届一轮复习北师大版 第一章集合与常用逻辑用语1学案.docx

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届一轮复习北师大版第一章集合与常用逻辑用语1学案

第一章集合与常用逻辑用语

第一节　集　合

本节主要包括2个知识点：

1.集合的概念与集合间的基本关系；

2.集合的基本运算.

突破点

（一）　集合的概念与集合间的基本关系　

1．集合的有关概念

（1）集合元素的特性：

确定性、互异性、无序性．

（2）集合与元素的关系：

若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.

（3）集合的表示方法：

列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系

　表示

关系　　

文字语言

记法

集合间的基本关系

子集

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A

AB或BA

相等

集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素

A⊆B且B⊆A⇔A＝B

空集

空集是任何集合的子集

∅⊆A

空集是任何非空集合的真子集

∅B且B≠∅

1．判断题

（1）若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　　）

（2）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A＝B＝C.（　　）

（3）任何集合都有两个子集．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×

2．填空题

（1）已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．

解析：

∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.

答案：

1或4

（2）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．

解析：

∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．

答案：

5

（3）集合A＝{x∈N|0

解析：

因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.

答案：

7

（4）已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________.

解析：

∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.

答案：

－2

集合的概念与集合间的基本关系

　　1.与集合概念有关问题的求解策略

（1）确定构成集合的元素是什么，即确定性．

（2）看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．

（3）根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

2．判断集合间关系的常用方法

列举法

根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系

结构法

从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断

数轴法

在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系

[典例]　

（1）若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中元素的个数为（　　）

A．5B．4

C．3D．2

（2）（2018·兰州模拟）已知集合A＝{x|y＝ln（x＋3）}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．A＝BB．A∩B＝∅

C．A⊆BD．B⊆A

（3）（2018·湖南长沙一中月考）已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　）

A．[2，＋∞）B．（2，＋∞）

C．（－∞，0）D．（－∞，0]

[解析]　

（1）因为x∈A，y∈B，所以当x＝－1，y＝0,2时，z＝x＋y＝－1,1；当x＝1，y＝0,2时，z＝x＋y＝1,3，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，共3个元素，选C.

（2）A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：

B⊆A.

（3）由题意得集合A＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，要使得A⊆B，则a≥2.故选A.

[答案]　

（1）C　

（2）D　（3）A

[易错提醒]

（1）在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．

（2）将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式（组）的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．　　

1．（2018·河北邯郸一中调研）已知集合A＝{0,1,2}，B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}，则B＝（　　）

A．{0,1,2,3,4}B．{0,1,2}

C．{0,2,4}D．{1,2}

解析：

选A　当x＝0，y＝0,1,2时，x＋y＝0,1,2；当x＝1，y＝0,1,2时，x＋y＝1,2,3；当x＝2，y＝0,1,2时，x＋y＝2,3,4.所以B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}＝{0,1,2,3,4}．

2．已知集合A＝{x∈N|x<2}，B＝{y|y＝lg（x＋1），x∈A}，C＝{x|x∈A或x∈B}，则集合C的真子集的个数为（　　）

A．3B．7

C．8D．15

解析：

选B　因为A＝{x∈N|x<2}，所以A＝{0,1}，因为B＝{y|y＝lg（x＋1），x∈A}，所以B＝{0，lg2}．因为C＝{x|x∈A或x∈B}，所以C＝{0,1，lg2}．所以集合C的真子集的个数为23－1＝7.故选B.

3．（2018·河北衡水中学调研）设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的B的个数是（　　）

A．5B．4

C．3D．2

解析：

选B　满足条件的集合B可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，所以满足A⊆B的B的个数是4.故选B.

4．（2018·成都模拟）已知集合A＝{x∈N|1

A．（8，＋∞）B．[8，＋∞）

C．（16，＋∞）D．[16，＋∞）

解析：

选C　法一：

∵集合A＝{x∈N|14，解得k>16.故选C.

法二：

取k＝16，则集合A＝{x∈N|1

5．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

解析：

∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3]．

答案：

（－∞，3]

突破点

（二）　集合的基本运算　

1．集合的三种基本运算

符号表示

图形表示

符号语言

集合的并集

A∪B

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

集合的交集

A∩B

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

集合的补集

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

2.集合的三种基本运算的常见性质

（1）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A.

（2）A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U（∁UA）＝A.

（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩（∁UB）＝∅.

1．判断题

（1）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

（2）若集合A＝，则∁RA＝.（　　）

（3）设集合U＝{x|－3

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√

2．填空题

（1）（2018·浙江模拟）已知集合P＝{x∈R|0≤x≤4}，Q＝{x∈R||x|<3}，则P∪Q＝________.

解析：

由题意，得P＝[0,4]，Q＝（－3,3），∴P∪Q＝（－3，4]．

答案：

（－3,4]

（2）（2018·安徽合肥模拟）已知集合A＝{x|x2<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩B＝________.

解析：

由题意，得A＝{x|x2<4}＝（－2,2），B＝{x|x－1≥0}＝[1，＋∞），所以A∩B＝[1,2）．

答案：

[1,2）

（3）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩（∁UB）＝________.

解析：

因为∁UB＝{2,5,8}，所以A∩（∁UB）＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．

答案：

{2,5}

（4）设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U（A∪B）＝________.

解析：

∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁U（A∪B）＝{2,6}．

答案：

{2,6}

集合的交集或并集

[例1]　

（1）（2018·湖南十校联考）已知集合P＝{x|1≤2x<4}，Q＝{1,2,3}，则P∩Q＝（　　）

A．{1}B．{1,2}

C．{2,3}D．{1,2,3}

（2）（2018·山东菏泽模拟）设集合A＝，B＝{x|x2<1}，则A∪B＝（　　）

A．{x|1

C.D．{x|－1

[解析]　

（1）P＝{x|1≤2x<4}＝[0,2），所以P∩Q＝{1}．故选A.

（2）因为B＝{x|x2<1}＝{x|－1

[答案]　

（1）A　

（2）B

[方法技巧]　　求集合交集或并集的方法步骤

交、并、补的混合运算

[例2]　

（1）（2018·山东临沂模拟）设集合U＝R，A＝{x|2x（x－2）<1}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<2}

C．{x|0

（2）（2018·湖北黄冈调研）已知函数f（x）＝的定义域为M，g（x）＝ln（1－x）的定义域为N，则M∪（∁RN）＝（　　）

A．{x|x>－1}B．{x|x≥1}

C．∅D．{x|－1

[解析]　

（1）A＝{x|2x（x－2）<1}＝{x|x（x－2）<0}＝{x|00}＝{x|x<1}，则∁UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<2}．

（2）依题意得M＝{x|－1－1}．

[答案]　

（1）B　

（2）A

[方法技巧]

解决交、并、补混合运算的一般思路

（1）用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．

（2）用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．

（3）若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．　　

集合的新定义问题

[例3]　（2018·合肥模拟）对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝（M－N）∪（N－M）．设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则A⊕B＝（　　）

A.

B.

C.∪[0，＋∞）

D.∪（0，＋∞）

[解析]　因为A＝，B＝{