版高中数学必修二同步讲义人教A版13空间几何体的表面积与体积第1课时Word版含答案.docx

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版高中数学必修二同步讲义人教A版13空间几何体的表面积与体积第1课时Word版含答案

第1课时　柱体、锥体、台体的表面积

学习目标　1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题．

知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积

思考1　正方体与长方体的展开图如图

（1）

（2）所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？

答案　相等．

思考2　棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？

答案　是．

梳理　

图形

表面积

多面体

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积

知识点二　圆柱、圆锥、圆台的表面积

思考1　圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？

表面积为多少？

答案　S侧＝2πrl，

S表＝2πr（r＋l）．

思考2　圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？

表面积为多少？

答案　底面周长是2πr，利用扇形面积公式得

S侧＝×2πrl＝πrl，

S表＝πr2＋πrl＝πr（r＋l）．

思考3　圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？

表面积为多少？

答案　如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，

如图，＝，解得

x＝l.

S扇环＝S大扇形－S小扇形

＝（x＋l）×2πR－x·2πr

＝π[（R－r）x＋Rl]＝π（r＋R）l，

所以S圆台侧＝π（r＋R）l，

S圆台表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2）．

梳理　

图形

表面积公式

旋

转体

圆柱

底面积：

S底＝2πr2

侧面积：

S侧＝2πrl

表面积：

S＝2πr（r＋l）

圆锥

底面积：

S底＝πr2

侧面积：

S侧＝πrl

表面积：

S＝πr（r＋l）

圆台

上底面面积：

S上底＝πr′2

下底面面积：

S下底＝πr2

侧面积：

S侧＝π（r′l＋rl）

表面积：

S＝π（r′2＋r2＋r′l＋rl）

类型一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积

例1　

（1）如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°.侧棱长为b，则其侧面积为（　　）

A.abB.ab

C．（＋）abD.ab

答案　C

解析　斜棱柱的侧面积等于各个侧面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形．由题意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形．∵AB＝AC＝a，∴BC＝a.

∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，AA1＝b，

∴＝absin60°＝ab.

又∵∠BB1C1＝90°，∴侧面BB1C1C为矩形，

∴＝ab，

∴S斜三棱柱侧＝ab＋ab＋ab＝（＋）ab.

故选C.

（2）已知正四棱台（上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．

解　如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE、O1E1，

则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3.

过E1作E1H⊥OE，垂足为H，

则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，

HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.

在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，

所以E1E＝3.

所以S侧＝4××（B1C1＋BC）×E1E

＝2×（6＋12）×3＝108.

引申探究

本例

（2）中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？

解　如图，将正四棱台的侧棱延长交于一点P.

取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点．O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，

且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6，

则有＝＝，

即＝，所以PO1＝O1O＝12.

在Rt△PO1E1中，PE＝PO＋O1E＝122＋32＝153，

在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝612，

所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3.

所以S侧＝4××（BC＋B1C1）×E1E

＝2×（12＋6）×3＝108.

反思与感悟　棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解．

跟踪训练1　已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．

解　由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，

且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2，

取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，

所以VD＝＝＝，

则S△VBC＝VD·BC＝××2＝，

S△ABC＝×

（2）2×＝3，

所以三棱锥V－ABC的表面积为

3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3（＋）．

类型二　圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积

例2　

（1）已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，则圆锥的侧面积为________．

答案　

解析　设圆柱的高为h，则2πrh＝S，∴h＝.

设圆锥的母线为l，∴l＝＝.

∴圆锥的侧面积为πrl＝πr＝.

（2）圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________．（结果中保留π）

答案　1100πcm2

解析　如图所示，设圆台的上底面周长为c，

因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，

所以SA＝20，同理可得SB＝40，

所以AB＝SB－SA＝20，

所以S表面积＝S侧＋S上＋S下

＝π（r1＋r2）·AB＋πr＋πr

＝π（10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1100π（cm2）．

故圆台的表面积为1100πcm2.

反思与感悟　解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．

跟踪训练2　

（1）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

解析　设圆柱的母线长为l，∴l＝2πr，r＝，

则圆柱的表面积为2πr2＋l2＝2π＋l2＝l2，侧面积为l2，

∴圆柱的表面积与侧面积的比是l2∶l2＝.

故选A.

（2）轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的（　　）

A．4倍B．3倍C.倍D．2倍

答案　D

解析　设圆锥底面半径为r，由题意知母线长l＝2r，则S侧＝πr×2r＝2πr2，∴＝＝2.

类型三　简单组合体的表面积

例3　如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．20πB．24πC．28πD．32π

答案　C

解析　由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.

反思与感悟　求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．

跟踪训练3　某几何体的三视图（单位：

cm）如图所示，则此几何体的表面积是______cm2.

答案　7＋

解析　其直观图如图．

由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体，

∴其表面积S＝6×（1×1）＋2××1×1＋1×＝7＋.

1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（　　）

A.B．πSC．2πSD．4πS

答案　B

解析　∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，

∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，

∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS.

故选B.

2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D－A1BC1的棱长为，表面积为4××sin60°×＝2，∴正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是，故选B.

3．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为（　　）

A．100πB．81πC．169πD．14π

答案　A

解析　∵圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r和4r，由100＝（4r）2＋（4r－r）2，得r＝2，故圆台的侧面积等于π（r＋4r）×l＝π（2＋8）×10＝100π，故选A.

4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．

答案　2

解析　设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，∴r＝1，即圆锥的底面直径为2.

5．直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积．

解　设此直角三角形为ABC，AC＝20，BC＝15，AC⊥BC，则AB＝25.

过C作CO⊥AB于点O，直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥

（1），它的下部是圆锥

（2），两圆锥底面圆相同，其半径是OC，且OC＝＝12，圆锥

（1）的侧面积S1＝π×12×20＝240π，圆锥

（2）的侧面积S2＝π×12×15＝180π.旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和，即S＝S1＋S2＝420π.

1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．

2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．

3．S圆柱表＝2πr（r＋l）；S圆锥表＝πr（r＋l）；S圆台表＝π（r2＋rl＋Rl＋R2）．

课时作业

一、选择题

1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（　　）

A．πB．2π

C．3πD．4π

答案　C

解析　设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，∴圆锥的表面积为S＝π×1×（1＋2）＝3π.

2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为（　　）

A．2B．2C．4D．8

答案　C

解析　圆台的轴截面如图所示，

由题意知，l＝（r＋R），

S圆台侧＝π（r＋R）·l＝π·2l·l＝32π，

∴l＝4.

3．正四棱台的两底边长分别为1cm,2cm，高是1cm，它的侧面积为（　　）

A．6cm2B.cm2C.cm2D．3cm2

答案　D

解析　∵四棱台的两底边长分别为1cm,2cm，高是1cm，

∴上底边到上底中心的距离是cm，下底边到下底中心的距离是1cm，

那么梯形的高，就是斜高为＝（cm），

一个梯形的面积就是（1＋2）×＝（cm2），

∴棱台的侧面积S＝3（cm2）．

故选D.

4．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为（　　）

A．80B．24＋88

C．24＋40D．118

答案　B