最新高中数学必修五全套教案.docx
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最新高中数学必修五全套教案
[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,
则bc
从而在直角三角形ABC中，CaB
（图1．1-2）
思考：
那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C
同理可得，ba
从而AcB
（图1．1-3）
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：
根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：
对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：
根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴当时，
，
⑵当时，
，
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：
1：
2：
3）
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A
如图1．1-5，设，，，那么，则
CB
从而（图1．1-5）
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即
思考：
这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：
∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：
∵cos
∴
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
解：
由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：
A=120）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：
①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：
（1）有两解；
（2）0；（3））
2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：
由余弦定理可知
（注意：
）
解：
，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：
（1）；
（2）ABC是等腰或直角三角形）
2.在ABC中，，，面积为，求的值
分析：
可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：
由得，
则=3，即，
从而
Ⅲ.课堂练习
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：
（1）或；
（2））
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?
（角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile）
解：
在ABC中，ABC=180-75+32=137，根据余弦定理，
AC=
=
≈113.15
根据正弦定理,
=
sinCAB=
=
≈0.3255,
所以CAB=19.0,
75-CAB=56.0
答:
此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15nmile
补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？
需要多少时间才追赶上该走私船？
解：
如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,
ACB=+=
（14x）=9+（10x）-2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-（舍去）
所以BC=10x=15,AB=14x=21,
又因为sinBAC===
BAC=38,或BAC=141（钝角不合题意，舍去），
38+=83
答：
巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：
在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
例7、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
解：
（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9（cm）
（2）根据正弦定理，
=
c=
S=bcsinA=b
A=180-（B+C）=180-（62.7+65.8）=51.5
S=3.16≈4.0（cm）
（3）根据余弦定理的推论，得
cosB=
=
≈0.7697
sinB=≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S≈41.438.70.6384≈511.4（cm）
例3、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
证明：
（1）根据正弦定理，可设
===k
显然k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2（bc+ca+ab）
=（b+c-a）+（c+a-b）+（a+b-c）
=a+b+c=左边
变式练习1：
已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：
解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：
a=6,S=9;a=12,S=18
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。
特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
⒈数列的定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉数列的项：
数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：
，或简记为，其中是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？
这一关系可否用一个公式表示？
（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
↓↓↓↓↓
序号12345
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
来表示其对应关系
即：
只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋数列的通项公式：
如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：
⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：
1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f
（1）、f
（2）、f（3）、f（4）…，f（n），…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：
项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
是有穷数列
无穷数列：
项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：
从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：
从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：
各项相等的数列。
摆动数列：
从第2项起
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