E环境下小学数学学科培训.docx

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E环境下小学数学学科培训

E-环境下小学数学学科培训

第一章数与代数的相关知识

数与代数的教学内容在小学数学课程中占有十分重要的地位，某种意义上可以说小学数学教学是围绕数的认识这条主线而展开的，但限于课时，相关的背景知识教材介绍得比较少。

教师如果经常地能向学生介绍一些有关数的背景知识，不仅能激发学生的学习兴趣，更能扩大学生的知识面。

    本章内容分“数和代数”两节。

在“数”的这一节中分别介绍了数概念的产生、记数法、二进制数、分数小数的形成以及与素数合数相关的一些知识。

其中应重点掌握位值制记数法、二进制数与十进制数的转换以及二进制数的四则计算方法，正确理解哥德巴赫猜想的含义和素数个数有无限多的证明方法。

第一节数

一、数概念的产生

数产生于数数。

先是自然数，又引进正分数，通过对几何图形的研究，发现了无理数，接着由于记数形式上的需要，引进数零，由于表示相反意义的量的需要，引进负数形成有理数集，在有理数集的基础上引进无理数，形成实数集，由于负数开平方的运算，产生了虚数的概念，进而形成了复数集。

大体顺序：

自然数→正有理数→实数→复数。

在数的产生过程中，尽管古人有许多的记数法，但它们只是把物体集合蕴涵着的数量特性用一一对应的方法从一个物体集合转移到另一个物体集合上，还不是现实意义上的数。

例如：

数手指，脚趾，石子，结绳等后来在实物（石、木、骨）上刻痕。

一、记数法

完整的记数系统包含的三个要素：

（1）记数符号

（2）进位制（3）较高单位的表示法

1、进位制

以P个数组成一个新的单位，P个新单位又组成一个更高的单位，P个新单位组成一个更高的单位，这叫P进制，P叫做进位的基。

例如：

10进制，60进制，12进制，16进制，2进制等。

2、位值制。

位值是位值制概念的要点，即同一数字符号因其位置不同而具有不同的数值。

例如：

在10进制里，222表示二个百二个十和二个一。

一般地：

有n个数码a0a1a2a3……an-1an是1234567890这10个数码中的某一个，则任意一个数都可表示为：

an·10n+an-1·10n-1+……+a2·102+a1·101+a0·100。

如：

3824是3×103+8×102+2×10+4

同样在60进制里，可表示为：

an·60n+an-1·60n-1+……+a2·602+a1·601+a0·600。

三、二进制数

二进制是基数最小的一种记数法。

它只用0、1两个数码就可以表示任何数。

例如：

87可写成10101112

（1）把一个二进制数转换成十进制数，只要把二进制数化成几个2的方幂的和，然后按十进制数的运算方法算出结果即可。

例如：

10101112=1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+1×2+1=64+16+4+2+1+87

（2）把十进制数转换成二进制数，可用短除法来转换。

例如见P6例2（29和123转换成二进制数的例子，大家也可以看看）

    对于二进制数的四则计算，只要把握“满二进一”“退一当二”这个原则就行，其它的和十进制数的四则计算方法相类似。

讲义上有几个练习，大家可以试着算一下。

四、分数的确立

 对于分数和小数，我们除了了解一些历史外，应当明确小数还是属于分数的范围，它是以10的乘幂为分母的分数的一种表示形式。

五、小数的形成

见P7自己看书。

六、素数与合数。

P8-9

在素数与合数的相关内容中，我们选择一些比较经典的内容

1、哥德巴赫猜想：

是否每一个大于等于6的偶数都是两个素数之和？

P8-9

2、“素数的个数是无穷的”所用的反证法被誉为数学证明的典范；P9

3、费尔马数。

Fn=

+1,当n=1,2,3,4时，Fn给出3，5，17，257，65537，并且这4个数都是素数。

由于F5太大，于是费尔马没有验证，并猜想：

对于一切自然数n，F5是素数。

但后来大数学家欧拉验证出了F5是一个合数。

以后络续有人证明F7……F19都是合数，于是人们又猜想，是否除这5个数外，其余都是合数。

4、筛法。

古希腊埃拉托斯特尼发明的像筛子一样的办法来求不超过N（N＞1）的所有质数。

（见P10）

七、练习。

P10

辗转相除法：

1、辗转相除法：

下面通过计算（1397，2413）来阐述这一算法。

首先，我们用这两个数1397和2413中两个数中小的去除大的，得商为1，余数为1016。

将原来两个数中大的2413扔掉，将1397作为大数，将余数1016作为新的小数。

重复上面的过程：

用1016去除1397，得商为2，余数为245。

扔掉1397，将381作为除数，1016作为小的。

用381去除1016，得商为2余数为254，扔掉1016，用254去除381，得商为1，余数为127，再扔掉381，用127去除254，发现能整除，于是127就是最大公约数。

整个计算过程为：

2413=1397×1+1016，

1397=1016×1+381，

1016=381×2+254，

381=254×1+127，

254=127×2+0，

所以（1397，2413）=127。

为什么这样求出是就是最大公约数呢？

下面对a,b为正整数（a>b）的情形给出说明。

根据定理10.2，商q和余r数满足

a=bq+r,且0≤r≤b-1.

若r=0，显然（a,b）=b;若r≠0,由于a=bq+r，每个能整除b,r的整数都能整除a，当然能同时整除a,b,所以（b,r）|（a,b）;另一方面，r=a-bq，每个能整除a,b的整数都能整除r,当然能同时整除b,r,所以（a,b）|（b,r）.因此（a,b）=（b,r）.辗转相除法进行一步后，b取代原来的a，用r取代原来的b,最大公约数保持不变，因此我们的算法可以一直进行下去：

a=bq1+r1,

b=r1q2+r2,

r1=r2q3+r3,

…

rk-3=rk-2qk-1+rk-1,

rk-2=rk-1qk.

一旦出现rk-2=rk-1qk（即rk=0）,则有

rk-1=（rk-2，rk-1）=…=（r1，r2）=（b，r1）=（a，b）.

上述的求最大公约数的方法就称为辗转相除法。

2、孪生素数：

相邻两个素数的差为2，如：

（5，7）（11，13）……

3、费尔马大定理：

xn+yn=zn当n＞2时，没有整数解。

第二节代数

对于第二节代数的内容，除了了解初等代数的历史外，要理解不定方程的含义和勾股数的含义，还要会解答一些简单的不定方程。

1、发展史：

方程组（线性方程组）→方程（不定方程）→高次方程→微分方程（P12）

九章算术张邱建算经

2、不定方程（见P12-13）

一般式：

对于一元二次方程：

ax+by=c,有以下结论：

（1）若（a,b）/c,则不定方程有整数解,否则无整数解。

（2）若（a,b）=1,（x0,y0）是方程的一组解，则原不定方程的所有解可以写成：

3、练习P14

第二章空间与图形的相关知识

   本章内容分成“几何学发展简介”、“小学数学涉及的原始几何概念与公理”以及“相关知识点及其延伸”三节。

除了了解几何学的发展概况外，重点是理解小学数学中所涉及的原始概念和公理的含义，掌握线段、三角形、四边形、立体图形等相关知识点的延伸。

目前小学数学空间与图形中涉及的几何知识都属于欧几里德几何范畴，内容是根据小学生的认知规律和学习基础而确定的，其深度不可能完全符合几何体系的逻辑要求。

但作为老师多了解一些是很有必要的。

第一节几何学简史

“几何”的原意是“测地术”，中文名词“几何”是在1607年徐光启在意大利传教士利玛窦的协助下翻译欧几里得的“几何原本”前六卷时首先提出的。

几何学发展大致分四个期：

第一时期是萌芽时期，约在远古到公元前六世纪，这一时期的特征是人们从生活、生产的实践中不断积累并逐步产生对几何的对象的简单叙述，并形成图形、几何命题及证明的概念。

主要有埃及、巴比伦、中国和希腊。

第二时期是独立几何学形成时期，公元前五世纪至公元16世纪中叶，公元前三世纪，古希腊著名数学家欧几里得集前人数学研究之大成，写了数学巨著《几何原本》。

这本书不仅完整在确立了现在的几何学的大部分内容，而且它为几何学所建立的基本原则对后来的整个数学发展都起了重大的作用。

（中学几何学的大部分来自《几何原本》，该书的内容除了几何外还有初等数论及初等代数，全书有13卷，共465个命题。

）

第三时期是几何学新方法的开创时期。

笛卡儿的解析几何把代数方法引进几何学，使几何的表达能力和解决问题的能力大大提高了，也扩大了几何学的范围。

特别是笛卡儿建立了坐标系，把变量引进数学，为微积分的建立提供了工具。

第四时期是几何学的革命时期，主要标志是罗巴切夫斯基几何学（非欧几何）的产生。

1、古希腊时期的几何

爱奥尼亚学派——创始人：

泰勒斯（约公元前625—公元前547年）

毕达哥拉斯学派——创始人：

毕达哥拉斯（约公元前580—公元前500年）

亚里士多德学派——创始人：

亚里士多德（约公元前384—公元前322年）

2、中国的几何。

（1）关于勾股定理。

约公元前1世纪成书的《周髀算经》记载；“……故折矩以为句广三，股脩四，径隅五。

……”其证明记载在《周髀算经》的赵爽注里，采用的是割补法，在《勾股圆方图》中，给出的证明最为简洁。

如下图：

b

c

a

第二节小学数学所涉及的原始几何概念与公理（P16）

1、所涉及的原始几何概念有：

点、直线、平面；

    点在直线上，点在平面上（或叫点在平面内）、在……之间；重合；

    射线、线段的延长线；

    长度、面积、体积、角度。

    2、所涉及的公理有：

（1）结合公理

    两点确定一条直线；[注]重合的两点只作为一点。

（2）移形公理

    一个图形变更位置后，它的形状、大小都不变。

    3、线段公理

   （3）两点间直线段最短。

    4、平行公理

    通过一条直线外的一点，有且仅有一条直线与该直线平行。

    5、垂直线公理

    在一个平面上通过一个定点与一条定直线垂直的直线只有一条。

    6、面积公理

    矩形面积的量数等于它的相邻两边量数的乘积。

（简称矩形的面积等于长和宽的乘积）

    7、体积公理

    长方体体积的量数等于过同一顶点的三棱量数的乘积。

（简称长方体的体积等于长、宽、高的乘积。

）

第三节相关知识点及其延伸

（一）相关知识点中、小学不同人表述。

    1、线段。

小学中关于线段长短比较的概念，反映的是长度大小的概念，即是以一个标准去量的。

但在中学里所反映的是通常所说的“纯几何”的概念。

即以移形公理为根据，用叠合的方法刻画定义。

    2、对三角形的概念。

小学里是由三条线段围成的封闭图形，而中学里是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形，当然，人教版的小学数学教材表述又有所不同，即由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

2、

对三角形的高。

小学里是“从三角形一个角的顶点向它的对边（或对边延长线）画一条垂线，顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点的对边叫做三角形的底。

”而中学里是“自三角形的一个顶点向它所对的边线（对边所在的直线）所引的垂直线，叫做三角形的该边上的高线，简称该边上的高……”

（三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂直线段叫做三角形的高线）

    两者比较，除文字叙述上的不同外，在内容上的不同在于边和高的紧密关系。

后者明确地叙述为“××边上的高”，而前者则叙述不够清晰，把“边上的高”叙述为“底上的高”。

原因之一是小学只在三角形面积求法的论述中用到三角形的高的长度，在其它部分的论述中并不涉及有关三角形的高的概念；原因二是为了与平行四边形、梯形等求积公式的用词相一致。

如果不考虑上述两个原因，则以使用“边上的高”为宜，否则易与等腰三角形的底——这个专用词混清。

    另外，对于平行四边形面积的计算公式的推导，小学数学中只作实验——归纳的阐述，但是从小学几何知识中所作的实验的内容看来并不够全面。

特别是从第三幅图看，较难用割补的方法进行验证。

（P19图）

第三章概率与统计的相关知识

    概率与统计的初步知识是小学数学教学四大领域之一，其中中位数、众数、概率的初步知识是新增的内容。

    一、随机事件的产生。

P22

二、概率

（一）随机事件——为了考察一个随机现象，必须产先弄清楚这个现象的每一个可能的表现结果，才能进一步研究这个现象各个结果的可能性。

我们把随机现象的每一种表现或结果叫做一个“随机事件”简称“事件”（P23）

（二）频率

一般地，在n次试验中，我们所关心的某个结果出现m次，就说这个结果的频率是

.明显地，有0≤

≤1。

（三）概率

把事件A的这个频率的稳定值P叫做事件A的“概率”记作：

P（A），

即P（A）=别p或者P（A）=

举例：

P24-25

补例：

  两个袋分别装着写有0、1、2、3、4、5六个数字的六张卡片，从每个袋中各取一张，求所得两数之和等于6的概率.

    这个题很容易做成答案为1/11，但这是个错误的答案，问题就出在把基本事件数搞错。

    我们来分析一下：

    因为我们考虑的是“从两个装着写有0、1、2、3、4、5的六张卡片的袋中”各取一张，所以基本事件（试验结果）有

    （0,0），（0,1），（0,2），（0,3），（0,4），（0,5），

    （1,0），（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），

    ………………………………………………

    （5,0），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），

    等36种，其中和为6的是（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）这5种，故所求之概率应为5/36。

而答案为1/11则是把“和”作为基本事件，虽然其和的确有11种，但这11种的概率是不同的。

三、统计（P26-27）

平均数、众数、中位数及都是描述一组数据集中趋势的量，其中平均数是最重要的量。

但平均数的大小与一组数据里每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，并且当数据间有较大的悬殊时，其平均数的参考价值不大。

我们可以看这样两个例子。

    4名工人，月工资分别为40、45、50、300元，平均108.75元。

很显然这108.75元不能反映这4名工人总体的工资状况。

    又如：

有40名学生，其中3名是中途转入成绩极差的学生，一次考试，这3位学生均为0分，其余学生平均80分，40人平均为74分。

问：

用40人的平均分“74”分与其他班级比较是否合理？

显然是不合理的。

上述两例都是受到极端数据的影响。

    我们再来看一例，这是两所学校同一次考试的成绩，从表上看，两所学校都是300个学生，95分以上甲校200人，乙校120人，94分以下甲校100人，乙校180人，只看总体（300人）甲校比乙校要好，但分层看乙校比甲校好，客观地说应该是乙校比甲校要好。

    求平均数还有一个弊病，当一组数据的个数比较多或数据较大时，计算平均数的工作量比较大。

1、平均数

一组数据，x1x2x3x4……xn如果有

=

（x1+x2+x3+x4+……+xn）,那么

叫做这组数据的平均数。

2、中位数

把一组数据按从小到大的次序排列，居中的数称为这组数据的“中位数”（当数据为偶数时，取居中两个数的平均值作为中位数）。

中位数的计算比较简便，中位数仅与数据的排列位置有关。

    中位数不受极端特异数的影响，在一组数据两端极不对称，对平均数影响较大时，用中位数较好，但可靠性较小。

    当一组数据中有特大或特小两极端数值时或一组数据中有个别数据不确切、不清楚时可用中位数来刻画其集中趋势。

3、众数

所在的所有数据中，出现频率最高的数，叫做“众数”。

 众数考察各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少的数多次重复出现时，其众数往往更能反映问题.但可靠性较低，仅能供初步参考。

4、方差（P18）

取样本数据，x1x2x3x4……xn它的平均数为

=

，则S2=

称为样本方差；它的算术平方根S称为“标准差”

也即为

［（x1-

）2+（x2-

）2+……+（xn-

）2］

方差（标准差）越大，说明样本数据的波动性越大。

  当平均数不能很好地反映一组数据的总体状况时，样本方差与标准差不失为一种行之有效的方法。

样本方差与标准差均为非负数。

当它们为0时，意味着所有数据均相同；反之，它们越大，则意味着数据的波动幅度越大，越不稳定。

第四章：

数学思想与方法的相关知识

数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线。

数学基础知识是一条明线，写在教材里；而数学思想与方法却是一条暗线，一般体现在知识的形成过程中。

第一节集合思想

一、集合思想在小学数学教学中的体现（P31）

二、集合的概念与运算。

1、集合的一般描述：

在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合。

其中每个个体事物叫做该集合的元素。

2、集合的运算。

（P32）

（1）并集

（2）交集（3）差与余

3、介绍集合论的主要思想方法（P33～34）

4、举例。

新课标人教版一年级上册的一幅图，体现了集合概念的渗透。

在这里把6个小朋友看成一个整体，也就是一个集合，然后把每个小朋友又看成集合里的一个元素，也就是抽象成一个小点，6个小朋友就有6个点，也就是说一样的点有6个，即意味着集合的元素有6个，

    这三幅图都体现着集合关系的渗透。

相等关系和属种关系。

    这幅图都体现着并集思想的渗透。

这幅图都体现着交集思想的渗透。

这幅图都体现着差（余）集思想的渗透。

5、思考题（P34～35）

第二节抽象与概括

一、抽象与概括在小学数学教学中的体现（P35）

二、抽象与概括的基本知识

1、抽象的含义：

抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来，并舍弃个别的、非本质特征的思维过程。

2、抽象的过程：

（见P35）

3、概括的含义：

概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的共同属性的思维过程。

4、概括的过程：

一个概括的过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环境。

5、抽象与概括的区别和联系

抽象是从具体事物的多种性质中抽取某些性质给予单独考察，所以抽象侧重于分析、提炼。

而概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。

6、抽象的种类：

（1）从抽象的目的来看：

表征性抽象；原理性抽象；方法性抽象。

（2）从抽象的方式来看：

可分为弱抽象；强抽象；广义抽象。

第三节化归方法

1、化归方法在小学数学教学中的体现。

（P38）

2、化归方法的基本知识。

（1）化归方法的含义：

“化归方法”一般是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题之解答的一种手段和方法。

简单地说：

化归就是问题的规范化、模式化。

（2）化归方法包括三个要素：

1化归对象——就是把什么东西进行化归；

2化归目标——就是化归到何处去；

3化归途径——即是如何进行化归。

主要有：

分解与组合，恒等变形。

（ⅰ）分解就是把一个复杂的问题分解成若干个较简单或较熟悉的问题,从而使问题得以解决.

（ⅱ）组合即把所给出的问题与有关的其它问题作综合的研究,使原问题得以解决.分解与组合是相辅相成的.

（ⅲ）恒等变形就是把一个解析式变换成另一个和它恒等的解析式。

实现化归的关键是实现问题的规范化、模式化，化未知为已知是化归的方向。

（3）化归的一般模式：

（4）化归方法的原则：

简单化原则——把复杂的问题化归为比较简单的问题，从而使问题更容易解决。

熟悉化原则——蒋原问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式或内容。

第四节数学模型方法

一、数学模型方法在小学数学教学中的体现（P42）

二、数学模型方法的基本知识

1、数学模型——就是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。

2、数学模型方法

所谓数学模型方法简称MM方法，是利用数学模型解决问题的一般方法。

用数学模型解决问题的基本步骤：

（1）从现实原型抽象概括出数学模型，也称为建模阶段。

（2）在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解，这也是数学求解阶段。

（3）从数学模型过渡到现实原型，即把研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，使实际问题得到解决。

MM方法解题的基本步骤图：

例如：

哥尼斯保七桥问题（P41）

3、几种重要的数学模型（P43）

（1）交轨模型

（2）方程模型

（3）几何模型