辛雷数学.docx

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辛雷数学

定义：

概念

在本节中，数学的概念是指数学定义、概念、公式、定理、定律、公理等。

定义：

知识点

在本节中，数学的知识点是指数学的各种相对独立的知识。

包括概念，如公式、定理等；还包括你对概念理解后自己用一、两句话总结出的学习心得；包括每部分知识的要点，如“圆”的性质，方程（方程组）的分类等等；包括你自己和参考书上对某些数学知识的从另外角度的理解等等。

定义：

解题技巧

本节中，数学的解题技巧是指解数学题的过程中凭借的方法和技巧，即人们通常所说的解题技巧、解题思路、解题方法、解题套路、解题思想等等。

你自己在做题过程中总结出的各种解题心得，不管是否很准确，只要有效，也算是解题技巧。

定义：

更深层、更普遍的解题技巧

本节中，数学的更深层、更普遍的解题技巧是指数学达到一定境界之后，你自己总结出一些解题技巧，这些解题技巧更深层、更普遍，它们能解决很多表面上看似不同类型的题目。

总结出的“更深层、更普遍的解题技巧”越多，你考试时反应越快、越灵活。

例如，某类题目，一般的，要用“对称法”这个解题技巧，而另外一类题目，要用“用代数解几何”，而另外的一类题目，则要用“转化为三角”。

这样，你就必须记住这三种类型题目各自所对应的解题技巧。

你通过深入思考，你发现，实际上，这三类题目，都可以用三角、圆的性质来解决。

这样，你就只需记住很少的解题技巧了。

你考试时，就能快速、灵活的把这三类题目做出来了。

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数学的初级、中级、高级　

从考试成绩的角度：

数学处于初级阶段者是指数学考试成绩在班里中等以下者，数学处于中级阶段者是考试成绩在班里处于中等和中等以上者，数学处于高级阶段是指数学考试成绩班里很好者。

例如，班里有60个人，你数学考试成绩在30名以后就属于初级阶段，考试成绩在10名到30名之间就属于中级阶段。

数学在前10名就属于高级阶段。

从知识系统的角度：

如果你数学上的漏洞很多，没有形成数学的体系，就属于初级阶段。

如果你以前数学上没有太大的漏洞，但数学体系的系统性也不强，就属于中级阶段。

如果你的数学已经形成了完整的体系，就属于高级阶段。

从做题的角度：

如果你连最基本的、简单的题目都做不出来，或者做出来了也有很多错误，就属于初级阶段。

如果你能做出多数的基本的、简单的题目，但中等难度的题目只能做出一部分，难题和综合题很少能做出来，就属于中级阶段。

如果你能很轻松的做出多数基本题、简单题、中等难度题，也能做出部分的难题和综合题，就属于高级阶段。

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6.2.1.数学的学习策略

初级阶段者的学习策略——“全”、“晰”、“易”、“快”

“全”：

就是说凡是高考要求范围内中的基本的东西，如基本知识点、基本解题技巧和考试技巧等，你都要学“全”，决不能有某部分知识没有学习到。

“晰”：

对基本东西中的有疑惑的地方，无论是现在正在学习的，还是以前学过的，都必须尽可能的理解清楚。

不管你看多少参考书，请教多少人，甚至从头学起。

如果你的基础太差，你可以采用请家教补课、跟低年级的同学一起听课，从头看以前学过的课本和参考书等方法。

“易”：

主要做简单的和基本的题目，做少量中等难度的题目，尽量不做难题和综合题。

只掌握基本的、通用的解题技巧，复杂的、过于巧妙的解题技巧放弃。

“快”：

不是指做某道题“快”，而是指你在一段时期内，如几周、或者一个月内，必须完成足够量的学习任务，如做完一本参考书上的基本题目，看完一本以前学过的课本，等等。

数学处于初级阶段者，在做某一道题目时，可能会花很长的时间，这时，不要着急，可以翻阅一些参考书，请教老师同学，只要能真正弄懂了某些问题，你就在进步。

数学处于初级阶段者，如果每天学习数学的时间不充足，可以暂时放弃做题的规范性、严谨性，放弃难题和综合题，放弃“一题多解、多题一解”，放弃巧妙的解题技巧等等。

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中级阶段者的学习策略——“精”、“狠”、“深”、“细”、“准”　

“精”：

做题贵精不贵多，不要贪多，做出一道算一道。

“狠”：

做题时不断增大“狠劲”，能做出来的题目，一定要做出来；有可能做出来的题目，尽最大可能做出来；不断提高每天做出习题的量，昨天共做出了30道题目，今天就要做出31道题目。

做限时模拟题和考试时不断提高“拼劲”。

不管什么题目，做限时模拟题和考试时，都要尝试一下，都要尽最大努力做出来；做题时要快！

能用一分钟做出来的题目，就不要用两分钟。

“深”：

多深入思考、多总结。

深入思考如何运用基本定义、公式、定理，深入思考不同题目的深层次联系，深入思考不同题目的相同解法。

“细”：

要心细，要养成严谨、严密的学习习惯。

你可以放弃某些题目，如难题、综合题、怪题等。

但对于基本题目和中等难度的习题的解题思路、解题技巧和解题方法要细致掌握，每个小问题都不要放过；对于你感觉到重要而且典型的题目，做完题目后，你还要和标准答案比较一下，看看自己的解题过程是否完整。

“准”：

就是要不断提高知识的确信度。

对于数学来说，提高知识确信度的方法就是：

一定要把题目做出来！

然后再总结、记忆。

“看题”、“背题”都不能提高知识确信度。

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高级阶段者的学习策略——“回”、“极”、“灵”、“融”

“回”：

要形成一个个“回路”，形成一个个整体框架，形成知识体系。

（一）形成数学整体框架。

（二）数学的每部分，如方程（方程组）部分形成整体框架。

（三）相关的数学概念前后联系，形成一个个小的数学概念的知识体系。

（四）某类题目的解题套路、解题技巧、对应的知识点非常清晰，形成了这类题目的“回路”。

（五）各种类型题目的解题思路、解题方法、解题技巧非常清晰，形成了很多个小的解题技巧体系，（六）最终，形成数学的知识点和解题技巧的完整的知识体系。

“极”：

要不断超越“极点”。

（一）尽最大可能的提高“狠劲”和“拼劲”。

（二）尽量延长每次最长学习时间。

（三）不断加大学习强度。

（四）保持大脑最清晰。

（五）通过“超越极点”、“至静至纯至狠”等方法产生自信心。

（六）通过杜绝对爱情的期待、不断的收心、不断的平静自己等方法，使自己的心情达到极端平静。

（七）采用“精挑极练”、“限时训练”等学习强度高的学习方法。

“灵”：

在形成大大小小的知识体系和解题技巧体系之后，通过“多题一解”、“一题多解”、“自己出题”等方法，琢磨命题人思路，不断总结出各种巧妙的解题技巧，把类似的解题技巧进行归并。

最终，你做题时各种解题技巧层出不穷，又能采用最简单和直接的方法解决很多题目。

“融”：

随心所欲做题，不断淡化解题技巧，最终达到不用解题技巧，或者感觉不到自己在运用解题技巧，就能做出很多题目的境界。

6.2.2.理解记忆

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概念清晰

数学是一门前后联系密切、逻辑性极强的学科。

对于数学概念（数学定义、概念、公式、定理、定律、公理等）要理解清楚、记准记牢。

你可以使用“前后联系”等方法，理解数学概念，你还可以使用“狠背”等方法记准记牢概念。

在做练习的过程中，通过“深入思考”、“总结”、“回忆”等方法使相关的概念更加清晰。

对于某些人，概念清晰，是一个循序渐进的过程。

有些数学概念，你一开始可能无法理解，你不必在意，只要强行记忆就可。

数学概念，不在于是否能真正理解，在于你是否能运用。

很多概念是历代数学家用毕生精力思考和推导出来的，你不见得一下子就能理解，只要记准并能运用就可以。

通过练习、思考、总结、回忆等不断反复，往往才能真正掌握，随着时间的推移和经验的积累，逐步做到概念清晰。

在概念不清晰的情况下，你可以采用“看题”、“背题”、“看练”、“背练”等方法学习数学。

记准记牢

学习者必须准确记忆一些东西，数学也不例外，尤其对于数学处于初级、中级阶段者。

概念：

对于高考要求范围内的所有概念，都要记准。

解题技巧：

老师讲课、看参考书、自己做练习后，你学会了一个新的解题技巧，就要记住。

随着时间的推移，解题技巧可能会遗忘，因此，你最好把解题技巧记在笔记本上，随时翻阅记忆，作为以后总结、回忆、形成知识体系的素材。

解题心得：

做题达到一定量时，你会感觉有一些其他的规律性的东西，对于这些东西，不管你觉得是多么可笑和幼稚，只要是你通过独立做题总结出的东西，就是好东西，你要记在本子上，在未来的日子里，可以通过深入思考进行抛弃和凝练：

无用的、错误的东西抛弃；有用的、正确的东西进一步凝练。

6.2.3.上课与自学

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初级阶段

数学的前后联系性很紧密，前面的知识学不好，就会影响后面的学习。

因此，如果你以前数学没学好，知识上的漏洞太多，你上课时，对老师讲的概念、知识点、解题技巧等尽量理解，理解不了的就强行记忆，并记在笔记本上；对于老师讲的题目中的难题和综合题，放弃；对于老师讲的基本题目和中等难度的题目，尽量理解，不理解的就强行记忆，并记在笔记本上。

下课后，你可以通过翻阅课本和各种参考书，把课堂上不理解的东西尽量理解清楚，实在理解不了的强行记忆，并在下一节课请教老师和同学，如果有家教老师，可以向家教老师请教。

另外，你必须制定周密、合理的学习计划，来弥补以前学习上的漏洞。

一般的，学习处于初级阶段者，课后必须有较长的时间用来弥补以前的知识。

以前学习的越差，用于弥补以前学习上漏洞的时间要越长。

例如，你可以把课后一半的时间用来学习目前老师教的东西，另外一半时间弥补以前的知识，你可以采用精读课本、“看题”、“看练”等方法，尽快把以前知识上的漏洞弥补。

中级阶段

上课时，仔细听老师讲课的关键点，如概念、知识点的要点、解题思路、题型、解题套路，并尽量理解透彻。

上课时，不必把老师讲的每道题都记下来，对于已经理解的、解题思路知道的题目就不必太在意，对于自己已懂但老师的方法更简便的题目要记下来，对于典型题目不要放过。

记笔记时，只要把关键的东西，如概念和知识点的要点、解题思路的要点等等记下来就可以了。

课后最好当天复习，或者两、三天内复习，不要拖的太久。

课后复习时，要把老师讲的内容记忆思考一下，把老师讲的题目要独立做出来。

每隔一段时间，如一、两周之后，要通过“快速浏览”、“看题”等方法，复习老师讲的和自己做的题目，要进一步总结出解题思路、题型、套路。

每隔一段时间，可以看一些参考书上的例题，形成知识体系和解题技巧体系；还可以通过反复训练，把某些重点题目练熟。

高级阶段

数学处于高级阶段者，如果老师讲的东西的难度是针对多数同学，那么，上课时，你就应该部分时间的跟老师走，部分时间自学。

对于老师讲解的那些你已经掌握其解题技巧的题目，你就不必听了。

你可以在老师讲解时自己把题目做完，然后看看自己的解题步骤和老师的对比，看有什么错误。

对于老师布置的习题，如果你已掌握的很好了，就不必再花时间了。

对于老师讲的解题套路，如果你已经掌握了，你应该跳出这些套路的限制，深入思考题目的变化，尝试着一题多解、多题一解、自己出题。

6.2.4.参考书

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根据你的学习情况和需要，选择合适的数学参考书。

用于积累基本知识点和解题技巧的数学参考书

只要讲解清晰、例题典型的数学参考书，都可以用于积累基本知识点和解题技巧。

对于这类参考书，你可以像读小说一样快速浏览，读完一本再读第二本。

用于形成整体框架的参考书

有些参考书，会用列表、图表、图形等形式把考试范围内的概念、知识点、解题技巧总结的非常清晰，借助这些参考书，你就更容易形成整体框架。

对于数学处于初级阶段者，通过快速浏览这类参考书，可以在较短的时间内，把以前学过的东西形成整体框架。

用于形成解题技巧体系的参考书

某些参考书，把各种数学解题思想、解题思路、题型的套路等等，总结的非常清楚，通过反复浏览和记忆这类参考书，你可以较快的形成数学的解题技巧体系。

用于查漏补缺的参考书

有些参考书，把学习时经常犯错的地方指出来，并告诉你做错的原因，例如，对概念理解的错误、没有想到对应的知识点、借助的解题技巧不正确等等。

对于这类参考书上的题目，你要先自己做一下，做对的题目，就不必理会了；对于做错的题目，看看书中的提示，找出自己犯错的根源。

这类参考书，你要选择那些把错误分析的本质、深入、系统、全面的参考书，而不要选择那些把错误分析的过于繁琐、过于细致、甚至混乱的参考书。

你使用那些把错误分析的深入、系统、全面的参考书，就能更容易的找出你出错的更本质的错误，更容易形成解题技巧体系。

例如，某类题目，如果用“类比”、“代换”等解题方法，你能很容易解出来，但如果你使用“转化为方程”的解题方法，做起来就很繁琐了，很容易出错。

这时，好的参考书会告诉你，在什么情况下，应该用“类比”、“代换”等解题方法，在什么情况下，应该使用“转化为方程”的解题方法。

而差的参考书，仅仅把这道题目的某种解题方法告诉你，至于为什么使用这种解题方法、这种解题方法是否最好，你就不知道了。

详细分析解题技巧类参考书

看此类书可以迅速积累解题技巧，但此类书看多了，也容易导致知识体系的混乱。

精做一本好的参考书

找一本紧密围绕高考、内容全面、题型总结的非常好、讲解很详尽、把知识点和解题技巧的体系都总结的很好的参考书，从头往后一道道往后做。

这个过程中，对于一下子就能看出解题方法的题目，对于过偏、过难的题目，就不要做了。

对于典型的题目，有的题型灵活，所用的知识点较基础，这就需要自己动手，做一遍。

做完后，比较自己的方法和作者的方法有何不同。

做不出的，则看自己是由于哪一个知识点没有掌握，并做好记录，以待以后复习用。

“多题一解”、“一题多解”类参考书

对于数学，一般的，“多题一解、一题多解”类参考书，仅适用于数学处于高级阶段者，初级、中级阶段者一般不要使用，以免造成混乱。

非常好的“一题多解、多题一解”类参考书

有些参考书，会把某些题目的各种方法都尽量列出来。

如果你的数学到达一定的境界，并且数学的学习时间很充裕，你可以做这本参考书，并总结和深入思考。

这几种解题技巧中，哪些是基本的解题技巧？

哪些是通用的解题技巧？

哪些是特殊的解题技巧？

如果一道题目有多种通用的解题技巧可以解出来，这时，你就要仔细总结一下，“为什么我只想到这一种解题技巧，没有想到另外一种通用的解题技巧？

”，如果其原因是你对另外一种通用的解题技巧掌握的不熟悉，那么你考试时往往就想不起来这种解题技巧。

而如果你很不熟练，那么，你考试时往往就无法用它解决问题。

对于很少用到的解题技巧，很怪异的解题技巧，你就不要理会了。

随意练

在一个各种数学参考书非常丰富的图书馆里，你可以随意找各种参考书，凭借感觉随意从某本参考书中找几道题目做，能否把某道题目做出来，并不在意，然后再随意找下一本，接着做。

这种方法，适用于数学处于各个学习阶段者。

这种方法，不但能提高对数学的兴趣，延长每次最长学习时间，还能提高你的灵活性。

提高速度、准确性和灵活性

做限时模拟题，可以提高速度、准确性和灵活性。

你要选择好的参考书，书中的模拟题的难度要适合你，书中题目既不能都不会做，也不能很轻松的都做对。

每隔一段时期，如几周之后，你要测试一下，看看自己的速度、准确性和灵活性是否提高了。

不要因参考书过多，把自己弄乱了

你可以有多本数学参考书，但每本参考书，都要有不同的策略，有的参考书可以精做，有的用来查漏补缺，有的用来提高速度、准确性和灵活性，有的用来形成解题技巧的体系，但你不能把一本本的参考书，从头到尾的一道道往后做，否则，很容易自己把自己弄乱了。

这是因为，不同参考书中的某些题目是重复的，有些参考书选择的题目过难、过偏，有些参考书中的题目的解题方法过于怪异，有些参考书把一些很少见的题目都收入了，有些参考书则是，明明可以用简单方法做出的题目，却故意用复杂的或者少见的解题方法。

6.2.5.深入思考、总结、回忆再现

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数学进入中级、高级阶段之后，要不断加大深入思考时间在所有学习数学时间中的比例。

总结

做题贵精不贵多。

做一道题，不是为了考试时能够碰到这道题，而是为了能够在考试时会做类似的题目。

因此，在做这道题的过程中，你要有清晰的思路，思考这道题用了什么基本原理、基本概念、基本技巧、公式等。

你要养成这样思考的习惯，慢慢的，你的分析问题的能力就增强了。

做完题目要总结一下，可以用几句话记在本子上，可以记录下解题技巧、所用公式、定理，可以联想一下类似的题目，将这道题目归结到某一类题型中去。

王散以前学习数学时主要就是做练习，做练习的方法就是一道题一道题的往后做，做出来就完事，做不出来就换一道接着做。

做题前后很少深入思考。

后来，他改进了学习方法，做题时仔细想想到底用了什么原理、公式、概念、基本技巧等。

这样，做题速度下降了，考试成绩暂时下降了，但他继续坚持，几个月后，他的数学进步很快。

总结和深入思考自己的解题技巧与老师（参考书）的差异

如果你做的题目少（例如很多数学初级阶段者），你主要是积累各种解题技巧。

当你做了比较多题目后，你就要每过一段时间总结一下，找出自己的解题技巧与老师（参考书）的差异。

进入高级阶段之后，如果你发现很多情况下，你的解题技巧比老师（参考书）的更清晰更巧妙。

琢磨命题人的思路

用长时间反复、深入思考典型题目（尤其是历年考题中的思路巧妙的题目），思考命题人是从哪个角度出题的，命题人目的是为了考察哪个概念和公式的，某道题目是如何从其他题目改头换面出来的。

在这个过程中，你会总结出一些规律，例如：

“所有类似的题目都可以转化为函数！

所有同一类型的题目都可以转化为方程（组）试一下！

”你总结规律时，无论自己总结出的规律多么怪异和可笑，都应记下来，并确信它们。

在未来的学习中，你通过思考和练习，将某些自己总结出的不实用的或者错误的规律抛弃，把正确的有效的规律保留下来。

解题思路

对于数学的某一道题目，有了正确的解题思路，即使你没有做对，也算基本掌握了。

反之，一道题目你即使做对了，但如果这道题目的解题思路仍然含混不清，这道题目也不算掌握。

积累解题思路：

每做出一道“新”题，你就要把解题思路总结出来并加以记忆，这样，你就积累了一个解题思路。

此外，你也可以不做题，通过“看题”，来积累解题思路，例如，看自己以前做过的题目的解题思路，看有详细解题过程的习题集的参考书，等等。

有了解题思路就不必再做：

除非很典型的好题目，某道题目你看一眼就马上有了正确的解题思路，就不必再做了，赶紧去做下一道题目吧！

容易题的解题过程：

弄清楚题目的已知条件和所求的结果后，思考出如何从已知条件推出结果，或者如何从结构推出已知条件，就是找到解题思路了，把解题思路用公式、文字等表述出来，题目就算解决了。

题目做完后总结解题思路：

题目解出之后，要通过思考总结出解题思路和解题技巧的规律，然后把这些解题规律记在脑子里和笔记本中，规律积累多了，要深入思考各种规律的深层联系，规律越来越简化和全面。

只深入思考值得思考的题目

如果你发现了一道你感觉很好的、很典型的题目，你想了几分钟，仍然不会做时，你就要深入思考，无论是花几十分钟甚至数个小时，都决不能轻易放弃，也不能轻易看答案、看解题过程。

通过深入思考，你终于把一道典型题目做出来之后，你还要仔细总结，使解题技巧清晰化。

例如，你可以总结出这道题给的条件和解题思路是怎么联系起来的；你还可以总结出如果改变条件，如何找到新的思路；你还可以总结出这道题目是如何借助解题技巧来运用知识点的；你还可以总结出这道题目的解题技巧能否运用到其他题目中去；你还可以总结出这道题目的解题技巧中更普遍的东西，找到解决所有类似题目的通用的解决方法。

然后，把你总结的东西记在笔记本上。

笔记本

平时做题时，要把学习心得，如对某些概念和知识点的理解、自己总结的解题技巧等等，记在笔记本上，如“此类题型可以先用替换法尝试，如果不行，就用数形变换的方法，如果还是不行，就转化为方程。

”这样，你更容易形成解题技巧的体系。

知识点和解题技巧：

做完一道典型题目后，你要把题目所运用和对应的知识点，如概念、公式、定理记在笔记本上。

把这类题目的解题技巧记在笔记本上。

解题技巧的系统化和简化：

把你自己总结的和从老师、参考书上积累的解题技巧记在笔记本上，解题技巧积累到一定程度，你就应该进行系统化：

把重复的解题技巧合并起来，把无用的解题技巧抛弃，把类似的解题技巧简化，把相关的解题技巧联系起来。

最终，你要达到这样一个境界：

所有的基本题、多数中等题、典型的难题和综合题的解题技巧都掌握的非常清晰、非常系统，并且通过使合并、抛弃、简化、联系，使解题技巧的数量达到最小。

必须使用的方法、可以选择使用的方法、一定不能使用的方法：

每隔一段时间，你要把以前做过的典型题目放在一起深入思考，找出相同的规律。

你既要找出解决某类问题必须使用的方法，也要找出可以选择的其他方法，还要找出一定不能使用的方法。

这些规律可以用一、两句话记在笔记本上。

回忆再现

（主要适用于已经形成解题技巧体系、数学处于高级阶段者）

有的人，考试时稍微紧张时，就不能做出本来应该能做出来的题目，记住以前做过的题目的最好的学习方法就是“回忆再现”。

你要经常回忆再现你以前做过的题目，回忆再现你已经形成的解题技巧体系外。

此外，你还要：

从整体上找出思维上的漏洞、混乱之处。

好的数学老师、好的参考书，会形成一套完整、清晰的解题技巧和解题思路的知识体系。

抽出专门的时间，借助某些典型题目，从整体上回忆、找出自己思维上的漏洞、混乱之处。

经常回忆再现笔记本上的内容。

建立题库

题库：

随意练之后，你可以把笔记本、课本、参考书上的典型的、解题思路变化多的、解题技巧妙的、自己经常做错的题目收集起来，用剪刀、胶水和大本子做成一个题库，以备随时复习，随时思考，随时总结回忆。

利用最新技术建立题库：

如果你的经济实力强，对新技术使用能力强，你可以借助计算机网络、电脑、数码相机、复印机等软硬件，就能很快建立起自己的题库，这样，更容易找到自己想做的习题。

你甚至可以自己编写一些计算机程序和数据库，更方便归类和搜索。

常见的数学解题方法

记忆、总结一些常见的数学解题方法，对某些人来说，是有效的，但你必须把这些解题方法运用到具体的题目中，并自己总结出清晰的、确切的、完整的解题技巧体系。

常见的数学解题方法有：

配方法、换元法、消去法、待定系数法、数学归纳法、转化为三角、转化为方程（组）、拆分与组合、变量代换、构造平面几何图形，反证法，从结论出发进行逆推、找出隐含条件、由特殊到一般、由一般到特殊、利用三角、直线、圆的特性解方程和方程组、利用方程和方程组解决解析几何、