最新人教版高中数学必修3第二章总体分布的估计1.docx
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最新人教版高中数学必修3第二章总体分布的估计1
总体分布的估计
基础知识导引
1．了解当总体中的个体取不同数值很少时，可用频率分布表或频率分布条形图估计总体分布，并会用这两种方式估计总体分布。
2．了解当总体中的个体取不同值较多，甚至无限时，可用频率分布表或频率分布直方图去估计总体分布，并会用这两种方式估计总体分布。
教材内容全解
1．本节主要研究如何用样本估计总体。
用样本估计总体主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布。
具体来说可以分为两种情况。
第一种情况，当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图。
对于这种情况，我们应从以下三个方面来理解：
（1）当总体中的个体取不同数值很少时，课本中介绍了用样本的频率分布表与频率分布条形图这两种方式来估计总体分布。
前者在数量表示上比较确切，后者比较直观形象，两者放在一起，可相互补充。
（2）“总体中的个体取不同数值很少”并不是指“总体中的个体数很少”。
（3）课本第23页抛掷硬币的试验中，随着试验次数的不断增加，即当样本容量无限增大时，频率分布就变成相应的总体概率分布。
它排除了抽样造成的误差，精确地反映了总体取值的概率分布规律，这种总体取值的概率分布规律称为总体分布。
对于这个概念，只要能从本例出发去理解它即可。
第二种情况，当总体中的个体取不同数值较多，甚至无限时，如何用样本的频率分布估计总体分布，对样本的频率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识。
下面对课本中第24页例子详细说明怎样进行数据处理，并得出其频率分布的步骤：
（1）计算最大值与最小值的差
在样本数据中，最大值是25.56，最小值是25.24，它们的差是：
25.56-25.24=0.32（mm）
（2）决定组距与组数
取组距为0.03mm，由于
故要分11组，组数才较合适，于是可取定组距为0.03mm，组数为11。
（3）决定分点
使分点比数据多一位小数，并且把第1组的起点稍微减小一点，那么所分的11个小组可以是[25.235，25.265），[25.265，25.295），…，[25.535，25.565}。
（4）列出频率分布表（见课本）
（5）画出频率分布直方图（见课本）。
2．第一种情况的频率分布表中列出的是几个不同数值的频率，相应的条形图是用其高度来表示取各个值的频率；第二种情况的频率分布表列出的是在各个不同区间内取各值的频率，相应的直方图是用图形面积的大小来表示在各个区间取值的频率。
3．课本图1-3直观地给出了样本的一组数据的频率分布与相应的总体分布的关系。
即频率分布将随着样本容量的增大而更接近总体分布，当样本容量无限增大且分组距无限缩小时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线——总体分布的概率密度曲线。
基于样本的频率分布与相应的总体分布的关系，我们往往从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布来估计相应的总体分布。
难题巧解点拨
例1为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品4件。
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出表示样本频率分布的条形图；
（3）根据上述结果，估计此种产品为二级品或三级品的概率约是多少？
分析由已知求出各级产品的概率，列出样本的频率分布表，是解决这类问题的必要手段。
解
（1）样本的频率分布表如下：
产品
频数
频率
一级品
5
0.17
二级品
8
0.27
三级品
13
0.43
次品
4
0.13
（2）样品频率分布的条形图如图1-1：
（3）此种产品为二级品或三级品的概率为0.27+0.43=0.7
例2考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：
cm）如下：
171
163
163
166
166
168
168
160
168
165
171
169
167
169
151
168
170
160
168
174
165
168
174
159
167
156
157
164
169
180
176
157
162
161
158
164
163
163
167
161
（1）作出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图。
分析确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点。
解
（1）最低身高为151，最高身高180，它们的差为180-151=29。
确定组距为3，组数为10，列表如下：
（2）频率分布直方图如下：
点拨合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图，这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功。
例3对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
寿命（h）
100～200
200～300
300～400
400～500
500～600
个数
20
30
80
40
30
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计元件寿命在100h～400h以内的概率；
（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；
（5）估计总体的数学期望。
分析由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。
解
（1）样本频率分布表如下：
寿命（h）
频数
频率
100～200
20
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计
200
1
（2）频率分布直方图如下：
（3）从频率分布表可知，寿命在100h～400h的元件出现的概率为0.65；
（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35。
（5）样本的期望为：
。
所以，我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值（总体均值）为365h。
课本习题解答
练习（P26）
1．略。
2．
（1）样本频率分布表如下：
分组
频数
频率
[12.5，15.5）
3
0.06
[15.5，18.5）
8
0.16
[18.5，21.5）
9
0.18
[21.5，24.5）
11
0.22
[24.5，27.5）
10
0.20
[27.5，30.5）
5
0.10
[30.5，33.5）
4
0.08
合计
50
1.00
（2）频率分布直方图如下：
（3）约占56%。
习题1．4（P27）
1．略。
2．
（1）频率分布表如下：
射中环数
频数
频率
5或5以下
2
0.04
6
3
0.06
7
9
0.18
8
21
0.42
9
11
0.22
10
4
0.08
合计
50
1.00
（2）略。
（3）0.82．
3．
（1）样本数据的最大值1.55与最小值1.27的差为0.28，取组距为0.03时，分成10组，组数合适，于是可得到下面的频率分布表。
分组
频数
频率
1.265～1.295
1
0.01
1.295～1.325
4
0.04
1.325～1.355
7
0.07
1.355～1.385
22
0.22
1.385～1.415
23
0.23
1.415～1.445
25
0.25
1.445～1.475
10
1.10
1.457～1.505
6
0.06
1.505～1.535
1
0.01
1.535～1.565
1
0.01
合计
50
1.00
（2）频率分布直方图如下：
（3）略。
同步达纲练习
一、选择题
1．在用样本频率分布估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（）
A．总体容量越大，估计越精确。
B．总体容量越小，估计越精确。
C．样本容量越大，估计越精确。
D．样本容量越小，估计越精确。
2．在10人中，有4个学生，1个干部，2个工人，3个农民，数
是工人占总体的（）
A．频数B．概率C．频率D．累积频率
3．将容量为50的数据，按从小到大的顺序分为6组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
频数
6
8
10
10
9
7
第3组的频率和前3组的累积频率是（）
A．0.24和0.5B．0.2和0.48C．0.06和0.24D．0.14和0.48
4．一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下：
组距
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本在区间（-∞，50）上的频率为（）
A．0.5B．0.25C．0.6D．0.7
5．从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累积频率为0.4，则这样的样本容量是（）
A．20人B．40人C．70人D．80人
6．200辆汽经过某一段公路的时速记录如下表：
时速（km）
25～29
30～34
35～39
40～44
45～49
50～54
50～59
60～64
65～69
70～74
车辆数
1
1
4
13
40
65
52
18
5
1
则汽车经过这一段公路的时速的期望值为（）
A．45B．50C．52.5D．60
二、填空题
7．将100个数据分成8个组，其中有一组是9个数据，那么该组的频数是___________，频率是___________。
8．某类人寿保险中，入保人保险费a元，在保险期内出现非意外死亡，则赔b元，经统计，这类人正常死亡率为p，要使保险公司盈利，则b应满足条件___________。
9．已知连续型随机变量x的概率密度曲线如图，则总体在
上的概率为___________。
10．从某校2100名学生随机抽取一个30名学生的样本，样本中每个学生用于课外作业的时间（单位为分钟）依次为75，80，85，65，95，100，70，55，65，75，85，110，120，80，85，80，75，90，90，95，70，60，60，75，90，95，65，75，80，80。
该校的学生中作业时间超过一个半小时（含一个半小时）的学生有___________人。
三、解答题
11．100名学生分4个小组参加课外活动，其中参加足球小组有30人，参加篮球小组有27人，参加排球小组有23人，参加乒乓球小组有20人。
（1）列出学生参加运动小组的频率分布表；
（2）画出表示频率分布的条形图。
12．有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[12.5，15.5），6；[15.5，18.5），16；[18.5，21.5），18；[21.5，24.5），22；[24.5，27.5），20；[27.5，30.5），10；[30.5，33.5），8。
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计数据小于30.5的概率。
参考答案
同步达纲练习
一、选择题
1．C2．C3．B4．D5．A6．C
二、填空题
7．9，0.098．
9．
10．630
11．
（1）学生参加各种运动小组的频率分布表如下：
类别
频数
频率
足球小组①
30
0.3
篮球小组②
27
0.27
排球小组③
23
0.23
乒乓小组④
20
0.20
（2）频率分布条形图如下：
12．
（1）样本的频率分布如下：
分组
频数
频率
12.5～15.5
6
0.06
15.5～18.5
16
0.16
18.5～18.5
18
0.18
21.5～24.5
22
0.22
24.5～27.5
20
0.20
27.5～30.5
10
0.10
30.5～33.5
8
0.08
合计
100
1
（2）频率分布直方图如下：
（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，∴小于30.5的频率是0.92，∴估计数据小于30.5的概率为0.92
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