小学数学教学中实施图形与几何动态想象的探索.docx
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小学数学教学中实施图形与几何动态想象的探索
小学数学“图形与几何”动态想象的研究
一、课题的提出
（一）目前教学存在的问题
一直教学高段的数学，在图形与几何”的总复习中发现一些问题，主要有：
图形特征的认识比较表面、片面，各种概念（如周长、面积和体积）没有真正区分，图形关系不明确，旋转后的图形不能准确地画图、测量或计算的单位不能准确表达……带着这些问题，我陷入了思考，是内容太抽象，学生无法理解，还是练习的难度太高，学生无法解决，还是老师教学的缺失……
纵观我们的课堂，过分追求纯粹的操作，为了操作而操作，学生的行为实际上变成了是对老师指令的被动回应，忽视动手操作活动的目标，忽略了学生思维能力的培养。
个别老师的课中也有让学生想象的“痕迹”，但更多的是学生的自主想象。
很多时候，数学课中为了
“图形与几何”的学习中，数学课程标准提出应帮助学生建立空间观念。
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
想象能力的培养是提高空间观念的关键，这里所指的想象也不是静止的、不变的，而是关注图形之间的转换、运动和变化的。
基于此，我们学校研修社这两年在以课例研究的方式在小学数学“图形与几何”领域进行“动态想象”的研究，通过动态想象实施方法和途径探索，有效选择和运用学习材料，帮助建立空间观念。
（二）课题实施的意义
1．“动态想象”有助于学生抽象思维的发展。
数学教学的核心价值是发展学生的思维。
实施图形与几何的“动态想象”，就是让学生在操作前先进行想象，这需要更多的思维的参与，或者在操作后进行想象，是对表象的再认识、是知识的总结和延伸，也可代替操作，这里的想象也不是凭空猜想，而是有明确目的的想象，需要的是学生的深度思考。
2．“动态想象”有助于学生空间观念的培养。
“图形与几何”的学习应帮助学生建立空间观念。
空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；能够想象出空间物体的方位和相互之间的位置关系；根据语言描述或通过想象画出图形等。
动态思维关注的是图形之间的联系和区别，关注图形之间的转换、图形的运动和变化，关注几何直觉和推理能力的发展，对培养学生的空间观念的发展有一定的帮助。
3．“动态想象”有利于学生创新思维的形成。
“动态想象”是在关注学生对图形的静态思维的基础上，加强图形之间的联系和区别，关注图形之间的转换、图形的运动、图形的变化……是根据言语的或图样的示意，在人脑中建立相对应的新形象的过程。
这是一种高级的认识活动，它有补充、猜测、替代等作用，是一种有意想象，也是一种再造想象。
要求有充分的记忆表象作基础，表象越丰富，内容也就越丰富，在拓展学生的形象思维的基础上，促进创新思维的发展。
二、课题概念的界定
想象：
想象是指“人在客观事物的影响下，在言语的调节下，头脑中已有的表象经过结合和改造而产生新表象的心理过程”。
“数学想象”：
指人脑在各种数学对象的刺激下，以己有的数学表象为材料，通过分析综合的加工过程和改造作用，构造出新的数学表象的心理过程。
本课题所涉及的想象是一个动静结合的，可以分为动态想象和静态想象。
静态想象是指原图形不动时的想象；动态想象：
就是根据提供的材料和问题，通过对已有表象进行加工改造，重组后想象出运动变化的过程和结果。
三、课题研究支撑理论
1．学生的认知心理学
认识心理学家指出，人们不能直接观察内部心理过程，只能通过观察输入和输出的东西来加以推测。
儿童的认知能力的迅速发展，并积累和储存了越来越多的记忆表象，当他的认知能力发展到一定程度的时候，就可以把已有的表象迁移到新的情景中去，这就意味着想象的产生。
2．最近发展区理论
儿童已达到的发展水平和可能达到的发展水平之间的距离，就是“最近发展区”。
把握“最近发展区”，在图形与几何的教学中，依托想象这一载体，跳一跳，让学生摘到桃子。
3．认知迁移理论
迁移分为正迁移和负迁移，动态想象的实施将会对提高学生全面素质的提高产生正迁移。
四、课题研究目标
1．以人教版小学数学中“图形与几何”领域为例，通过教材分析，对“图形与几何”教学内容进行归类、再建构。
2．在实施动态想象中，进行数学学习材料的有效选择和运用的研究，适度开发有助于小学生进行动态想象的数学材料。
3．寻找教材内容中的想象点，并探索相应的辅助操作手段，并进行课例研究，形成一些实施动态想象的课堂实例。
4．进行基于教学实践的教学策略的研究；初步探索小学数学图形与几何教学中实施动态想象的途径和方法，形成图形与几何课堂教学模式。
5．借助动手操作、动态演示、生活经验等有效载体实施动态想象，发展学生的几何直觉、几何猜想、几何操作等空间观念和动手操作能力。
6．更新教师的教育教学理念，提高课堂教学理论水平，提升教师的科研水平，使学校数学教师的整体素质有所提升。
五、课题研究的内容与基本构想
（一）基于教材分析的教学内容归类、再构建研究
1．“图形与几何”教学内容归类研究
（1）“空间与图形”结构安排（附表）：
年级
册数
单元
内容
主要类型
课时
知识点
一
上
4
认识物体和图形
图形的认识
4
直观认识长方体、正方体、圆柱和球等立体图形；由立体图形的表面，抽象出长方形、正方形、三角形和圆等平面图形；能够辨认和区别这些图形。
6
分类
图形的认识
2
按物体的大小、形状、颜色、用途等不同的标准分类
下
1
位置
图形与位置
2
认识“上、下”、“前、后”、“左、右”的基本含义和描述物体的相对位置。
初步感受它们的相对性。
3
图形的拼组
图形的运动
2
平面（立体）图形的特征和图形之间的关系。
二
上
3
角的初步认识
图形的认识
和测量
2
初步认识角，知道角各部分名称，用尺画角；认识直角，用三角板判断和画直角
5
观察物体
图形与位置
4
不同位置观察简单物体的形状，画简单轴对称图形，镜面对称。
下
3
图形与变换
图形的运动
4
锐角和钝角，平移和旋转，在方格纸上画平移后图形
三
上
3
四边形
图形的认识、测量
6
四边形，长方形和正方形的周长，长度的估计
下
1
位置与方向
图形与位置
4
8个方位的绝对性
四
上
2
角的度量
图形的认识、测量
6
认识射线和直线和角；量角；认识平角和周角，各种角之间的关系；画角。
4
平行四边形和梯形
图形的认识
6
垂直与平行；平行四边形、梯形；距离；底；高。
下
2
位置与方向
图形与位置
4
8个方位的相对性
5
三角形
图形的认识与运动
8
三角形的特性，分类，内角和，拼图、认识密铺
五
上
3
观察物体
图形与位置
3
从正面、侧面、上面观察
5
多边形面积
图形的测量
9
平行四边形、三角形、梯形、组合图形的面积。
下
1
图形的变换
图形的运动
4
轴对称，旋转
3
长方体和正方体
图形的认识、测量
10
长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积。
3
统计与可能性
图形的运动
1
铺一铺（认识密铺2）
六
上
1
位置
图形与位置
2
用数对表示位置
4
圆
图形的认识、测量
9
认识圆的基本特征；画圆；圆的周长与面积。
下
2
圆柱和圆锥
图形的认识、测量
9
圆柱和圆锥的特征；圆柱表面积和体积；圆锥体积。
（2）2012版一上教材分析（附表）：
年级
册数
单元
内容
主要类型
课时
知识点
一
上
2
位置
图形与位置
4
认识“上、下”、“前、后”、“左、右”的基本含义，会描述物体的相对位置，初步感受它们的相对性。
4
认识立体图形图形
图形的认识
2
直观认识长方体、正方体、圆柱和球等立体图形。
7
认识平面图形
图形的认识
认识长方形、正方形、三角形和圆等平面图形。
下
1
图形的拼组
图形的运动
平面（立体）图形的特征和图形之间的关系，进行平面图形和立体图形的拼组
2．图形与几何知识编排体系再构建研究
类型
知识编排体系
图形的认识
立体→平面→立体
辨识→初步认识→认识
直→曲
图形与位置
直线上位置→平面上的位置
相对位置→绝对位置→相对位置
图形与变换
单个图形→组合图形
图形的测量
周长→面积→体积
规则图形→不规则图形
直线图形→曲线图形
3．“图形与几何”中动态想象的归类研究
类别
内容
想象点
相应辅助操作
图
形
的
认
识
四边形
四边形的分和合
先想象，后画、折、拼。
射线和直线
点→线
电脑演示点动成线的过程，雨水的落下过程。
射线和直线的无限
激光灯的演示等
长方形和正方形
面→体
厚度的累积，长方形的平移
面的特征
根据特征，空手摸长方体
图形的展开与折叠
立体图形的结构和展开图之间的对应关系，
先想象再动手验证
圆
直线图形→曲线图形
由一条线绕一点旋转一周形成的图形；
用正方形纸折一个圆。
圆柱
面→体
绕长方形的一边旋转一周形成的图形；
大小相同的圆片厚度的累积，即圆形的平移。
体→体
长方体或正方体削成圆柱
圆锥
面→体
绕直角三角形的一条直角边旋转一周形成的图形；
体→体
由一个圆柱体像削铅笔一样削成一个圆锥
图形与变换
图形的旋转
线段的旋转
想象钟面上时针、分针的转动过程；
平面图形在平面中的旋转
风车的转动
图
形
的
测
量
长方形的面积公式推导
拼摆的小正方形不够
只摆长和宽，想象出整个长方形
平行四边形的面积公式推导
转化成长方形
图形的分和合，剪成一个三角形和梯形，平移，拼成一个长方形
三角形的面积公式推导
转化成平行四边形
两个完全相同的三角形，通过旋转、平移拼成一个平行四边形
沿中位线把图形分割成一个三角形和梯形，通过旋转上面的三角形拼成一个平行四边形
转化成长方形
分割成三个图形，再把上面两个三角形旋转拼成一个长方形
梯形的面积公式推导
转化成平行四边形
两个完全相同的梯形，通过旋转、平移拼成一个平行四边形
沿中位线把图形分割成两个梯形，通过旋转其中一个梯形拼成一个平行四边形
转化成长方形
分割成三个图形，再把下面两个三角形旋转拼成一个长方形
长方体体积公式的推导
面积→体积
随着厚度的增加，要关注到高度这一维度，底面积乘高
用小正方体摆，数量不够
摆长、宽、高，想象出整个长方体
圆的周长推导
化曲为直
滚一圈、线绕一圈
割圆术
让学生经历正多边形到圆的形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感受极限思想。
圆的面积公式推导
圆转化成长方形
把圆分割成若干等份，拼成长方形，体验极限思想、联系新图形和旧图形之间的关系。
圆柱的表面积
体→面
曲面→平面
这是图形的展开与折叠的想象，建立三维与二维的对应。
圆柱的体积
转化成长方体
把圆柱分割成若干等份，转化成长方体，体验极限思想，新图形和旧图形之间的关系。
面积→体积
建立直柱体各图形的共同特征，高度的累积。
圆锥的体积
体与体的关系
猜测与等底等高的圆柱的体积之间的关系，再倒水操作验证。
（二）教学策略研究
1．基于活动经验的学生动态思维培养策略研究
现代数学理论认为：
数学教学应该从学习者的生活经验出发，将数学活动置于真实的生活背景中，给学生提供进行数学活动和交流的机会，使他们真正理解和掌握数学知识、思考和方法，同时获得广泛的数学活动经验。
图形与几何对小学生来说是比较抽象的，我们可以挖掘生活中的感性材料，在学生头脑中建立图形的模型，借助动态想象去分析。
借助一定语言的描述，让静态的图形动起来，我们既可以想象入手，而是有一个动态想象的参与，与生活紧密相连的想象增加了更多的思维成分，要求也更高了。
毋庸置疑，在认识图形过程中我们要给学生创造大量的操作性活动，有助于学生积累数学活动经验，但是，我们让学生为了操作而操作，要学生借助想象的参与。
基于动态想象和动手操作之间的辩证关系，采取先“动态想象”后“动手操作”，或者先“动手操作”后“动态想象”的教学策略。
在动手操作前进行动态想象，这是从具体到抽象一次转变，是根据提供的材料和问题，对已有表象进行加工改造，是一次猜想，学生有了自己的猜想后，再通过动手操作来进行验证，验证后再想象、再操作，一步步直击问题的本质，牢固建立图形的表象，完善学生已有的知识体系结构。
我们要给学生一双数学发现的眼睛，拓展了“空间与图形”的学习背景，使学生更好地认识、理解和把握自己借以生存的空间，对学生几何直觉的发展起到了不可替代的作用。
2．基于动态演示的学生动态思维培养策略研究
图形的形成，对认识图形来说是至关重要的，在每次认识图形时，我们不要吝啬这一部分的时间，要让学生从多个侧面、多个角度，知道图形的来龙去脉。
但是这个形成过程不是老师简单地告知，生动的直观毕竟只能为儿童提供理解的起点，表象的建立则有助于他们更快地摆脱具体事物的束缚，顺利地向抽象思维过渡，所以要建立在师生对话、想象和操作之上的。
也不是让学生漫无边际的猜测、想象之上的，我们要给学生一个思考和想象的方向。
在图形形成的过程中，都是借助于图形的运动和转换而得到的，我们平时说的点动成线、线动成面、面动成体，这是图形动态思维的基础。
通过平移和旋转把一维、二维和三维联系起来，并用多媒体演示验证猜测，借助于动态想象进行猜测，有助于培养学生的想象力，并清晰直观的发现图形隐含的特点。
我们在教学过程中，随时要搭建一些脚手架，让学生有机会，通过观察、想象、分析、抽象等，以某一个内容为载体，螺旋上升，帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观。
3．基于图形再构的学生动态思维培养策略研究
图形的分割与拼组对学生建立图形之间的关系有很重要的作用，特别有助于学生整体认识图形、了解图形与图形之间的关系，并应用于图形的面积、体积等公式的推导。
对图形进行分割和拼组，一般需要动手操作的参与，但是我们不能单纯依赖于操作，应该要有想象的参与，例如，让学生先猜测一下，分割或拼组以后会是怎样的图形基于动态想象和动手操作之间的辩证关系，采取先“动态想象”后“动手操作”，或者先“动手操作”后“动态想象”的教学策略。
在动手操作前进行动态想象，这是从具体到抽象一次转变，是根据提供的材料和问题，对已有表象进行加工改造，是一次猜想，学生有了自己的猜想后，再通过动手操作来进行验证，验证后再想象、再操作，一步步直击问题的本质，牢固建立图形的表象，完善学生已有的知识体系结构。
课程标准修订版中重点提及的通过三视图和投影、展开与折叠，进行平面与立体的转换，把二维和三维对应起来，例如，长方体、正方体、圆柱体的展开图在进行折叠和展开这一操作过程，必须要通过儿童的想象，让学生在每次操作前先想象一下，折叠或展开后会是怎样的图形？
这里的想象就需要动态想象的参与，让孩子们认识到，立体图形的结构和展开图之间的这种对应关系。
4．基于数学思想渗透的学动态思维培养策略研究
课程内容要反映数学的特点，要符合学生的认知规律。
它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
以图形测量公式推导为载体，让学生在操作、实践中感悟“转化”、“极限”、“函数”和“积分”的数学思想。
在直边图形公式的推导过程中，教师经常让学生利用学具进行操作活动，将新图形转化成学过的已知图形，从而找到新旧两个图形之间的对应关系，推导出计算公式，在这个过程中巧妙地渗透了转化的数学思想方法。
（三）途径与方法的研究
1．“图形与几何”的基本教学流程比对研究
传统的“图形与几何”教学中，教师在提出任务后，就开始让学生动手进行操作、验证，接着通过知识整理，形成新的数学概念。
这里的操作有时只是为了操作而操作，没有方向性和目的性，从培养学生空间观念和想象能力的角度上来说，“动态想象”比“动手操作”更为重要，让学生在“空间与图形”学习中。
本课题研究是基于对以往图形与几何基本教学流程的分析基础上开展的新的流程开发研究。
旨在改变以往单纯操作或自主操作，在明确教学目标后、在动手操作之前、在学法指导时、在学生合作交流中实施动态想象。
附：
以往图形与几何基本教学流程图
附：
本研究尝试图形与几何基本教学流程图
2．本课题研究操作基本教学具体流程操作研究
本课题所涉及的想象不仅仅单纯指动态想象，也包括静态想象，所涉及操作的也不止是单纯的动手操作，还包括计算机的动态演示、提取生活经验、画图等。
想象和操作是一个互相转化的过程，想象可以是在操作之前，也可以是在操作之中或者操作之后。
本课题在以基本教学流程为主线基础上，还将尝试基于不同的知识点实施不同的教学的流程，其具化形式为：
（1）图形的认识的教学流程：
“图形的认识”是“图形与几何”教学中重要的一块内容，主要是要归纳、形成概念，选择有效的学习材料，根据驱动任务，画图提取记忆，再进行交流，也可以通过转化的思想，新的图形依托原先认识的图形通过想象转化而成，再进行交流；也可以依托生活经验，提取学生的记忆，结合想象和交流……在这些过程中，都需要动态想象的参与，或者是动态想象和静态想象的共同参与，并加上动态演示、动手操作、联系生活经验等手段，使想象得到验证和展示。
①
②
③
④
⑤
（2）图形的测量（公式的推导）的教学流程：
在“图形的测量”教学中，不能靠机械地记忆公式和反复操练，而是要能够体会单位之间、计算公式的实际关系和意义，这就涉及到了对单位和公式的理解。
教学中可利用转化思想、通过动态想象，把新图形转化为旧图形，并建立新旧图形之间的联系，也可以给学生新的学习任务，自己先学习，当学生已有的知识无法解决时，势必要去寻找新的解决途径，接着在老师的引导下，有方向的进行想象和操作，从而推导出公式。
在教学中，公式的运用，特别是公式的反运用，都要求有静态想象和动态想象的参与。
①
②
五、课题研究的方法、对象
1．课题研究的方法
课例研究法：
通过课堂观察，分析图形与几何具体课堂中学生的表现，分析其原因。
文献研究法：
通过上网、上图书馆等方式查阅有关文献，学习相关理论，丰富个人见解，充实理论基础。
调查法：
通过课前调查、课后访谈、问卷等形式，了解学生的认知起点及实施动态思维对学生学习的影响。
行动研究法：
通过前期的观察、调查，制定课题研究的初步方案，并在实践活动中运用、实施并反思学生的这些行动，再加以理论的深化和优化，拟订可行的方案。
经验总结法：
对先前所形成的理论方法进行分析、比较、总结并撰写论文。
2.研究的对象
白泉中心小学一～六年级在校学生
六、课题研究的步骤
课题研究历时一年，整个研究过程大致经历3个阶段。
1.准备阶段（2013年2月—2012年4月）
1）组建课题组，落实人员分工；
2）选择实验对象、准备实验材料；
3）查阅收集资料、进行课题论证、课题申报；
4）撰写课题研究方案；
5）做好课题开题论证工作。
2.实施阶段（2013年4月—2013年12月）
1）搜集整理资料，调查学生现状，制定具体计划和实施细则，开展研究与实践。
2）根据方案，进行理论学习、现象分析、课例研究、交流，研究阶段性反馈信息。
3）根据研究阶段性反馈信息，调整制订下一步具体计划，并继续开展实践与研究。
4）召开阶段成果汇报、经验交流会。
3、总结阶段（2014年1月—2013年4月）
1）实践、总结—由经验上升为理论；
2）整理资料，完成结题报告；
3）编写教案集和论文集，展示成果。
七、课题研究人员及分工
姓名
职务职称
研究任务
钱金铎
舟山教育学院教研员
特级教师中学高级
课题顾问
马莉
小学高级教科室干事学校数学研修社负责
全面负责课题过程实施管理，进行方案设计，撰写研究报告
谢叶萍
小学高级高段数学教研组长、研修社成员
负责图形的认识、图形与变换这一块内容的研究
王芳
小学高级低段数学教研组长研修社成员
负责图形的测量、图形与位置这一块内容的研究
八、研究研究成果呈现方式
1、课题研究报告
2、案例论文集、课例录像
3、教育随笔、教学反思日记等
九、课题研究条件分析
本课题作为学校数学学科的主课题，由“白晓数学工作坊”活动的开展为依托，凝集全体研修社成员的集体智慧。
近一年来，我们学校研修社的研修主题一直就是智慧课堂下关注图形与几何的动态思维，为这个研究的进一步开展打下了理论和实施基础。
我校夏校长是省教科研先进个人，有着较强的教育研究基础和经验，可为我们提供技术保障。
本课题组成员大部分是学校的数学骨干教师、教研组长，具有一定的科研能力。
部分教师长期参与各类小课题研究，论文多次在省级刊物发表。
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