极限证明精选多篇.docx
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极限证明精选多篇
极限证明（精选多篇）
第一篇：
极限证明
极限证明
1.设f（x）在（?
?
?
?
）上无穷次可微，且f（x）?
?
（xn）（n?
?
?
），求证当k?
n?
1时，?
x，limf（k）（x）?
0．x?
?
?
2.设f（x）?
?
0sinntdt，求证：
当n为奇数时，f（x）是以2?
为周期的周期函数；当n为
偶数时f（x）是一线性函数与一以2?
为周期的周期函数之和．x
f（n）（x）?
0．?
{xn}?
3.设f（x）在（?
?
?
?
）上无穷次可微；f（0）f?
（0）?
0xlim求证：
n?
1，?
?
?
?
n，0?
xn?
xn?
1，使f（n）（xn）?
0．
sin（f（x））?
1．求证limf（x）存在．4.设f（x）在（a,?
?
）上连续，且xlim?
?
?
x?
?
?
5.设a?
0,x1?
2?
a,xn?
1?
2?
xn,n?
1,2?
证明权限limn?
?
xn存在并求极限值。
6.设xn?
0,n?
1,2,?
.证明：
若limxn?
1?
x,则limxn?
x.n?
?
xn?
?
n
7.用肯定语气叙述：
limx?
?
?
f?
x?
?
?
?
.
8.a1?
1,an?
1?
1,求证：
ai有极限存在。
an?
1
t?
x9.设函数f定义在?
a,b?
上，如果对每点x?
?
a,b?
极限limf?
t?
存在且有限（当x?
a或b时，
为单侧极限）。
证明：
函数f在?
a,b?
上有界。
10.设limn?
?
an?
a,证明：
lima1?
2a2?
?
?
nana?
.n?
?
2n2
11.叙述数列?
an?
发散的定义，并证明数列?
cosn?
发散。
12.证明：
若?
?
?
af?
x?
dx收敛且limx?
?
?
f?
x?
?
?
，则?
?
0.
11?
an?
收敛。
?
n?
1,2,?
.求证：
22an?
1an13.a?
0,b?
0.a1?
a,a2?
b,an?
2?
2?
n
14.证明公式?
k?
11k?
2n?
c?
?
n，其中c是与n无关的常数，limn?
?
?
n?
0.
15.设f?
x?
在[a,?
?
）上可微且有界。
证明存在一个数列?
xn?
?
[a,?
）,使得limn?
?
xn?
?
?
且limn?
?
f’?
xn?
?
0.
16.设f?
u?
具有连续的导函数，且limu?
?
?
f’?
u?
?
a?
0,d?
?
x,y?
|x2?
y2?
r2,x,y?
0
?
?
?
r?
0?
.
i
?
1?
证明：
limu?
?
f?
u?
?
?
?
;?
2?
求ir?
?
?
f’?
x2?
y2?
dxdy;?
3?
求limr2
r?
?
d
r
17.设f?
x?
于[a,?
?
）可导，且f’?
x?
?
c?
0?
c为常数?
证明：
?
1?
limx?
?
?
f?
x?
?
?
?
;?
2?
f?
x?
于[a,?
?
）必有最小值。
18.设limn?
?
?
an?
a,limn?
?
?
bn?
b,其中b?
0,用?
?
n语言证明lim
ana?
.
n?
?
?
bbn
?
sn?
x?
?
19.设函数列?
sn?
x?
?
的每一项sn?
x?
都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，
在u?
?
x0?
内闭一致收敛于s?
x?
又limn?
?
sn?
x0?
?
?
?
证明：
lims?
x?
?
?
?
.
x?
x0
20.叙述并证明limx?
?
?
f?
x?
存在且有限的充分必要条件?
柯西收敛原理?
?
?
a
23.设?
f（x）=0.证明xlimf（x）dx收敛,且f（x）在?
a,?
?
?
上一致连续，?
?
?
24.设a1>0，an?
1＝an＋，证明＝1nan25.设f?
x?
在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?
h?
与m?
h?
分别表示f?
x?
在
?
a?
h,a?
h?
上的上、下确界，又设?
hn?
是一趋于0的递减数列，证明：
1）limn?
?
m?
hn?
与limn?
?
m?
hn?
都存在；
2）limn?
0m?
h?
?
limn?
?
m?
hn?
limn?
0m?
h?
?
limn?
?
m?
hn?
;
3）f?
x?
在x?
（本文来源好）a处连续的充要条件是llimn?
?
m?
hn?
?
imn?
?
m?
hn?
26设?
xn?
满足：
|xn?
1?
xn|?
|qn||xn?
xn?
1|,|qn|?
r?
1|,证明?
xn?
收敛。
27.设an?
a,用定义证明:
limn?
?
?
an?
a
28.设x1?
0，xn?
1?
31?
xn
（n?
1,2,?
），证明limxn存在并求出来。
n?
?
3?
xn
?
?
29.用“?
?
?
语言”证明lim30.设f（x）?
（x?
2）（x?
1）
?
0
x?
1x?
3
x?
2
，数列?
xn?
由如下递推公式定义：
x0?
1，xn?
1?
f（xn），（n?
0，x?
1
n?
?
1，2，?
），求证：
limxn?
2。
31.设fn（x）?
cosx?
cos2x?
?
?
cosnx，求证：
（a）对任意自然数n，方程fn（x）?
1在[0,?
/3）内有且仅有一个正根；
（b）设xn?
[0,1/3）是fn（x）?
1的根，则limxn?
?
/3。
n?
?
32.设函数f（t）在（a,b）连续，若有数列xn?
a,yn?
a（xn,yn?
（a,b））使
limf（xn）?
a（n?
?
）及limf（yn）?
b（n?
?
），则对a，b之间的任意数?
，
可找到数列xn?
a，使得limf（zn）?
?
33.设函数f在[a,b]上连续，且
f?
0,记fvn?
f（a?
v?
n）,?
n?
?
exp{
b?
a
，试证明：
n
1b
lnf（x）dx}（n?
?
）并利用上述等式证明下?
ab?
a
式
2?
?
2?
ln（1?
2rcosx?
r2）dx?
2lnr（r?
1）
f（b）?
f（a）
?
k
b?
a
34.设f‘（0）?
k,试证明lim
a?
0?
b?
0?
35.设f（x）连续，?
（x）?
?
0f（xt）dt，且lim
x?
0
论?
’（x）在x?
0处的连续性。
f（x）
，求?
’（x），并讨?
a（常数）
x
36．给出riemann积分?
af（x）dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛
i1
lim?
（）s。
n?
?
ni?
0n
?
x322
x?
y?
0?
2
37.定义函数f?
x?
?
?
x?
y2.证明f?
x?
在?
0,0?
处连续但不可微。
?
0,x?
y?
0?
n?
1
b
38.设f是?
0,?
?
上有界连续函数，并设r1,r2,?
是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?
使得：
limn?
?
?
f?
xn?
rn?
?
f?
xn?
?
?
0.
39.设函数f?
x?
在x?
0连续，且limx?
0
f?
2x?
?
f?
x?
?
a,求证：
f’?
0?
存在且等于a.
x
1n
40.无穷数列?
an?
?
bn?
满足limn?
?
an?
a,limn?
?
bn?
b,证明:
lim?
aibn?
1-i?
ab.
n?
?
ni?
1
41.设f是?
0,?
?
上具有二阶连续导数的正函数，且f’?
x?
?
0,f’’有界，则limt?
?
f’?
t?
?
0
42.用?
?
?
分析定义证明limt?
?
1
x?
31
?
x2?
92
43.证明下列各题
?
1?
设an?
?
0,1?
，n?
1,2,?
试证明级数?
2nann?
1?
an?
n收敛；
n?
1
?
?
2?
设?
an?
为单调递减的正项数列，级数?
n2014an收敛，试证明limn2014an?
0;
n?
?
n?
1
?
?
3?
设f?
x?
在x?
0附近有定义，试证明权限limx?
0f?
x?
存在的充要条件是：
对任何趋于0的数列?
xn?
?
yn?
都有limn?
?
?
f?
xn?
?
f?
yn?
?
?
0.
?
1?
44.设?
an?
为单调递减数列的正项数列，级数?
anln?
1?
an?
0?
?
?
收敛，试证明limn?
?
n?
n?
1?
a?
1。
45.设an?
0，n=1,2，an?
a?
0,（n?
?
）,证limn
n?
?
?
46.设f为上实值函数，且f
（1）＝1，f?
（x）＝〔1，＋?
〕
limf（x）存在且小于1＋。
x?
＋?
4
，证明x?
1）2
x2＋f（x）
?
47.已知数列{an}收敛于a，且
a?
a?
?
?
asn?
，用定义证明{sn}也收敛于a
n
48.若f?
x?
在?
0,?
?
?
上可微，lim
n?
?
f（x）
?
0，求证?
0,?
?
?
内存在一个单
x?
?
x
调数列{?
n}，使得lim?
n?
?
?
且limf?
（?
n）?
0
n?
?
x?
?
e?
sinx?
cosx?
x?
0
49.设f?
x?
?
?
2,确定常数a,b,c,使得f’’?
x?
在?
?
?
?
?
处处存在。
?
?
ax?
bx?
c,x?
0
第二篇：
极限的证明
极限的证明利用极限存在准则证明：
（1）当x趋近于正无穷时，（inx/x）的极限为0;
（2）证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1）用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x>0,故lnx/x>0
且lnx1）,lnx/x故（inx/x）的极限为0
2）用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,xn-x（n-1）=/2且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为a,xn和x（n-1）极限都为a.
对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a
同理可求x0综上,数列极限存在,且为√
（一）时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义（和.）
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
（二）时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证（类似有（三）单侧极限:
1.定义：
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质（3学时）
教学目的：
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：
掌握函数极限的基本性质：
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：
函数极限的性质及其计算。
教学难点：
函数极限性质证明及其应用。
教学方法：
讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性（不等式性质）:
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
（只证“+”和“”）
（二）利用极限性质求极限：
已证明过以下几个极限：
（注意前四个极限中极限就是函数值）
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1（利用极限和）
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第三篇：
数列极限的证明
数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|xn+1-a|以此类推，改变数列下标可得|xn-a||xn-1-a|……
|x2-a|向上迭代，可以得到|xn+1-a|2
只要证明{x（n）}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x（n）}单调增加。
x
（2）=√=√5>x
（1）;
设x（k+1）>x（k），则
x（k+2）-x（k+1））=√-√（分子有理化）
=/【√+√】>0。
②证明{x（n）}有上界。
x
（1）=1设x（k）x（k+1）=√3
当0
当0
构造函数f（x）=x*a（0
令t=1/a，则：
t>1、a=1/t
且，f（x）=x*（1/t）=x/t（t>1）
则：
lim（x→+∞）f（x）=lim（x→+∞）x/t
=lim（x→+∞）（分子分母分别求导）
=lim（x→+∞）1/（t*lnt）
=1/（+∞）
=0
所以，对于数列n*a
，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
（1）lim=0
n→∞
（2）lim=3/2
n→∞
（3）lim=0
n→∞
（4）lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。
。
。
lim就省略不打了。
。
。
n/（n+1）=0
√（n+4）/n=1
sin（1/n）=0
实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行
第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则（不知楼主学了没，没学的话以后会学的）
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin（1/n）=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/（n+1）=lim（1/n）/（1+1/n）=lim（1/n）/（1+lim（1+n）=0/1=0
lim√（n+4）/n=lim√（1+4/n）=√1+lim（4/n）=√1+4lim（1/n）=1
limsin（1/n）=lim=lim（1/n）*lim/（1/n）=0*1=0
第四篇：
函数极限的证明
函数极限的证明
（一）时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义（和.）
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
（二）时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证（类似有（三）单侧极限:
1.定义：
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质（3学时）
教学目的：
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：
掌握函数极限的基本性质：
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：
函数极限的性质及其计算。
教学难点：
函数极限性质证明及其应用。
教学方法：
讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性（不等式性质）:
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
（只证“+”和“”）
（二）利用极限性质求极限：
已证明过以下几个极限：
（注意前四个极限中极限就是函数值）
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1（利用极限和）
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第五篇：
函数极限证明
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