一元二次方程全章学案教案讲解.docx

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一元二次方程全章学案教案讲解

1

x.1一元二次方程（1

活动1:

阅读教材第30至32页,并完成以下内容。

问题1要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部（腰以上与下部（腰以下的高度比,等于下部与全部（全身的高度比,雕像的下部应设计为多高?

分析:

设雕像下部高xm,则上部高________,得方程

_____________________________

整理得

_____________________________①

问题2如图,有一块长方形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒。

如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c㎡,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

分析:

设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长

为________________,宽为_____________.得方程

_____________________________

整理得

_____________________________②

问题3要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场。

根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?

分析:

全部比赛的场数为___________

设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场,所以全部比赛共_________________场。

列方程

____________________________

化简整理得____________________________③请口答下面问题:

（1方程①②③中未知数的个数各是多少?

___________（2它们最高次数分别是几次?

___________

方程①②③的共同特点是:

这些方程的两边都是_________,只含有_______未知数（一元,并且未知数的最高次数是_____（二次的方程.1.一元二次方程:

_______________________________________________________________________________________________________.2.一元二次方程的一般形式:

____________________________

一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是____________,_____是二次项系数;bx是__________,

_____是一次项系数;_____是常数项。

（注意:

二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

二次项系数0a≠是一个重要条件,不能漏掉。

3.例将方程（8-2x（5-2x=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

活动2知识运用课堂训练

例1:

判断下列方程是否为一元二次方程:

1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、及常数项:

⑴5x2-1=4x⑵4x2=81⑶4x（x+2=25⑷（3x-2（x+1=8x-3

2.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:

⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;

22222（110（323x10xx（5（3（3xx-==+=-22　x　（22（x-1=3y

12　x---=0

　（69x=5-4x

⑵一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;

⑶把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x。

3.求证:

关于x的方程（m2-8m+17x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.

活动3归纳内化

一元二次方程:

1.概念2.一般形式ax2+bx+c=0（a≠0

活动4:

课堂检测

1.在下列方程中,一元二次方程有_____________.

①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2（x+5=x2-1④3x2-5x=0

2.方程2x2=3（x-6化为一般式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别是（.A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

3.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则（.

A.p=1B.p>0C.p≠0D.p为任意实数

4.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_______,一次项系数为______,

常数项为_________.

5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、及常数项:

⑴3x2+1=6x⑵4x2+5x=81⑶x（x+5=0

⑷（2x-2（x-1=0⑸x（x+5=5x-10⑹（3x-2（x+1=x（2x-1

活动5:

拓展延伸

1.当a______时,关于x的方程a（x2+x

2-（x+1是一元二次方程.2.若关于x的方程（m+327

m

x+（m-5x+5=0是一元二次方程,试求m的值,•并计算这个方程的各项系数之和.

3.关于x的方程（m2-mxm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?

为什么?

22.1一元二次方程（2

学习目标:

1.了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.

2.提出问题,根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.

重点、难点

重点:

判定一个数是否是方程的根;

难点:

由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

活动1:

阅读教材P32—33,完成课前预习

1:

知识准备

一元二次方程的一般形式:

____________________________

2:

探究

问题:

一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,•苗圃的长和宽各是多少?

分析:

设苗圃的宽为xm,则长为_______m.

根据题意,得___________________.

整理,得________________________.

1下面哪些数是上述方程的根?

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

2

2一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____,即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。

3将x=-12代入上面的方程,x=-12是此方程的根吗?

4虽然上面的方程有两个根（______和______但是苗圃的宽只有一个答案,即宽为_______.因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.

练习:

1.你能想出下列方程的根吗?

（1x2-36=0（24x2-9=0

2.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4。

活动2:

知识运用课堂训练

例1.下面哪些数是方程x2-x-6=0的根?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4。

例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?

（1

2250

x-=（22

31

x=（329160x-=

随堂训练

1.写出下列方程的根:

（19x2=1（225x2-4=0（34x2=22.下列各未知数的值是方程

2

320

xx

+-=的解的是（

A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2

3.根据表格确定方程287.5

xx

-+=0的解的范围____________

4.已知方程2

390

xxm

-+=的一个根是1,则m的值是______

5.试写出方程x2-x=0的根,你能写出几个?

活动3:

归纳内化

1.使一元二次方程成立的____________的值,叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的________。

2.由实际问题列出方程并得出解后,还要考虑这些解______________

活动4:

课堂检测

1.如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________.

2.一元二次方程2xx

=的根是__________;方程x（x-1=2的两根为________3.写出一个以

2

x=为根的一元二次方程,且使一元二次方程的二次项系数为1:

_________________。

4.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.

5.若关于X的一元二次方程

22

（110

axxa

-++-=的一个根是0,a的值是几?

你能得出这个方程的其他根吗?

活动5:

拓展延伸

1.若222

xx

-=,则2

243

xx

-+=_____________。

已知m是方程

3

260

xx

--=的一个根,则代数式2mm

-=________。

2.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求（a-b2+4ab的值.

3.方程（x+12

（x+1=0,那么方程的根x1=______;x2=________.

4.把

2

2（12

xxxx

-=++化成一般形式是______________,二次项是____一次项

系数是_______,常数项是_______。

5.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0

（.

A.1B.-1C.0D.2

6.方程x（x-1=2的两根为（.

A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=-1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=27.方程ax（x-b+（b-x=0的根是（.

A.x1=b,x2=aB.x1=b,x2=1

a

C.x1=a,x2=

1

a

D.x1=a2,x2=b2

8.请用以前所学的知识求出下列方程的根。

⑴（x-2=1⑵9（x-22=1⑶x2+2x+1=4⑷x2-6x+9=0

9.如果2是方程x2-c=0的一个根,那么常数c是几?

你能得出这个方程的其他根吗?

10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证:

-1必是该方程的一个根.

2.1直接开平方法解一元一次方程

学习目标

1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.

2、提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a（ex+f2+c=0型的一元二次方程.

重点:

运用开平方法解形如（x+m2=n（n≥0的方程;领会降次──转化的数学思想.

难点:

通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m2=n（n≥0的方程.

活动1、阅读教材第35页至第37页的部分,完成以下问题

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面,你能算出盒子的棱长吗?

4

我们知道x2=25,根据平方根的意义,直接开平方得x=±5,如果x换元为2t+1,

即（2t+12=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?

计算:

用直接开平方法解下列方程:

（1x2=8（2（2x-12=5（3x2+6x+9=2

（44m2-9=0（5x2+4x+4=1（63（x-12-9=108

解一元二次方程的实质是:

把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.•我们把这种思想称为“降次转化思想”.

归纳:

如果方程能化成的形式,那么可得

活动2知识运用课堂训练

例1用直接开平方法解下列方程:

（1（3x+12=7（2y2+2y+1=24（39n2-24n+16=11

练习:

（12x2-8=0（29x2-5=3（3（x+62-9=0

（43（x-12-6=0（5x2-4x+4=5（69x2+6x+1=4（736x2-1=0（84x2=81（9（x+52=25（10x2+2x+1=4

活动3归纳内化

5

应用直接开平方法解形如,那么可得

活动4课堂检测

一、选择题

1.若x2-4x+p=（x+q2,那么p、q的值分别是（.

A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-22.方程3x2+9=0的根为（.

A.3B.-3C.±3D.无实数根

3.用配方法解方程x2-2

3

x+1=0正确的解法是（.

A.（x-1

3

2=

8

9

x=

1

3

B.（x-

1

3

2=-

8

9

原方程无解

C.（x-2

3

2=

5

9

x1=

2

3

+

3

x2

=

2

3

-

D.（x-

2

3

2=1,x1=

5

3

x2=-13

4若8x2-16=0,则x的值是_________.

5如果方程2（x-32=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.活动5拓展延伸

1.如果a、b

2-12b+36=0,那么ab的值是_______.

2.用直接开平方法解下列方程:

（1（2-x2-81=0（22（1-x2-18=0（3（2-x2=43.解关于x的方程（x+m2=n.

4、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙（墙长25m,•另三边用木栏围成,木栏长40m.

（1鸡场的面积能达到180m2吗?

能达到200m吗?

（2鸡场的面积能达到210m2吗?

5.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,•并说明你制作的理由吗?

6

22.2.2配方法解一元二次方程（1

学习目标

1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.

2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0或（mx+n2=p（p≥0的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.

重点:

讲清“直接降次有困难”,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.难点:

不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.

活动1、阅读教材第38页至第39页的部分,完成以下问题

解下列方程

（13x2-1=5（24（x-12-9=0（34x2+16x+16=9

填空:

（1x2+6x+______=（x+______2;（2x2-x+_____=（x-_____2

（34x2+4x+_____=（2x+______2.（4x2-x+_____=（x-_____2

问题:

要使一块长方形场地的长比宽多6cm,并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少?

思考?

1、以上解法中,为什么在方程x2+6x=16两边加9?

加其他数行吗?

2、什么叫配方法?

3、配方法的目的是什么?

配方法的基本

4、配方法的关键是什么?

用配方法解下列关于x的方程

（12x2-4x-8=0（2x2-4x+2=0（3x2-

2

1

x-1=0（42x2+2=5

7

总结:

用配方法解一元二次方程的步骤:

活动2知识运用课堂训练

例1用配方法解下列关于x的方程:

（1x2-8x+1=0（22x2+1=3x（33x2-6x+4=0

【课堂练习】:

1.填空:

（1x2+10x+______=（x+______2;（2x2-12x+_____=（x-_____2（3x2+5x+_____=（x+______2.（4x2-

3

2

x+_____=（x-_____22.用配方法解下列关于x的方程

（1x2-36x+70=0.（2x2+2x-35=0（32x2-4x-1=0（4x2-8x+7=0（5x2+4x+1=0

（6x2+6x+5=0

（72x2+6x-2=0（89y2-18y-4=0（9x2

活动3归纳内化

8

9

用配方法解一元二次方程的步骤:

活动4课堂检测

1.将二次三项式x2

-4x+1配方后得（.

A.（x-22

+3B.（x-22

-3C.（x+22

+3D.（x+22

-32.已知x2

-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是（.A.x2

-8x+（-42

=31B.x2

-8x+（-42

=1C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11

3.如果mx2+2（3-2mx+3m-2=0（m≠0的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于（.

A.1B.-1C.1或9D.-1或9

4.（1x2

-8x+______=（x-______2

;（29x2

+12x+_____=（3x+_____2

（3x2+px+_____=（x+______2.

5、（1方程x2

+4x-5=0的解是________.（2代数式22

2

1

xxx---的值为0,则x的值为________.

活动5拓展延伸

一、解下列方程（1x2+10x+16=0（2x2-x-4

3

=0

（33x2+6x-5=0（44x2-x-9=0

二、综合提高题

1.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长.

2.如果x2-4x+y2

求（xyz的值.

22.2.3用公式法解一元二次方程

学习目标

1、理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.

2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0（a≠0•的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.重点:

求根公式的推导和公式法的应用.难点:

一元二次方程求根公式法的推导.

活动1阅读教材第40页至第42页的部分,完成以下问题

1、用配方法解下列方程

（16x2-7x+1=0（24x2-3x=52

总结用配方法解一元二次方程的步骤:

2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?

问题:

已知ax2+bx+c=0（a≠0试推导它的两个根x1

=

2ba-+

x2

=

2ba-

分析:

因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

解:

移项,得:

二次项系数化为1,得

配方,得:

即

∵a≠0,∴4a2>0,式子b2-4ac的值有以下三种情况:

（1b2-4ac>0,则

2

2

44

baca

-

>0

直接开平方,得:

即

∴x1x2

（2b2-4ac=0,则

2

2

4

4

bac

a

-

=0此时方程的根为

ax2+bx+c=0（a≠0有两个

（3b2-4ac<0,则

2

2

4

4

bac

a

-

<0,此时（x+

2

b

a

2<0,而x取任何实数都不

能使（x+

2

b

a

2<0,因此方程实数根。

由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0的根由方程的系数a、b、c而定,因此:

（1解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子

b2-4ac<0,方程没有实数根。

（2

x=

2

b

a

-

叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0的求根公式.

（3利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

（4由求根公式可知,一元二次方程最多有实根或者实根。

（5一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0的根的判别式,通常用希腊字Δ表示它,即Δ=b2-4ac

用公式法解下列方程.

（12x2-4x-1=0（25x+2=3x2（3（x-2（3x-5=0（44x2-3x+1=0

10

11

活动2知识运用课堂训练

用公式法解下列方程.

（1x2-4x-7=0（22x2-22x+1=0（35x2-3x=x+1（4x2+17=8x

练习:

1、在什么情况下,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0有两个不相等的实数根?

有两个相等的实数根?

2、写出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0,b2

-4ac≥0的求根公式。

3、方程x2

-4x+4=0的根的情况是（A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C有一个实数根D没有实数根

4、用公式法解下列方程.（12x2-4x-1=0（25x+2=3x2

（3（x-2（3x-5=0

（44x2-3x+1=0（5x2-3x-4

1

=0（63x2-6x-2=0

（7x2+4x+8=4x+11（8x（2x-4=5-8x（9x2-2x-41

=0

（10