;

　　那么12和18最大的公约数是：

6，记作（12，18）=6;

　　求最大公约数基本方法：

　　1、分解质因数法：

先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

　　2、短除法：

先找公有的约数，然后相乘。

　　3、辗转相除法：

每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

　　公倍数：

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

　　12的倍数有：

12、24、36、48……;

　　18的倍数有：

18、36、54、72……;

　　那么12和18的公倍数有：

36、72、108……;

　　那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;

　　最小公倍数的性质：

　　1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

　　2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

　　求最小公倍数基本方法：

1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法

　　16、数的整除

　　一、基本概念和符号：

　　1、整除：

如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

　　2、常用符号：

整除符号“|”，不能整除符号“”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;

　　二、整除判断方法：

　　1.能被2、5整除：

末位上的数字能被2、5整除。

　　2.能被4、25整除：

末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

　　3.能被8、125整除：

末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

　　4.能被3、9整除：

各个数位上数字的和能被3、9整除。

　　5.能被7整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

　　6.能被11整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

　　②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

　　7.能被13整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性质：

　　1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

　　2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

　　3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

　　17、余数及其应用

　　基本概念：

对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

　　余数的性质：

　　①余数小于除数。

　　②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

　　③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

　　④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

　　18、余数问题

　　余数、同余与周期

　　一、同余的定义：

　　①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

　　②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b（modm），读作a同余于b模m。

　　二、同余的性质：

　　①自身性：

a≡a（modm）;

　　②对称性：

若a≡b（modm），则b≡a（modm）;

　　③传递性：

若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）;

　　④和差性：

若a≡b（modm），c≡d（modm），则a+c≡b+d（modm），a-c≡b-d（modm）;

　　⑤相乘性：

若a≡b（modm），c≡d（modm），则a×c≡b×d（modm）;

　　⑥乘方性：

若a≡b（modm），则an≡bn（modm）;

　　⑦同倍性:

若a≡b（modm），整数c，则a×c≡b×c（modm×c）;

　　三、关于乘方的预备知识：

　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余数特征：

　　①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n（mod9）或（mod3）;

　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod11）;

　　五、费尔马小定理：

如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（modp）。

　　19、分数与百分数的应用

　　基本概念与性质：

　　分数：

把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

　　分数的性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

　　分数单位：

把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

　　百分数：

表示一个数是另一个数百分之几的数。

　　常用方法：

　　①逆向思维方法：

从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

　　②对应思维方法：

找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

　　③转化思维方法：

把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。

最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。

常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

　　④假设思维方法：

为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。

　　⑤量不变思维方法：

在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。

有以下三种情况：

A、分量发生变化，总量不变。

B、总量发生变化，但其中有的分量不变。

C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

　　⑥替换思维方法：

用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

　　⑦同倍率法：

总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

　　⑧浓度配比法：

一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

20、分数大小的比较

　　分数大小的比较

　　基本方法：

　　①通分分子法：

使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

　　②通分分母法：

使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。

　　③基准数法：

确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

　　④分子和分母大小比较法：

当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。

　　⑤倍率比较法：

当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。

（具体运用见同倍率变化规律）

　　⑥转化比较方法：

把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

　　⑦倍数比较法：

用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

　　⑧大小比较法：

用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

　　⑨倒数比较法：

利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

　　⑩基准数比较法：

确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

　　21、完全平方数

　　完全平方数特征：

　　1.末位数字只能是：

0、1、4、5、6、9;反之不成立。

　　2.除以3余0或余1;反之不成立。

　　3.除以4余0或余1;反之不成立。

　　4.约数个数为奇数;反之成立。

　　5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

　　6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

　　7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

　　平方差公式：

X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

　　完全平方和公式：

（X+Y）2=X2+2XY+Y2

　　完全平方差公式：

（X-Y）2=X2-2XY+Y2

　　22、比和比例

　　比：

两个数相除又叫两个数的比。

比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。

　　比值：

比的前项除以后项的商，叫做比值。

　　比的性质：

比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。

　　比例：

表示两个比相等的式子叫做比例。

a:

b=c:

d或

　　比例的性质：

两个外项积等于两个内项积（交叉相乘），ad=bc。

　　正比例：

若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。

　　反比例：

若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。

　　比例尺：

图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

　　按比例分配：

把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

　　23、综合行程问题

　　综合行程

　　基本概念：

行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

　　基本公式：

路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间

　　关键问题：

确定运动过程中的位置和方向。

　　相遇问题：

速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

　　追及问题：

追及时间=路程差÷速度差（写出其他公式）

　　流水问题：

顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

　　逆水行程=（船速-水速）×逆水时间

　　顺水速度=船速+水速

　　逆水速度=船速-水速

　　静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

　　水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

　　流水问题：

关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

　　过桥问题：

关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

　　主要方法：

画线段图法

　　基本题型：

已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。

　　24、工程问题

　　基本公式：

　　①工作总量=工作效率×工作时间

　　②工作效率=工作总量÷工作时间

　　③工作时间=工作总量÷工作效率

　　基本思路：

　　①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）;

　　②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.

　　关键问题：

确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

　　经验简评：

合久必分，分久必合。

　　25、逻辑推理问题

　　逻辑推理

　　基本方法简介：

　　①条件分析—假设法：

假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。

例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。

　　②条件分析—列表法：

当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。

列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。

　　③条件分析——图表法：

当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。

例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。

　　④逻辑计算：

在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

　　⑤简单归纳与推理：

根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并