中考数学复习专题03因式分解.docx

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中考数学复习专题03因式分解

因式分解

☞解读考点

知　识　点

名师点晴

因式分解的概念

就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式．

因式分解与整式乘法是互逆运算．

因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．

因式分解的方法

1.提取公因式法:

ma＋mb－mc=m（a+b-c）

确定好公因式是解题的关键

2.公式法:

（1）平方差公式：

a2－b2=（a+b）（a-b）；

（2）完全平方公式：

a2±2ab＋b2=（a±b）2.

要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式进考虑完全平方公式化.

3.十字相乘法：

x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）

这个是课后的内容，不做硬性的要求，熟练运用在高中学习就会轻松许多.一定要熟记公式的特点.

因式分解的步骤

一“提”（取公因式），二“用”（公式）．

一“提”（取公因式），二“用”（公式）．

要分解到不能在分解为止.

☞2年中考

【2015年题组】

1．（2015北海）下列因式分解正确的是（　　）

A．B．

C．D．

【答案】D．

考点：

1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．

2．（2015贺州）把多项式分解因式的结果是（　　）

A．B．C．D．

【答案】B．

【解析】

试题分析：

原式==，故选B．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

3．（2015宜宾）把代数式分解因式，结果正确的是（　　）

A．B．C．D．

【答案】D．

【解析】

试题分析：

原式==，故选D．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

4．（2015毕节）下列因式分解正确的是（　　）

A．B．

C．D．

【答案】B．

【解析】

试题分析：

A．=，错误；

B．，正确；

C．不能分解，错误；

D．，错误；

故选B．

考点：

1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．

5．（2015临沂）多项式与多项式的公因式是（　　）

A．B．C．D．

【答案】A．

考点：

公因式．

6．（2015枣庄）如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（　　）

A．140B．70C．35D．24

【答案】B．

【解析】

试题分析：

根据题意得：

a+b=14÷2=7，ab=10，∴=ab（a+b）=10×7=70；故选B．

考点：

因式分解的应用．

7．（2015烟台）下列等式不一定成立的是（　　）

A．B．

C．D．

【答案】A．

考点：

1．二次根式的乘除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．因式分解-运用公式法；4．负整数指数幂．

8．（2015杭州）下列各式的变形中，正确的是（　　）

A．B．

C．D．

【答案】A．

【解析】

试题分析：

A．，正确；

B．，错误；

C．，错误；

D．，错误；

故选A．

考点：

1．平方差公式；2．整式的除法；3．因式分解-十字相乘法等；4．分式的加减法．

9．（2015南京）分解因式的结果是．

【答案】．

【解析】

试题分析：

===．故答案为：

．

考点：

因式分解-运用公式法．

10．（2015巴中）分解因式：

=．

【答案】．

【解析】

试题分析：

原式==．故答案为：

．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

11．（2015绵阳）在实数范围内因式分解：

=．

【答案】．

【解析】

试题分析：

原式==，故答案为：

．

考点：

实数范围内分解因式．

12．（2015内江）已知实数a，b满足：

，，则|=．

【答案】1．

考点：

1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题．

13．（2015北京市）分解因式：

=．

【答案】．

【解析】

试题分析：

原式==．故答案为：

．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

14．（2015甘南州）已知，则=．

【答案】2015．

【解析】

试题分析：

∵，∴，∴===2015，故答案为：

2015．

考点：

1．因式分解的应用；2．条件求值；3．代数式求值；4．综合题．

15．（2015株洲）因式分解：

=．

【答案】．

【解析】

试题分析：

原式==．故答案为：

．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

16．（2015东营）分解因式：

=．

【答案】．

考点：

因式分解-运用公式法．

17．（2015菏泽）若对x恒成立，则n=．

【答案】4．

【解析】

试题分析：

∵，∴，故，解得：

n=4．故答案为：

4．

考点：

因式分解-十字相乘法等．

18．（2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：

1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：

1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．

（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？

并说明理由；

（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．

【答案】

（1）四位“和谐数”：

1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；

（2）y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．

考点：

1．因式分解的应用；2．规律型：

数字的变化类；3．新定义．

【2014年题组】

1．（2014年常德中考）下面分解因式正确的是（　　）

A．x2+2x+1=x（x+2）+1B.（x2﹣4）x=x3﹣4x

C.ax+bx=（a+b）xD.m2﹣2mn+n2=（m+n）2

【答案】C．

【解析】

试题分析：

A、x2+2x+1=x（x+2）+1，不是因式分解，故错误；B、（x2﹣4）x=x3﹣4x，不是因式分解，故错误；C、ax+bx=（a+b）x，是因式分解，故正确；D、m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2，故错误．故选C．

考点：

1.因式分解-运用公式法；2.因式分解-提公因式法．

2.（2014年海南中考）下列式子从左到右变形是因式分解的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B．

考点：

因式分解的意义．

3.（2014年无锡中考）分解因式：

x3﹣4x=．

【答案】．

【解析】

试题分析：

．

考点：

提公因式法和应用公式法因式分解．

4.（2014年株洲中考）分解因式：

x2+3x（x﹣3）﹣9=　

【答案】（x﹣3）（4x+3）．

【解析】

试题分析：

x2+3x（x﹣3）﹣9=x2﹣9+3x（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）+3x（x﹣3）=（x﹣3）（x+3+3x）

=（x﹣3）（4x+3）．

考点：

因式分解．

5.（2014年徐州中考）若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．

【答案】﹣2．

【解析】

试题分析：

∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．

考点：

1.求代数式的值；2.提公因式法因式分解；3.整体思想的应用．

6.（2014年眉山中考）分解因式：

=__________________．

【答案】x（y+5）（y﹣5）．

【解析】

试题分析：

原式=x（y2﹣25）=x（y+5）（y﹣5）．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

7.（2014年绍兴中考）分解因式：

=．

【答案】．

【解析】

试题分析：

．

考点：

提公因式法因式分解．

8.（2014年台州中考）因式分解的结果是．

【答案】．

考点：

提公因式法和应用公式法因式分解．

9.（2014年泸州中考）分解因式：

=.

【答案】．

【解析】

试题分析：

．

考点：

提公因式法和应用公式法因式分解．

10.（2014年北海中考）因式分解：

x2y﹣2xy2=．

【答案】．

【解析】

试题分析：

．

考点：

提公因式法因式分解．

☞考点归纳

归纳1：

因式分解的有关概念

基础知识归纳：

因式分解：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．

注意问题归纳：

符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式．

2.因式分解与整式乘法是互逆运算．

【例1】下列式子从左到右变形是因式分解的是（）

B．

C．D．

【答案】B．

考点：

因式分解的有关概念．

归纳2：

提取公因式法分解因式

基础知识归纳：

将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂．

提取公因式法：

ma＋mb－mc=m（a+b-c）

注意问题归纳：

提公因式要注意系数；

要注意查找相同字母，要提净．

【例2】若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．

【答案】﹣2．

考点：

因式分解-提公因式法．

【例3】因式分解：

．

【答案】．

【解析】．

考点：

因式分解-提公因式法．

归纳3：

运用公式法分解因式

基础知识归纳：

运用平方差公式：

a2－b2=（a+b）（a-b）；

运用完全平方公式：

a2±2ab＋b2=（a±b）2．

注意问题归纳：

首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解．

【例4】3x2y－27y=；

【答案】3y（x+3）（x-3）．

【解析】原式=3y（x2-9）=3y（x+3）（x-3）．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

【例5】将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是．

【答案】n（m-1）2．

【解析】m2n-2mn+n，=n（m2-2m+1），=n（m-1）2．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

归纳4：

综合运用多种方法分解因式

基础知识归纳：

因式分解的步骤为：

一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．

注意问题归纳：

可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．

【例6】分解因式：

x2+3x（x﹣3）﹣9=　

【答案】（x﹣3）（4x+3）．

考点：

因式分解-分组分解法．

【例】7分解因式：

x3－5x2＋6x=

【答案】x（x-3）（x-2）．

【解析】x3-5x2+6x=x（x2-5x+6）=x（x-3）（x-2）．

考点：

因式分解-十字相乘法．

☞1年模拟

1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（）

A．100B．0C．-100D．50

【答案】C．

【解析】

试题分析：

设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．

比较系数得：

a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16，解得：

a=-2，b=-8，m=-5，n=20，所以mn=-5×20=-100．故选C．

考点：

因式分解的意义．

2．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）因式分解2x2-8的结果是（）

A．（2x+4）（x