高等数学第17章第1节可微性.docx
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高等数学第17章第1节可微性
第十七章多元函数微分学
§1可微性
一可微性与全微分
与一元函数一样,在多元函数微分学中,主要讨论多元函数的可微性及其应用•本章首
先建立二元函数可微性概念,至于一般n元函数的可微性不难据此相应地给出(对此,在第
二十三章有更详细的论述).
定义1设函数z=f(x,y)在点Pox。
」。
的某领域U(P。
)内有定义,对于U(P。
)中的点P(x,y)=(xo•y。
ry),若函数f在点Po处的全增量z可表示为:
■■z=f(x。
:
=x,y。
「:
y)-f(x,y)
二A:
xB:
yo(J
(1)
其中A,B是仅与点Po有关的常数,tAx?
•.Vy2,oCJ是较t高阶的无穷小量,则称函
数f在点Po可微,并称
(1)式中关于勺的线性函数A.lxBy为函数f在点Po的全微分,记作
dz|P°=df(x°,y。
)=A^x+B也y
(2)
由
(1)
(2)可见dz是z的线性主部,特别当:
x^y充分小时,全微分dz可作为全增量z
的近似值,即
f(x,y):
f(x。
,y。
)A(x-x。
)B(y-y。
).(3)
在使用上,有时.也把1式写成如下形式
lz=AlxB=y:
」■lx二y,(4)
这里
例1考察函数f(x,y)二xy在点(x0,y。
)处的可微性.
解在点(x°,y。
)处函数f的全增量为
fxo,y。
=(x。
:
x,y。
y)-x°,y。
二y。
二xx。
二y二x^y.
由于
也xAy|lA^Ayl
——=p―0(Pt0]PPP
因此xiy=op.从而函数f在xo,y。
可微,且
df二y。
:
xx。
y.□
二偏导数
由一元函数微分学知道:
若fx在点x。
可微,则函数增量f(x。
「汶)「f(x。
)=Axox,其中止二f'x。
.同样,由上一段已知,若二元函数f在点(x°,y。
)可微,则f在点(x。
,y。
)处的全增量可由
(1)式表示.现在讨论其中A、B的值与函数f的关系.为此,在(4)式中令-y=。
心。
,这时得到「辽关于x的偏增量厶xZ,且有
AAxz
厶xz=A.X:
-.x或-A件二.
Ax
现让x>0,由上式便得A的一个极限表示式
xZ「f(Xo•xyo)-f(xo,yo)
A二limlim
ZAx
容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数fx,y0在x=x0处的导数.类似地,令ex=0上y=0,由(4)式又可得到
yz「f(xo,y°y)-f(xo,yo)
B=limlim
23A^oAy
它是关于y的一元函数fx°,y在y=y°处的导数.
二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为偏导数,定义如下:
定义2设函数z=f(x,y),(x,y)•D.若(x°,y°)•D,且fx,y在x°的某一邻域内有定义,则当极限
limJf(xo,yo)_limf(X。
:
x,y。
)一f(xo,y。
)
匚J0=x4Q_x
存在时,称这个极限为函数f在点(x0,y0)关于x的偏导数,记作
d
注意1这里符号—,—专用于偏导数算符,与一兀函数的导数符号相仿,但又有
:
x;:
ydx
函数z=f(x,y)在区域D上对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),记作
fx(x,y)或込!
fy(x,y或5)
也可简单地写作fx,
.:
f
zx或~fy,zy或~~
cy•丿
z=f(x,y)的几何图象通常是三维空间中的曲面•设
ex\
在上一章中已指出,二元函数
Poxo,yo,zo为这曲面上一点,其中Zo=f(xo,yo),过
Po作平面y=y°,它与曲面的交线
y=yo,
]Z=f(x,y)
是平面y二yo上的一条曲线。
于是,二元函数偏导数的几
何意义(如图17-1)是:
fx(xo,yo)作为一元函数f(x,yo)在x=x°的导数,就是曲线C在点Po处的切线Tx对于x轴的斜率,即Tx与x轴正向所成倾角的正切tana。
同样,
fy(Xo,y°)是平面x=Xo与曲面z=f(x,y)的交线
C:
丿
X=Xo,
z=f(x,y)
在点Po处的切线Ty关于y轴的斜率tan1.
由偏导数的定义还知道,函数f对哪一个自变量求偏导数,是先把其他自变量看作常
数,从而变成一元函数的求导问题。
因此第五章中有关求导的一些基本法则,对多元函数求偏导数仍然适用。
323
例2求函数f(x,y)=x•2xy-y在点(1,3)关于x和关于y的偏导数.
解先求f在点(1,3)关于x的偏导数,为此,令y=3,得到以x为自变量的函数
32
f(x,3)=x6x-27,求它在x=1的导数,即
通常为可分别先求出f关于x和y的偏导函数:
2fx(x,y)=3x4xy,fx(x,y)=2x2—3y2.
然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样结果.例3求函数z=xyx0的偏导数.解
氐y4EZyln
y•x,xinx.
.x;:
y
例4求三元函数u=sin(x•y2-ez)的偏导数.
解把y和z看作常数,得
=cos(xy2-ez).
;:
u
:
x
把x,z看作常数,得
-u
'2ycos(xy2-ez).
■:
y
把x,y看作常数,得
—--ezcos(xy2_ez)
(5),(6)两式可得如下定理:
三可微性条件由偏导数定义及
定理17.7(可微的必要条件)若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微,则f
在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且1式.中的
A二fx(xo,yo),B二fy(xo,yo)
依此函数f在点(x°,y°)的全微分
(2)可惟一表示为
dfLxo,yo)=fx(Xo,yo)xfy(Xo,yo)「y
与一元函数的情况一样,由于自变量的增量等于自变量的微分,即
.:
x=dx,.:
y=dy,
所以全微分又可写成为
若函数f在区域全微分为
dz=fx(x0,y°)dxfy(x0,y0)dy.
D上每一点(x,y)都可微,则称函数f在区域D上可微,
(8)
df(x,y)二fx(x,y)dxfy(x,y)dy.
例5考察函数
侮沪八,/宀0,
0,x2+y2=0
在原点的可微性.
f"叭讪口巾
力)ox
解按偏导数定义
□0,。
)测&
同理可得fy0,0=0。
若函数f在原点可微,贝U
•:
z-dz=f(0•:
x,0•:
y)-f(0,0)-fX(0,0).:
x-fy(0,0).:
y
lx=y
2
应是较『二、匕X2Ly2高阶的无穷小量.为此,考察极限
也z—dz广也xAy
limlim.——22,
甘pg.Ax2+Ay2
由第十'六章§2例3知道,上述极限存在,因而函数f在原点不可微。
这个例子说明,偏导数即使存在,函数也不一定可微(但对于一元函数来说,函数可
微与导数存在是等价的).
定理17.2(可微的充分条件)若函数z=f(x,y)的偏导数在点(x0,y0)的某邻域内
存在,且fx与fy在点(Xo,yo)处连续,则函数f在点(Xo,yo)可微.
证我们把全增量厶z写作
z二f(xo=x,yo=y)-f(Xo,y°)
=f(X。
:
x,y°:
y)-f(xo,y°y)】
+〔f(xo,y。
My)f(xo,yo).
在第一个括号里,它是函数f(x.,y。
•厶y)关于x的偏增量;第二个括号里,则是函数
f(xo,y)关于x的偏增量。
对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,得
△z=fx(x。
+8Qx,yo+Ay)Ax+fy(xo,y。
+02纫)®
0:
:
片,丁21
由于fx与fy在点(Xo,yo)连续,因此有
fx(Xo+
fy(Xo,yo*’y)二fy(Xo,y°):
,
其中当C;x,Cy)》o,o时,〉>oj>o将io、11代入(9)式,则得Z二fx(Xo,y。
):
xfy(Xo,y。
)y:
Xdy.
由4式便知函数f在点(x0,y0)可微。
根据这个定理,例2中的函数f(x,y)=x32x2y-y3在点1,3可微,且df|(1,3)=15dx—25dy.
例3中的函数z=xy在D-x,y|x•0,-:
:
:
:
:
y:
:
:
•:
:
:
上可微,且
dz=yxy」dxxylnxdy.
f(x,y』
注意偏导数连续并不是函数可微的必要条件,如函数
22.122
ysin——22,xy-0,
0,x2y2=0
在原点(0,0)处可微,但fx与fy却在(0,0)处不连续(见本节习题7)。
若z=f(x,y)在点
(X0,y°偏导数fx,fy连续,则称在点(X0,y°)连续可微。
在定理17.2证明过程中所出现的(9)式,实际上是二元函数的一个中值公式,即有如
下定理:
定理17.3设函数f在点(x0,y0)的某邻域内存在偏导数,若(x,y)属于该邻域,则存
在=X。
二1x-X。
和=y°•ry-y°,0:
:
:
宀,七:
:
:
1,使得
fX,y-fx°,y°=fx,yX-X。
fyX。
,y-y。
•(12)
我们还可以从可微性概念看到,函数在可微点处函数必连续,但在函数的连续点处不
一定存在偏导数,当然它更不能保证函数在该点可微。
例如,函数fx,y=x2y2(圆
锥)在原点连续,但在该点不存在偏导数。
更值得注意的是,即使函数在某一点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。
例如,
f
f(x,y)=*
xy22^
.2*2,x+y式0,
x+y
0,x2+y2=0
在原点不连续,但却存在偏导数
fx0,0二讥一X0,fy0,0二0.
这是因为偏导数只是刻画了函数沿x轴或y轴方向的变化特征.所以这个例子只能说明f
在原点分别对x和对y必定连续,但由此并不能保证f作为二元函数在原点连续.与定理
17.2相仿,只有对偏导数附加适当的条件后,才能保证函数连续性(有关内容可从本节习题
中去找).
四可微性几何意义及应用
一元函数可微,在几何上反映为曲线存在不平行于y轴的切线.对于二元函数来说,可
微性则反映为曲面与切平面之间的类似关系.为此,我们需要先给出曲面的切平面的定义,
这可以从曲线的切线定义中获得启发.
在第五章§1中,我们曾把平面曲线S在某一点Px0,y0的切线PT定义为过P点的割线PQ当Q沿S趋近P时的极限位置(如果存在的话).这时,PQ与PT的夹角也将随Q>P而趋于零(图17-2).由于
h
sin,
d
其中h和d分别表示点Q到直线PT的距离和Q到P的距离,因此当Q沿S趋于P时,「》0
等同于h>0.
d
仿照这个想法,我们引入曲面S在点P的切平面定义:
定义3设P在曲面S上一点n,为通过点P的一个平面,曲面S上的动点Q到定点P和到平面n的距离分别为d与h(图17-3)。
.若当Q在S上以任何方式趋近于P时,恒有
—>0,则称平面n为曲面S在点P处的切平面,P为切点.
d
定理17.4曲面z=f(x,y)在点P(xo,yo,f(Xo,yo))存在不平行于z轴的切平面n的充要条件是函数f在点Po(x0,y0)可微.
证[充分性]若函数f在Po可微,由定义知
•:
z二Z-Z。
二fx(Xo,yo)(x-Xo)fy(xo,yo)(y-y°)。
(门,
22
其中Zo二f(X。
,y°),;=(x-X。
),(y-yo)••现在讨论过点P(x°,yo,Zo)的平面Z-Zo=fx(Xo,y°)(x-Xo)•fy(Xo,yo)(Y-y。
),
其中X,Y,Z是平面上点的流动坐标.我们证明它就是曲面z=f(x,y)在点P的切平面n。
事实上,由解析几何学知道,曲面上任意一点Q(x,y,z)到这个平面的距离为
|z-zo-fx(xo,y°)(x-X。
)-fy(xo,y°)(y-yo)
h=
22
.'Vfx(Xo,y°)fy(Xo,y°)
_o(p)|
\h+fx2(Xo,yo)+fy2(Xo,yo)
另一方面,P到Q的距离为
于是由h_o及
d
hh
—<—
d?
d=..(x—Xo)2(y—yo)2(z—Zo)2二..'2(z—Zo)2一厂
oJ1
PJ+fx2(Xo,yo)+fy2(Xo,yo)
根据定义3,平面n为曲面z=f(x,y)在点P的切平面.
[必要性]若曲面z=f(x,y)在P(xo,yo,f(xo,yo))存在不平行于z轴的切平面
Z-Zo=A(X-Xo)B(Y-yo).
z—Zo—A(x—x°)—B(y-y°)|
1A2B2
Q充分接
令x—x0-,x,y—y0二:
■:
y,z-z0-:
■:
z,「-.:
:
x^二y2.由切平面定义知,当近P时,有卫_;0。
因此对于充分接近P的Q,有
d
hz-Ax-By1
dd.1A2B22JA2B2
即
Ibz-AAx_BAy|cd=丄£Ax2+Ay2+Az2=丄JP2十民2.
222
由不等式a-b兰a—b得
•迂-A制|B|卜y:
:
:
〉"rz2W,z,
故有
11
理zVAQxl+IBQy+^P,
而且
曽<2(A曽+|B甲)+1<2(A+|B)+1,
.z
因此是有界量,从而由
p
知d是有界量,于是当—0时,有
_z=AlxBiyo.
这就证明了函数z二f(x,y)在点(X0,y°)是可微的。
口
定理17.4说明:
若函数f在(X。
,y°)可微,则曲面z=f(x,y)在点P(X0,y°,z°)处的切平面方程为
z-Z。
二fx(x。
,y°)(x-x°)fy(X0,y0)(y-y°).(13)
过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的法线.由切平面方程知道,法线的方
向数是
-(fx(x0,Y0),fy(x0,Y0)^1),
所以过切点P的法线方程是
(x-X。
)_(y-y°)=z-z°
fx(X0,y°)fy(X0,y°)-1
17—4所示,当自变量增量为:
x^:
y时,函数
f(x,y)在点(Xo,y°)的全微分
二元函数全微分的几何意义如图
z=f(x,y)增量心z是竖坐标上的一段NQ而二元函数z=
dz=fx(x°,y°).:
xfy(x°,yo).:
y
的值是过P的切平面二二hw上,当自变量x,y分别Xo,y。
由增加到X。
xy。
y时的增量,即
Pt
那一段,于是z与dz之差是MQ它的值随着而趋于零,而且是较匸高阶的无穷小量.
例6试求抛物面z-ax2by2在
M(xo,yo,zo)处的切平面方程与法线方程。
解因为
fx(X0,y°)=2ax°,fy(x0,y°)=2by°,
由公式(13),过M的切平面方程为
1.083.96二f(x。
.xy。
・:
y)
:
f(1,4)fx(1,4).,xfy(1,4):
y
=1440.0814Jn1.(—Og)
=10.32=1.32
1
8应用公式SabsinC计算某三角形面积,
2
a=12.50,b=8.30,C=30°•若测量a,b的误差为-0.01,C的误差为-0.1°,求用此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.
ji
1800
解依题意,测量中a,b,C的绝对误差限分别为
a=0.01,b=0.01,C=0.1
由于
cS
cS
SS—
dS
=
也a十
——山b+
AC
ca
cb
cC
S二
cS
.,cS
.,1cS1._
〔△a+
3d
△C
<
asinc|9b
1
=—|bsinc|#a
1
+—|abcosC|AC,2
因为
S:
0.13.
S
所以S的相对误差限为
111
absinC12.50*8.3025.94.
222
作业布置:
P1161
:
S
S
0.13
25.94
0.5%.
(7);
P1177.