面积与代数恒等式.docx

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面积与代数恒等式

课题：

“面积与代数恒等式”

教材：

义务教育课程标准华师大实验教材

（一）教学目标

1．知识与技能

让学生了解一些代数恒等式的几何意义，并体会代数与图形之间的联系。

从中探求数形结合的思想方法。

使学生具有初步的动手操作能力，图形的识别，建立数学模型的能力。

2．过程与方法

通过这一课题的学习，让学生丰富实践经验，并体验从实际问题中抽象出数学问题过程。

引导学生在合作探索中体会数学的应用价值，发展数学思维能力，并获得一些研究问题和解决问题的经验和方法。

3.情感态度与价值观

激发学生自主探索的欲望，。

鼓励学生积极参与探究，保持对科学的兴趣和求知欲。

体验小组合作的成果，培养学生合作交流的能力和创新的意识，同时也增强同学之间的团结互助精神。

（二）教学重点与难点

1．重点：

对学习方式改变的探索，让学生经历合作探索、讨论、交流、应用的过程；体会代数与图形之间的联系，从中探求数形结合的思想方法。

2．难点：

学生在小组合作过程中的经验和方法的获得与再应用。

（三）教学方法与教学手段

新课程标准中要求课题学习重在学生的探究和经历,要体现学生学习的个性特点。

本节课学习的课题是面积与代数恒等式的活动展示课,需要学生在课前准备很多硬纸片与整理要交流的研究成果，在教学中，既要学生自主探索，又要学生合作交流，所以，本节课采用的是小组合作汇报的学习方法。

学生可借助多媒体或实物投影仪。

在教学中，教师主要是起到“导”的作用，是学生数学活动的组织者、引导者和合作者，因此，教学中，要展现学生的主体性，让学生从小组合作学习的实践活动中发现规律，通过自己的探索与发现得出结论、找到答案。

这时，教师既要肯定学生探索的多种可能结论，又要适时引导，得出我们想要的结论，并且适时归纳总结，让学生明确学习的目标。

（四）教学过程：

【教材的地位及作用】

数与形是世界上万事万物的共同存在形式，因而专门反映数与形规律的数学，现实世界中无所不在，无处不用。

在第十四章《整式的乘法》的学习中，我们接触了很多代数恒等式，也从几何图形的面积关系中认识了一些代数恒等式。

因此，教材在本章后安排了这一课题学习，意在让学生能真正理解并掌握一些代数恒等式，从而进一步巩固所学的乘法公式，加深对公式的几何背景的理解，并从中领会一些物质是有联系的和运动变化的等哲学观点，为学生的可持续发展打下一定的基础。

学生已经在前面的学习中经历过面积与代数恒等式之间的联系，因此不再创设问题情景，是一节学生课题学习成果的展示课。

第一阶段：

【教学设想】理解课题，激发兴趣，掌握研究方法。

【学生活动】分工合作，明确各成员任务，确定方案

【教师活动】教师示范，布置任务

【教后反思】分组对书本上的课题内容进行学习，学生的活动是否也受到了一定的局限，能不能完全放开手打开思路呢？

第二阶段：

【教学设想】课外活动阶段。

学生分组讨论，明确分工，确定方案。

【学生活动】

1、个人查阅资料，独立思考，理解课题内容。

2、组内交流，互帮互助，明确研究方向。

3、合作整合，完成课题，分头制作所需材料及道具，并确定课堂展示形式

【教师活动】教师适当指导，给予建设性的意见，适当协调小组间成员的分工

【教后反思】

转变指导方式。

对课题学习从任务的认领，组内各成员的分工，研究方式的确定，成果的呈现形式，都注意到了让学生自己作出决定，发挥了学生的自主性，学生们学得更自主、更主动。

第三阶段：

【教学设想】展示优秀成果，交流活动体会，培养能力。

【学生活动】

活动1：

提出问题：

周长一定的长方形何时面积最大？

探究准备：

长方形纸板、剪刀。

探究过程：

如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分四块小长方形，然后再按图2形状拼成一个正方形，这时它的周长不变，而所得正方形面积比原长方形的面积多出阴影部分的那一块小正方形面积为（a-b）

（图一）（图二）

探究评析：

在周长一定的长方形中，要使面积最大，则长与宽必须相等，即以正方形面积最大。

【教师活动】

问题一：

请问你们小组的研究问题从何而来？

生：

上节课老师再研究问题（3）时，我们就有了灵感，只是加以变形，就创造性地解决了这个问题。

【教后反思】当时唯一的感觉是：

我们的学生真伟大！

一定要相信学生都有成功的潜能！

此活动使学生的主体性得到凸现，创造性得以解放，而且使教师从知识的传授者变成学生发展的促进者，使上课成为专业成长和自我实现的愉悦的活动。

合理处理课题学习教材提供的问题，设计更具开放性和研究性的问题，为提出更深层次的问题提供基石。

活动2：

探究内容：

由周围生活中发现的六张桌子的拼法和铝合金移窗问题，引入一些面积与代数恒等式关系，将数学教学的主题生活化、视觉化、互动化，建立一个有感觉的问题情境。

环节一：

知识整合

环节二：

知识应用

【教师活动】

教师：

太精彩了！

接下来的小组很有压力啊，

【教后反思】我感受到了一种热情，那是种对于知识探索的热情！

我欣喜的看到同学们找到了探究问题的方法，明白了该如何去利用、开发身边的数学资源。

培养学生从实际问题中抽象出数学问题并建立数学模型的能力；

活动3：

学生甲：

下面我们报告的题目是这样的：

“根据你的经验怎样判定类似以下的二次多项式是否能因式分解:

;你能否通过构造图形的方法来得出一个结论?

如果行的话,你不妨再举一个例子来应用你得出的结论”。

看了这个题目我们就想，根据以上解决问题的经验，我们知道要判断这个式子能否进行因式分解，就是看能否把这个式子化成两个一次式的乘积，而这个可以看成一个矩形面积的长乘宽，而式子的左面的每一项可以看成若干个小矩形的面积，这样就是说看能否以左面各项为面积构造出一些小的矩形，如果这些小矩形能拼成一个新的大矩形，那么左面的式子就可以因式分解，而且分解出来的两个一次式就是新的大矩形的长和宽。

这只是我们的猜想，下面我们来动手试试看。

（一个学生在计算机演示文档上动手操作，另一个学生解释操作的过程）

学生乙：

由此，我们得到这个问题的结论：

对于这样的二次三项式，当把以各项为面积的小的矩形，拼在一起，能拼成一个大矩形则这个二次三项式能继续因式分解。

这个问题的解决过程中我们还要感谢其他的两组同学（掌声）

【教师活动】

教师：

下面请同学来评价一下。

学生丙：

报告得很完整，基本按照了我们平时的报告要求，得出了比较完整的结论。

但是她们的报告有那么一点要改进。

对于这个判断类似的多项式能否继续因式分解的问题，我们曾经用代数的方法解决过，既然这样我们应该报告一下代数的方法，以便我们掌握更全面的方法。

教师：

这位同学说她们报告得很好，我说她评价得也很好。

那么谁还记得如何判断的？

学生丁：

先把这个式子配方，然后看看能否利用平方差公式继续分解

教师：

正确，配方之后看能不能写成两个平方差的形式，如果能，则可以继续分解，事实上，这就是判断能否利用十字相乘法进行因式分解的依据。

【教后反思】“由学生作报告”这种反馈评价形式的最大特征是引导学生在对已解决问题的反思过程中提出置疑。

而怀疑以及由此产生的困惑是问题意识的主要行为表现。

事实上，问题意识即为学生在认识活动中感到一些难以解决的疑惑的问题时产生的一种怀疑困惑探究的心理状态。

[1]学生在作和听报告过程中产生的怀疑和困惑将促使他们提出“为什么”，“怎么样”，激起更多的思维火花，问题意识越加强烈，提出更深层次问题的思维活动也从这里开始了

活动4：

提出问题：

是不是只能用长方形和正方形纸片才能拼成图形面积来解释代数不等式？

探究准备：

查找、收集资料。

解决问题：

（1）创设问题背景：

各小组把图1中的4个小正方形、图3中的4个矩形沿对角线剪开，并设对角线长为c,通过拼图的方法寻找直角三角形的三条边的关系。

（2）再由学生轮流主讲。

【教师活动】

对学生根据课题提出的问题给予及时的积极评价，增强学生提出问题的信心，提高质疑问题的积极性.

【教后反思】进一步激发学生的求知欲及探究精神，并让学生明确知道：

直角三角形三边关系：

a2+b2=c2，为以后勾股定理的学习埋下伏笔。

在培养提出问题的能力不仅要注重知识上的策略，还要关注影响该能力的认知情感的因素，鼓励学生大胆地给出自己的问题，培养他们提出问题的兴趣与信心。

活动5：

探究内容：

要求学生把这3个正方形和6个长方形拼成一个正方形（如图4），并且根据拼成的图形写一个代数式，结果有四个小组拼出来，同时也写出了代数式。

小组成员分别上台讲解各自所写的代数式。

【教师活动】

教师：

哪些形式的代数恒等式能通过拼图来说明其正确性?

能否把

用体积来验证其正确性？

【教后反思】最后一个活动的设计它具有一定的挑战性和开放性，是希望学生在思维方面能有所拓展。

对于老师的提问大部分的同学是举一些例子，如有一位同学就提到两个一次的单项式相乘得到的等式，还有一位同学提到等式的两边都能用正方形或长方形来表示面积的等式。

事实上这个问题，就学生现在的认知水平无法做出一个完全的解答，只能做一些理性的思考，找到一些可以接受的答案。

我主要是想通过这个问题来激发学生的“再创造”激情和潜能，

【课堂小结】

由学生谈一谈学到了什么？

有什么收获？

【教后反思】

如此小结，给人以耳目一新之感，使本课主题得以升华，而且教师也自我评价了一番，这又是对课堂评价的再发展，说明教师角色的真正改变。

【课后思考】

（1）是否任意一个二次代数恒等式均能用图形的面积来表示？

如果不行的话,请你举出一个反例.

（2）你能否解释为什么根据代数恒等式构造的图形是矩形?

能否是其它图形?

【教后反思】在课堂实施过程中也存在一些问题。

如有的问题提得太大，课堂上无法完成探索，像课堂上提出的这样一个问题：

哪些形式的代数恒等式能通过拼图来说明其正确性?

如果留给学生课外去思考，这样可能会有更加满意的结果，因为这个问题的答案是开放性的，而且学生也不可能做出一个完整的答案，但是课后可以锻炼他们交流与合作、讨论与探索、归纳与总结的能力，给予充分的时间，相信会有一些学生和老师都能接受的答案。

教学设计说明：

（一）背景分析：

1、学生现状：

目前，大部分学生缺乏一种发现问题并有欲望去解决它的问题意识，而是围着考分去学习，有的学生即使喜欢提问，也仅能提“老师，这道题怎么做”之类的问题，这显然远不能满足现代学习的要求；而问题的解决不是靠题海战术，而是向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本数学知识，从而最终使问题得到解决。

2、教师现状：

在我们注重“问题解决”教学模式的同时，我们发现在教学中有的教师一味地自己提出问题让学生思考、进行牵牛式的探究；而有的教师善于把握教材关键和学生认知特点，或采取演示观察、列举生活实例等方法创设问题情景，引发学生的认知冲突，或语言诱导激发学生的思维，唤醒学生的学习渴望，启发学生自己提出问题，使学习真正进入学生的精神世界。

以上两种办法同工（同是引入）而异曲，后者却能收到好的学习效果。

因此如何在实际教学中教师如何增强学生的问题意识，提高学生提出问题的能力有效地达成教学目标是一个亟待研究的问题。

（二）有效平台——课题学习

新课标理念下的数学教学，不是培养学生“学新知识”,而是去“生长新知识”；是师生之间、学生之间交流互动与共同发展的过程，整个初中数学教学都是在进行初步的探究性、创造性教学活动，特别是新增“课题学习”这一内容，更是一个实验、探索、合作、交流的过程，体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，由此发展自己的思维能力。

课题学习的引入是新课程标准的一个亮点之一，是一个新生事物。

课题学习的最大特征在于其开放性，探索性，综合性。

而这种开放的复杂情景为增强学生的问题意识，提高学生提出问题的能力创设了一个有效的平台。

因此选取义务教育课程标准实验教材华师大版八年级（上）课题学习“面积与代数恒等式”这节课，试图通过对本节课的探究性教学设计来增强学生提出问题的能力。

最后我以2004年12月19号丘成桐先生在第三届“国际华人数学家大会”上说了这么一段话来结束语。

他说：

“数学是做研究，奥数是做题目。

获得奥数金奖只能证明考试的能力，而不代表研究的能力，研究的根本是找问题。

奥数只训练别人的题目，而不知道去做自己的题目。

”

附录：

学生网上下载优秀课题学习报告供参考

面积与代数恒等式的关系

数学，人称是研究数量和形状的科学，自最原始的洁绳记数开始，到古雅典神话的倍立方问题，人们对数的认识从单一的数字到数与数之间复杂关系的过程中，产生了数学的分支——代数。

我们不仅用形形色色的字母代替繁多的数，也用它们进行运算，运算过程总，为了方便，利用了许多公式诸如（a+b）2=a2+2ab+b2的代数恒等式。

而如何能证明这一公式的准确性呢，除了将公式用乘法分配展开外，我们是否能将数形结合，用面积表示代数恒等式呢？

其实古希腊人对这一课题早有研究，由于他们完全是用卡度表示数的，根本没有任何适当的代数符号，为了进行代数运算，他们设计了灵巧的几何程序，这种几何的代数，大部被后人归功于毕氏学派并且在欧几里得的《几何原本》前几道中可以零星地见到，例如《原本》第二卷有几个命题实际上是以几何术语表达的代数恒等式，由此看来，确信无疑的是这些命题是古代毕氏学派用剖分法证明的。

而我国的数学家却早在公元前1120年对于勾股定理的证明运用了这个几何代数之间互逆的方法，下面就介绍这一方面的内容。

说到勾股定理，指的是对于每一个直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方。

在直观上看，是看不出来的，所以我们要有一个概念，就是“以常易偏”，把直角边的关系和而言之。

再看我们发现，可以用本课题的第一种方法：

扣除法来解决，首先，4个全等的直角三角形，依次按图

（1）

排好，设长的直角边为a，短的直角边为b，斜边的为c，则出现以a+b为边长的正方形，中间围成一个以c边为边的正方形，所以根据面积可得（a+b）2-½a·bx4=c2化简得a2+b2=c2，这就是毕氏学派用来证明，毕答哥拉斯定理的“剖”的原理即在平面上以已知图形构造的图形，从而转单一的量为完整的“体”，既而求得；同样类似的方法如图

（2），依次按图

（1）

排好，设长的直角边为a，短的直角边为b，斜边的为c，则出现以a+b为边长的正方形，中间围成一个以c边为边的正方形，所以根据面积可得（a+b）2-½a·bx4=c2化简得a2+b2=c2，这就是毕氏学派用来证明，毕答哥拉斯定理的“剖”的原理即在平面上以已知图形构造的图形，从而转单一的量为完整的“体”，既而求得；同样类似的方法如图

（2），

采用一步到位的剖法，将图形利用全等性以及垂直定义构造紧密形，也可由代数式c2=（a-b）2+½a·bx4得出结论，相类似的证法有370余种，可见一个简单的代数恒等式可以转化为多个几何图形的面积，但并不是每个代数恒等式都能有1个甚至多个的证法，下面就关于我们平时学习中常常遇到的有关恒等式作一下分析。

研究证明，代数恒等式可分为规则与不规则，这两种类型的区别就在于相乘的因式，规则的因式相同，不规则的则类似或完全不同，无论与否，都可以表示为

（ma+nb）（xa=yb）=mxa2+（my+nx）ab+nyb2，要利用这个代数式，构建有效直观的图形，首先是对于常数m、n、x、y的讨论，而无论它们取什么值，由于是两个因式相乘，所以考虑到以矩形的长与宽下手。

于是当m=x、n=y时，就出现了我们习以为常的完全平方式，如当m=n=1时，以a+b为正方形的，画出的正方形中出现四个面积分别为a2，b2，ab，ab的两个正方形与长方形，所以可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2，这也是利用了“剖”的思想，在规则图形中剖出了欣的规则图形，如图（3），

同时，若不把a、b为边在（a+b）为边长的正方形中构造正方形，像图（4）那样，同样利用了剖的理论，却构造了不同的形状。

由（a=b）2=（a-b）2+4ab=a2+b2+2ab也可以证明完全平方公式，有趣的是，通过变形可得（a+b）2-（a-b）2=4ab，即两个完全平方公式之间的关系，所以可见，要剖，还要剖的准；同样是当m=x、n=y时，且m=n=1，则出现另一个完全平方式，（a-b）2=a2-2ab+b2，如图（5），

从中可以发现此图大胆的剖，却额外地补上了可得（a-b）2=a2-2ab+b2；这就是毕氏学派以外的添补法；而当m=x、n=y时，出现了（a+b）（a-b）的形式，平方差公式呼之欲出，如图（6），

通过构造以a为边的正方形减去以b为边的正方形的面积可以将图由面积等于（a-b）b的矩形拼在下面的大举行内边，这就是“剖分”，先剖，在用割补法拼凑成以（a+b）（a-b）为面积的长方形。

分，就要分的齐。

如果我们的式子中m≠n，x≠y，这就构成了不规则的形状，而这种不规则的形状与规则的一样在同一取值有几种拼法。

如当m=2n=6x=3，y=5即（6a+3b）（3a+5b）时（图略），原代数式即可以6a+3b、3a+5b为长、宽，也可以2a+b、9a+15b为长、宽（图略），这也就是此公式的精妙之所在了，然而，并不是所有的恒等式都可能成立这些特性，如a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）等等。

除此之外，由于古希腊的数学家有做出进一步的研究，所以在此将《原本》中的几个命题附下，以作参考。

第一命题：

把边长为a+b的正方形分成面积分别为a2，b2，ab，ab的两个正方形和两个矩形（如图1所示），在几何上证明代数恒等式（a+b）2=a2+2ab+b2欧几里得对此命题的陈述是：

如果一条线段被分成两部分，则以整个线段为边的正方形等于分别以这两部分为边的正方形及以这两部分为边的矩形的二倍之和．

第二命题：

如果一条线段既被等分又被不等分，则以不等分为边的矩形加上以两分点之点之间的线段为边的正方形等于以这一线段的一半为边的正方形．如令AB为给定的线段，并等分于P，不等分于Q．则原命题亦可写作：

（AQ）（QB）+（PQ）2=（PB）2如果我们令AQ=2a，QB=2b，则导出代数恒等式4ab+（a-b）2=（a+b）2，或者，如果令AB=2a，PQ=b，导出恒等式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

《原本》中为证明此定理而给出的剖分法比图2中所表示的对第一命题的证明要复杂得多．在图2中，PCDB和QFLB分别是以PB和QB为边的正方形．于是（AQ）（QB）+（PQ）2=AGFQ+HCEF=AGHP+PHFQ+HCEF=PHLB+PHFQ+HCEF=PHLB+FEDL+HCEF=（PB）2

第三命题：

如果一条线段被平分并被延长到任何一点，则以整个延长了的线段和其延长部分为边的矩形加上以原线段的一半为边的正方形，等于以由原线段的一半加上延长部分构成的线段为边的正方形．

在这里（参看图4），如果给定的以P为中点的线段AB被延长到Q，则我们要证明的是:

（AQ）（BQ）+（PB）2=（PQ）2如果我们令AQ=2a，BQ=2b，则再一次导出恒等式4ab+（a-b）2=（a+b）2，{根据此恒等式，图3的面积可写为恒等式（a+b）2-（a-b）2=4ab}

图3

并且，这里用的剖分法与第二命题所用的剖分法相类似．

图5，令AB=a，BC=b，提示恒等式

4ab+（a-b）2＝（a+b）2

大家都知道：

古代有一个毕氏学派，它对数学史有很大影响。

毕氏学派对于把一个直线形变成与它面积相等的另一个直线形的问题很感兴趣．“作一个与给定的多边形面积相等的正方形”，这个基本问题的解，在欧几里得《原本》第一卷命题42、44、45和第二卷命题14中可以找到．毕氏学派也许已经知道下面这个比较简单的解法．考虑任一个多边形ABCD……（参看图6）．作BR平行于AC，截DC于R．于是，三角形ABC和ARC有公共的底边AC和在公共底边上的相等的高，这两个三角形面积相等．由此得出：

多边形ABCD……与ARD……有相等的面积．但是，导出的多边形比给定的多边形少一个边．重复此程序，我们最终得到一个与给定多边形等面积的三角形，于是，如果b是此三角形的任一边，h是b上的高，则与此三角形面积相等的正方形的

和圆规做出，整个问题也就用这些工具解决了.许多有趣的面积问题能用这种作平行线的简单程序来解决。

综上所述，面积与代数恒等式是可以互逆的，但只局限一些常见的代数式中。

只要我们正确掌握面积与代数恒等式之间的互逆方法，就能自如地支配他们。