数学奥林匹克初中训练题.docx

数学奥林匹克初中训练题.docx

《数学奥林匹克初中训练题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学奥林匹克初中训练题.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学奥林匹克初中训练题

=================================================

数学奥林匹克初中训练题

==================================================

数学奥林匹克初中训练题

第一试

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．对自然数a、b、c，定义运算*，使其满足（a*b）*c=a*（bc），（a*b）（a*c）=a*（b+c）．则3*4的值为（）．

（A）12（B）64（C）81（D）以上均不对

2．国家规定个人每次以图书、报刊形式出版发表同一作品获得稿费的纳税计算方法是：

（1）稿费不高于800元的不纳税；

（2）稿费高于800元又不超过4000元的应缴纳超过800元的那一部分稿费的14%的税；

（3）稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税．

最近鲁川发表一篇小说获得一笔稿费，共缴纳个人所得税420元．问这笔稿费为（）元．

（A）3400（B）3600（C）3800（D）4000

3．用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：

①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）；②矩形（不包括正方形）；

③正方形；④等腰直角三角形；⑤等边三角形．一定能拼接成的图形是（）．

（A）①②③（B）①③④（C）②③④（D）①③④⑤

4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于（）．

（A）

5．若自然数n使得作竖式加法

n+（n+1）+（n+2）

均不产生进位现象，则称n为“连绵数”．例如，12是连绵数，因12+13+14不产生进位现象；但13不是连绵数，那么，小于1000的连绵数的个数为（）．

（A）27（B）47（C）48（D）60

6．已知关于x的两个方程x2+2bx+a=0与x2+ax+2b=0有且仅有一个公共根．则a2+b2的最小值为（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题（每小题7分，共28分）

1．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>b），把剩下的部分分割后拼成一个图形，验证一个公式．这个图形可以是_______（至少填两个），这个公式是_______．

2．设自然数x、y满足x

3．2008年国际奥林区克运动会将在北京举行，图3是奥林匹克的五环标志，现在a、b、c、d、e、g、h、i处分别填入1～9这9个整数中不同的一个．如果每一个圆环内的数字和都相等，那么，这个数字和的最大值为_______．

4．已知由n个单位小立方体组成的简单几何体的主视图图4（a）和俯视图图4（b），则n的所有可能取值为_________．

第二试

一、（20分）阅读材料并解答问题：

如图所示，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究接近度时，应保证相似图形的接近度相等．

（1）设菱形的两个相邻内角分别是m°和n°，将菱形的接近度定义为│m-n│，于是，│m-n│越小，菱形越接近于正方形．

（i）设菱形的一个内角为80°，则该菱形的接近度等于________；

（ii）当菱形的接近度等于_______时，该菱形是正方形．

（2）设矩形的两条边长分别是a和b，将矩形的接近度定义为│a-b│，于是，│a-b│越小，矩形越接近于正方形．

你认为这种说法是否合理？

若不合理，说明理由，并给出矩形的接近度的一个合理定义．

二、（25分）△ABC和△A1B1C1是两个等腰直角三角形，∠A=∠A1=90°，△A1B1C1的顶点B1位于边BC的中点上．

（1）如图6（a），设A1B1于AB交于点E，B1C1与AC交于点F，求证：

△BB1E∽△CFB1；

（2）如图6（b），将△A1B1C1绕顶点B1旋转，使得A1B1与BA的延长线交于点E，B1C1与AC交于点F，于是，除

（1）中的一组相似三角形外，能否再找出一组相似三角形？

并证明你的结论．

三、（25分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a

的图像恒不在x轴下方，且m<

恒成立，求m的取值范围．

参考答案

第一试

一、1．B一定能拼成平行四边形、正方形、等腰直角三角形．

2．C由于4000×11%=440>420，所以，稿费在800～4000元之间，设稿费为x元，依题意得（x-800）×14%=420．解得x=3800（元）．

3．A设两个方程的公共根为x=t，则有t2+2bt+a=0，t2+at+2b=0．

两等式相减得（2b-a）t+a-2b=0．

由题意得a-2b≠0，所以，t=1．

代入方程得1+2b+a=0．

故a2+b2=（-1-2b）2+b2=5b2+4b+1=5（b+

）2+

．

因此，当b=-

时，取最小值

．

4．D设CE=x，则AE=AF=x，BE=4-x．

在Rt△ABE中，由AE2=AB2+BE2，得x2=32+（4-x）2．

解得x=

．

所以，S△AEF=

AF·AB=

×

×3=

．

5．C

一位数有0，1，2，共3个；

二位数有，

，a=1，2，3，共3×3=9个；

三位数有，

，a=1，2，3，b=0，1，2，3，共3×4×3=36个．

故小于1000的连绵数共有3+9+36=48个．

6．C．

在（a*b）*c=a*（bc）中，令b=c=1，得（a*1）*1=a*1，

所以，a*1=a．

在（a*b）（a*c）=a*（b+c）中，

令b=c=1，得（a*1）2=a*2，所以，a*2=a2；

令b=2，c=1，得（a*2）（a*1）=a*3，所以，a*3=a2·a=a3；

令b=3，c=1，得（a*3）（a*1）=a*4，所以，a*4=a3·a=a4．

因此，3*4=34=81．

二、1．矩形或等腰梯形（图略）．

a2-b2=（a+b）（a-b）．

2．5由x3-y3=19（x-y），x

从而，3x2

又x是自然数，所以，x=2．

于是，y=3，故x+y=5．

3．14

设每一个圆环内的数字和为N，则

（1+2+…+9）+（b+d+f+h）=5N．

所以，N=

+9．

要使N最大，必须b+d+f+h值最大，且是5的倍数．

由于b+d+f+h=6+7+8+9=30时最大，且N=15，此时无论怎样填，均会有重复和漏填的数字，故N最大不会超过14．

经试验，a=5，b=9，c=2，d=3，e=4，f=7，g=1，h=6，i=8时，满足题设条件．

故数字和的最大值为14．

4．8，9，10，11．

由于左视图可能如图7所示，所以，俯视图第1列小正方形只能填1；第2列一个小正方形填2，另一个可填2或1；第3列一个小正方形填3，另一个可填3或2或1．于是，n可能的最大值为1+2+2+3+3=11，最小值为1+2+1+3+1=8．

第二试

一、

（1）（i）20（ii）0

（2）不合理

在边长为a、b及边长为2a、2b的矩形中，显然这两个矩形相似，但│2a-2b│≠│a-b│．

可将矩形的接近度定义为

（a≤b），则

越接近于1，矩形越接近于正方形．

二、

（1）在△BB1E与△CFB1中，因为

∠BB1F+∠BEB1=∠BB1E+∠CB1F=135°，所以，∠BEB1=∠CB1F．

又∠B1BE=∠FCB1=45°，所以．△BB1E∽△CFB1．

（2）△EB1F∽△EBB1或△EB1F∽△B1CF．

由

（1）得△BB1E∽△CFB1．所以，

．

因为BB1=B1C，所以，

．

又∠B1CF=∠EB1F=45°，所以，△EB1F∽△B1CF．

同理，△EB1F∽△EBB1．

三、易知y=a（x+

）2+c-

≥0恒成立。

所以，a>0，c≥

．

由m<

恒成立，得m<（

）min

设t=

，则t>1，从而，

≥

=

=

[（t+1）+4+

]=

（t-1+

+6）

≥（6+6）=3．

当且仅当t=4，即

=4，b2=4ac时，上式等号成立，所以，（

）min=3．

因此，m<3．