变量间的相关关系.docx

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变量间的相关关系

变量间的相关关系

　　篇一：

变量间的相关关系教案

　　教学设计（2课时）

　　一、教材分析

　　学生情况分析：

学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用。

　　教材地位和作用：

变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章节的内容,本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预

　　测。

为以后更好地研究选修2-3第三章节回归分析思想的应用奠定基础。

　　结合教材特点及学情，特制定三维教学目标如下：

　　二、教学目标

　　1、知识与技能：

　　利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及2回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解

　　2、过程与方法：

　　①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。

②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。

　　3、情感、态度与价值观：

类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。

利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣。

　　三、教学重点、难点

　　重点：

利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘

　　法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。

　　教学内容的难点：

对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解

　　教学实施过程中的难点：

根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

　　四、教学媒体设计

　　本节课涉及大量数据计算及分析，用传统方法很难突破，故我主要采用电子表格和几何画板，通过学生动手操作、教师动画演示、师生合作交流来突出重点、突破难点。

学生学习效果有明显提高。

五、教学设计（具体如下表）

（一）、创设情境导入新课

　　1、相关关系的理解师：

我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：

一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两

　　者之间是一种确定关系。

生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？

让学生举例，教师总结如：

生：

不是。

师：

能否举出反例？

比如，年龄与身高。

生：

身高与体重生：

教师水平与学生成绩。

生：

网速与下载文件所需时间师：

不妨以教师水平与学生成绩为例，学生成绩与教师水平有关吗？

生：

有，一般来说，教师水平越高，学生成绩越好

　　师：

即“名师出高徒”，名师一定出高徒吗？

生：

不一定。

　　师：

即学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。

这就是我们这节课要共同探讨的内容变量间的相关关系。

（板书）生活中还有很多描述相关关系的成语，如：

“虎父无犬子”，”瑞雪兆丰年”

　　设计意图：

通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。

让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。

感受数学来源于生活。

（二）、初步探索，直观感知

　　1、根据样本数据利用电子表格作出散点图，直观感知变量之间的相关关系

　　师：

在研究相关关系前，同学们先回忆一下：

函数的表示方法有哪些？

生：

列表，画图象，求解析式。

师：

下面我们就用这些方法来研究相关关系。

请同学们看这样一组数据：

　　探究:

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:

根据

　　上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

生：

随着年龄增长，脂肪含量在增加师：

有没有更直观的方式？

生：

画图师生：

用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。

一组样本数据就对应着一个点。

由于数据比较多，我们借用电子表格来作图，请大家注意观察。

　　教师演示作图方法，学生观察

　　散点图

　　师：

这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。

　　2、判断正、负相关、线性相关学生观察，比较，讨论，

　　图1

　　图2

　　生：

图1呈上升趋势，图2呈下降趋势。

师生：

这就像函数中的增函数和减函数。

即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。

对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。

图2中的两个变量的相关关系，称为负相关。

师：

我们还可以判断出：

年龄与身高是正相关，网速与下载文件所需时间是负相关。

生：

后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。

师：

从数学的角度来解释：

即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。

我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。

这条直线叫做回归直线。

图3、4中的两个变量是非线性相关关系

　　师：

这节课我们重点研究线性相关关系。

（板书）设计意图：

数形结合，扫清了学生的思维障碍，体现数学的简约美。

　　图3

　　图4

　　（三）、循序渐进、延伸拓展1、找回归直线

　　师：

下面我们再来看一下年龄与脂肪的

　　如果可以求出回归直线的方程，我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性。

这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。

同学们能否画出这条直线？

请完成数学实验1、画出回归直线。

（学生在计算机上用电子表格画回归直线）数学实验1：

画出回归直线

　　学生方案一学生方案二

　　生总结：

第二种方法好，因为所有的点离这条直线最近。

学生方案三师：

即，从整体上看，各点与此直线的距离和最小。

　　2、利用最小二乘法推导回归系数公式。

师：

我们现在来求距离和。

怎么求？

生：

利用点到直线的距离公式

　　师生共同：

只要求出使距离和最小的a、b即可。

但是，我们知道点到直线的距离公式计算

　　复杂。

怎么办呢？

以样本数据点A为例，可以看出：

　　的变量的一组数据：

（x1,y1）（x2,y2）?

?

（xn,yn）。

当自变量x取xi（i=1，2，?

?

，n）

　　?

?

bxi?

a（i=1，2，?

?

，n），它与实际收集到的yi之间的偏差是时，可以得到y

　　?

i?

yi?

（bxi?

a）（i=1，2，?

?

，n）yi?

y

　　这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。

总的偏差为

　　?

），偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值?

y?

y?

?

（y?

y

　　i

　　i

　　i

　　i?

1

　　i?

1

　　nn

　　i

　　，由于带绝对值计算不

　　Q?

方便所以换成平方，

　　?

（y?

y?

）

　　i

　　i

　　i?

1

　　n

　　2

　　?

（y1?

bx1?

a）2?

（y2?

bx2?

a）2?

（y3?

bx3?

a）2（yn?

bxn?

a）2

　　现在的问题就归结为：

当a，b取什么值时Q最小。

　　将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时

　　n

　　?

n（x?

x）（y?

y）（x?

x）（y?

y）ii?

nn?

?

ii2

　　i?

1?

?

22i?

1（xi?

x）?

b?

?

Q?

n?

a?

（y?

bx）?

?

（y?

y）?

inn?

?

i?

1

　　?

i?

1（xi?

x）2?

（xi?

x）2i?

1i?

1?

?

　　2

　　2

　　b?

　　?

（x?

x）（y?

y）?

xy?

nxy

　　i

　　i

　　ii

　　i?

1

　　nn

　　?

（xi?

x）2

　　i?

1

　　n

　　?

　　i?

1n

　　?

xi2?

nx

　　i?

1

　　2

　　1n1n

　　（其中x?

?

xi，y?

?

yi）

　　ni?

1ni?

1

　　a?

y?

bx

　　推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫“最小二乘法”。

　　设计意图：

培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的教学难点，先让学生

　　动手操作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点3、利用电子表格的计算功能求出回归直线方程，并分析它的意义

　　篇二：

知识讲解_变量间的相关关系_基础

　　变量的相关关系

　　编稿：

丁会敏审稿：

王静伟

　　学习目标

　　1.明确两个变量具有相关关系的意义；2.知道回归分析的意义；

　　3.知道回归直线、回归直线方程、线性回归分析的意义；4.掌握对两个变量进行线性回归的方法和步骤，并能借助科学计算器确定实际问题中两个变量间的回归直线方程；

　　要点梳理

　　高清课堂：

变量的相关关系400458知识讲解1要点一、变量之间的相关关系

　　变量与变量之间存在着两种关系：

一种是函数关系，另一种是相关关系。

1．函数关系

　　函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它相对应。

2．相关关系

　　变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性相关关系分为两种:

正相关和负相关要点诠释：

　　对相关关系的理解应当注意以下几点：

（1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.

（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.

　　（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计.

　　3．散点图

　　将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。

通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。

　　要点二、正相关、负相关

（1）正相关：

在统计数据中的两个变量，一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。

如：

家庭年收入越高，年饮食支出越高。

反映在散点图上它们散布在从左下角到右上

（2）负相关：

如果两个变量中，一个变量的值由小到大变化时，另一个变量的值由大到小变化，那么这种相关称为负相关。

在散点图中，对应数据的位置为从左上角到右下角的区域。

按表中所列数据制作的散点图如图。

　　（3）无相关关系：

如果关于两个变量统计数据的散点图如下图所示，那么这两个变量之间不具有相关关系。

例如，学生的身高与学生的学习成绩没有相关关系。

　　要点诠释：

　　利用散点图可以大致判断两个变量之间有无相关关系。

高清课堂：

变量的相关关系400458知识讲解2要点三、线性回归方程1.回归直线方程

（1）回归直线：

观察散点图的特征，发现各个大致分布在通过散点图中心的一条直线附近。

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。

求出的回归直线方程简称回归方程。

　　2．回归直线方程的求法

　　设与n个观测点（xi,yi）?

i?

1,2,,n?

最接近的直线方程为?

y?

bx?

a,，其中a、b是待定系数.则?

yi?

bxi?

a,（i?

1,2,?

n）.于是得到各个偏差

　　yi?

?

yi?

yi?

（bxi?

a）,（i?

1,2,?

n）.

　　显见，偏差yi?

?

yi的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和.

　　Q?

（y1?

bx1?

a）2?

（y2?

bx2?

a）2（yn?

bxn?

a）2

　　表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.记Q?

　　n

　　（yi?

bxi?

a）2.?

i?

1

　　上述式子展开后，是一个关于a、b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a、b的值.即

　　n?

　　（xi?

）（yi?

）?

?

　　i?

1

　　b?

n?

（xi?

）2?

?

i?

1a?

?

n

　　?

xy

　　ii?

1

　　n

　　i

　　?

?

2

　　1n1n

　　，?

?

xi，?

?

yi

　　ni?

1ni?

1

　　?

x

　　i?

1

　　2

　　i

　　相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析上述求回归直线的方法是使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。

要点诠释：

　　1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可.不要求掌握回归直线方程的推导过程.

　　2.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义.否则，求出的回归直线方程毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性.

　　3.求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误.

　　4.回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.

　　典型例题

　　类型一：

变量间的相关关系与函数关系

　　例1．下列图形中具有相关关系的两个变量是（）

　　答案C

　　解析A、B中显然任给一个x都有唯一确定的y值和它对应，是函数关系；C中从散点图可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，因此变量间是不相关的。

　　举一反三：

　　变式1下列两变量中具有相关关系的是（）

　　（A）正方体的体积与边长；（B）匀速行驶的车辆的行驶距离与时间；

　　（C）人的身高与体重；（D）人的身高与视力答案选（C）.例2．某小卖部为了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶杯数与当天气

　　请画出散点图，并判断它们是否有相关关系。

解析散点图如下图：

　　从图中发现气温与杯数之间具有相关关系，当气温的值由小到大变化时杯数值由大变小，所以气温和杯数成负相关。

　　总结升华画出散点图可帮助分析变量间是否具有相关关系，但不是唯一的判断途径。

　　举一反三：

　　高清课堂：

变量的相关关系400458例1变式1对变量x,y有观测数据（xi,yi）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui,vi）（i=1,2,…，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断

　　图1图2A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关答案C

　　因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有相关关系，求回归直线方程是没有意义的。

总结升华用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为：

①作出散点图，判断各点是否散布在一条直线附近。

　　②如果各点散布在一条直线附近，那么可用公式求出线性回归方程；如果各点不在一条直线附近，那么求出的回归直线方程没有意义。

　　类型二：

回归直线方程的求解

　　例3

　　（1

（2）求回归直线方程；解析

（1）根据表中所列数据可得散点图如下图。

　　（2

　　55

　　252502

　　?

5，y?

?

50，?

xi?

145，?

xiyi?

1380。

因此，x?

55i?

1i?

1

　　5

　　?

?

于是可得b

　　?

xy?

5x?

y

　　ii

　　i?

1

　　?

xi2?

5x

　　i?

1

　　5

　　2

　　?

　　1380?

5?

5?

50

　　?

；2

　　145?

5?

5

　　50?

?

5?

，因此，所求回归方程是?

ay?

bxy?

?

。

　　总结升华求线性回归直线方程的步骤为：

　　篇三：

两变量间的相关关系与统计案例练习题

　　能力测试点54：

两变量间的相关关系与统计案例

　　考点一：

　　1.某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A：

y=-10x+200B：

y=10x+200C：

y=-10x-200D：

y=10x-200考点二：

　　A：

y=x-1B：

y=x+1C：

y=88+D：

y=176考点三：

　　2

　　方法突破一：

　　1.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结

　　1x2

（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？