浙江专用版新高考数学一轮复习第十章计数原理与古典概率3第3讲二项式定理教学案.docx

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浙江专用版新高考数学一轮复习第十章计数原理与古典概率3第3讲二项式定理教学案

第3讲　二项式定理

1．二项式定理

（1）定理：

（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn（n∈N*）．

（2）通项：

第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk．

（3）二项式系数：

二项展开式中各项的二项式系数为：

C（k＝0，1，2，…，n）．

2．二项式系数的性质

[疑误辨析]

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）（a＋b）n的展开式中的第r项是Can－rbr.（　　）

（2）在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（　　）

（3）在（a＋b）n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．（　　）

（4）通项Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换．（　　）

（5）（a＋b）n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√　（5）×

[教材衍化]

1．（选修23P31例2

（1）改编）（1＋2x）5的展开式中，x2的系数为________．

解析：

Tk＋1＝C（2x）k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C·22＝40.

答案：

40

2．（选修23P31例2

（2）改编）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．

解析：

二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.

答案：

20

3．（选修23P41B组T5改编）若（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．

解析：

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.

答案：

8

[易错纠偏]

（1）混淆“二项式系数”与“系数”致误；

（2）配凑不当致误．

1．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．

解析：

由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为（1－2）5＝－1.

答案：

－1

2．已知（1＋x）10＝a0＋a1（1－x）＋a2（1－x）2＋…＋a10（1－x）10，则a8＝________．

解析：

因为（1＋x）10＝[2－（1－x）]10，所以其展开式的通项公式为Tr＋1＝（－1）r210－r·C（1－x）r，令r＝8，得a8＝4C＝180.

答案：

180

　　　　　　二项展开式中的特定项或特定项的系数（高频考点）

二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：

（1）求展开式中的某一项；

（2）求展开式中的项的系数或二项式系数；

（3）由已知条件求n的值或参数的值．

角度一　求展开式中的某一项

（2019·高考浙江卷）在二项式（＋x）9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．

【解析】　该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C（）9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.

【答案】　16　5

角度二　求展开式中的项的系数或二项式系数

（1＋x）6展开式中x2的系数为（　　）

A．15　　　　　　　　　　B．20

C．30D．35

【解析】　（1＋x）6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以（1＋x）6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C.

【答案】　C

角度三　由已知条件求n的值或参数的值

（2020·浙江新高考联盟联考）若二项式（ax－）6（a>0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若A＝4B，则a＝________．

【解析】　Tr＋1＝（－1）rC（ax）6－r（）r

＝（－1）ra6－rCx6－r.

令6－r＝3得r＝2，则A＝a4C＝15a4；

令6－r＝0得r＝4，则B＝（－1）4a2C＝15a2，

又由A＝4B得15a4＝4×15a2，则a＝2.

【答案】　2

与二项展开式有关问题的解题策略

（1）求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．

（2）求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．

（3）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．　

1．若的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于（　　）

A．3B．4

C．5D．6

解析：

选C.Tr＋1＝C（x6）n－r＝Cx6n－r，当Tr＋1是常数项时，6n－r＝0，即n＝r，又n∈N*，故n的最小值为5，故选C.

2．（2020·金华十校期末调研）在（－）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n＝________；展开式中常数项是________．

解析：

在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8.

所以Tr＋1＝C＝（－1）rCx8－2r.

由8－2r＝0，得r＝4.

所以展开式中常数项是（－1）4C＝.

答案：

8　

　　　　　　二项式系数的性质或各项系数和

（1）在二项式的展开式中，系数最大的项为第________项．

（2）（2020·宁波十校联考）若（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9（x＋1）9，且（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2＝39，则实数m的值为________．

【解析】　

（1）依题意可知Tr＋1＝C（－1）rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二项式系数最大的是C与C.当r＝6时，T7＝Cx4，故系数最大的项是第七项．

（2）令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2＋m）9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有（2＋m）9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.

【答案】　

（1）七　

（2）1或－3

（变条件）本例

（2）变为：

若（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a9（x－1）9，且（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2＝39，则实数m的值为________．

解析：

令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（4＋m）9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝（m＋2）9，所以有（4＋m）9（m＋2）9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.

答案：

－1或－5

赋值法的应用

（1）形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

（2）对形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

（3）若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f

（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　

1．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（　　）

A．15B．20

C．30D．120

解析：

选A.因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，又二项式系数最大的项只有第4项，

所以展开式中共有7项，

所以n＝6，

展开式的通项为Tr＋1＝C（x2）6－r＝Cx12－3r，

令12－3r＝0，则r＝4，

故展开式中的常数项为T5＝C＝15.

2．已知多项式（x＋1）3（x＋2）2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．

解析：

由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.

答案：

16　4

　　　　　　二项式定理的应用

设a∈Z，且0≤a＜13，若512018＋a能被13整除，则a＝（　　）

A．0B．1

C．11D．12

【解析】　512018＋a＝（52－1）2018＋a＝C522018－C522017＋…＋C×52×（－1）2017＋C×（－1）2018＋a.因为52能被13整除，所以只需C×（－1）2018＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.

【答案】　D

（1）利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：

要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．

（2）求余数问题时，应明确被除式f（x）与除式g（x）（g（x）≠0），商式q（x）与余式的关系及余式的范围．　

1．（2020·金华十校联考）设二项式（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则＝（　　）

A．2n－1＋3　　　　　　B．2（2n－1＋1）

C．2n＋1D．1

解析：

选C.二项式（n∈N*）展开式的二项式系数和为2n，各项系数和为＝，所以an＝2n，bn＝，所以＝＝＝2n＋1，故选C.

2．求证：

3n>（n＋2）·2n－1（n∈N*，n>2）．

证明：

因为n∈N*，且n>2，

所以3n＝（2＋1）n展开后至少有4项．

（2＋1）n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝（n＋2）·2n－1，

故3n>（n＋2）·2n－1（n∈N*，n>2）．

[基础题组练]

1．（2020·金华十校期末调研）在（x2－4）5的展开式中，含x6的项的系数为（　　）

A．20　　　　　　　　　　B．40

C．80D．160

解析：

选D.Tr＋1＝C（x2）5－r（－4）r＝（－4）rCx10－2r，

令10－2r＝6，解得r＝2，

所以含x6的项的系数为（－4）2C＝160.

2．（2020·台州高三期末考试）已知在（－）n的展开式中，第6项为常数项，则n＝（　　）

A．9B．8

C．7D．6

解析：

选D.因为第6项为常数项，由C（）n－5（－）5＝－（）n－5C·xn－6，可得n－6＝0，解得n＝6.故选D.

3．（2020·温州市普通高中模考）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为（　　）

A．15B．45

C．135D．405

解析：

选C.由题意＝64，n＝6，Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6－，令6－＝3，r＝2，32C＝135.

4．（2020·湖州市高三期末考试）若（x＋）（2x－）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是（　　）

A．－40B．－20

C．40D．20

解析：

选C.令x＝1，（1＋a）×（2－1）5＝2，解得a＝1.

所以（2x－）5的通项公式

Tr＋1＝C（2x）5－r（－）r＝（－1）r25－rCx5－2r，

令5－2r＝－1，5－2r＝1.

解得r＝3或2.

所以该展开式中常数项＝（－1）322C＋（－1）2×23C＝40.

5．（x2－x＋1）10的展开式中x3项的系数为（　　）

A．－210B．210

C．30D．－30

解析：

选A.（x2－x＋1）10＝[x2－（x－1）]10＝C（x2）10－C（x2）9（x－1）＋…－Cx2（x－1）9＋C（x－1）10，

所以含x3项的系数为：

－CC＋C（－C）＝－210.

6．（x2＋x＋y）5的展开式中x5y2的系数为（　　）

A．10