轴测投影图.docx

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轴测投影图

第八讲轴测投影图

教学目标：

掌握正等轴测图的形成和画法

教学重点：

正等轴测图的画法

前面我们介绍了三面视图的形成及画法，三视图是通过正投影法分别在三个投影面上得到物体的投影图，其特点物体的各表面与投影面尽可能平行或垂直，光线垂直于投影面照射，因此能完全确定物体的形状和大小，作图简单，度量性好。

工程上应用广泛，但三视图直观性不强，看图较困难。

我们今天介绍直观性比较强的轴测投影图。

一、轴测图的基本知识

1．轴测图的概念

用平行投影法将物体连同其直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向（S），一起投射到选定的单一投影面（P面）上所得投影，叫做轴测图。

轴测图能在一个投影面上反映出物体三个坐标面的形象，富有立体感，接近人们的视觉习惯。

但其不能反映物体的真实形状和大小，度量性差，作图也麻烦，常用作工程上的辅助图样。

2．轴测图的形成

轴测图的形成一般有两种方式：

正轴测图：

改变物体相对于投影面的位置，而投影方向仍垂直于投影面，所得轴测图称为正轴测图

斜轴测图：

改变投影方向使其倾斜于投影面，而不改变物体对投影面的相对位置，所得投影图为斜轴测图。

3．轴测投影术语

①轴测轴和轴间角

轴测轴：

建立在物体上的空间直角坐标轴在轴测投影面上的投影叫做轴测轴。

轴间角：

轴测轴间的夹角叫做轴间角。

②轴向伸缩系数

轴向伸缩系数：

轴测轴上的单位长度与对应直角坐标轴上单位长度的比值。

4．轴测投影的特性

①平行性：

两线段平行，它们的轴测投影也平行。

②定比性：

平行于坐标轴的线段其轴测投影长度与原长度之比等于轴向伸缩系数。

注意：

要学生明确基本概念，尤其轴测的含义。

5．轴测图的分类（简单介绍）

二、正等轴测投影图

1．正等轴测图的形成

结合投影形象展示正等测图的形成过程。

2．轴间角和轴向伸缩系数

3.平面立体正等测图的画法

这是本课的重点，在明确基本概念的前提下，要求学生掌握正等测图的画法。

掌握坐标法、切割法和叠加法，明白三者关系，能灵活综合运用。

分别举例讲解。

4．回转体正等测图的画法

关键是圆的正等测图的画法，圆的正等测图是椭圆，要求学生注意平行于不同坐标面的椭圆的长、短轴的方向，

重点介绍菱形法画椭圆。

注意四个切点所在的轴测轴的方向，及菱形四条边的方向，只要正确画出菱形方向，才能正确画出椭圆。

例：

圆柱正等测图的画法

注意公切线。

例：

圆角正等轴测图的画法

注意一侧公切线

5．组合体正等测图的画法

注意圆孔后端面的可见性。

当孔的厚度小于椭圆短轴时，部分可见。

这是学生画图时容易遗漏的。

《水利工程制图》（上）网上解析

第四章——轴测图

（1）

一、轴测投影图

上面我们学习了多面正投影图，多面正投影图能确切地表达物体的形状，并且作图简单，因此是工程中常用的图样。

它的缺点是立体感差，不易想象物体的形状。

今天我们要学习的轴测投影图是一种立体感较强的图样。

这是某物体的轴测投影图，不象以前学的多面正投影图要用两个、三个投影图来表达物体，它只用一个图样来表达物体，而且立体感是比较强的，一看便知是什么形状的物体。

但这种图样作图较复杂，而且一般不反映表面实形。

在工程上常用作辅助图样，比如帮助设计构思、帮助读图、外观设计等。

我们同学在以后学习时，还可以借助轴测投影图来想象物体的空间形状。

现在我们来分析一下，为什么多面正投影图没有立体感，而轴测投影图有立体感？

通过这个分析，进而寻找形成轴测投影图的方法。

请大家看图：

我们来比较一下多面正投影图和轴测投影图，为什么多面正投影图没有立体感呢？

是因为我们在作图的时候，为使图形简单，总是把物体正着放，让长、宽、高三个方向中的某一个方向与投射线平行，即与视线平行，所以一个视图只反映物体两个方向的向度，因此没有立体感。

而轴测投影图之所以有立体感，是因为同时反映物体三个方向的向度（三个方向表面的形状），因此有立体感。

所以我们可得出结论：

要得到立体感较强的图形，那么这个图形就应该同时反映物体三个方向的向度。

由这个结论我们就很容易得出形成轴测投影图的方法。

轴测投影图是用平行投影法得到的。

而平行投影法有两种：

正投影和斜投影。

如果用正投影的话，就不能让物体正着放，而应将物体倾斜放置，即三个坐标轴都倾斜于投影面。

如果仍让物体正着放，那么就要用斜投影。

这两种方法都能保证一个投影图反映出物体三个方向表面的形状。

*

二、轴测投影的基本知识。

1．轴间角

为便于作图，在物体上建立直角坐标系O1X1、O1Y1、O1Z1，将物体连同坐标系一起向投影面作投影，注意：

投影方向不应与坐标轴一致。

接受投影的面称为轴测投影面；物体上的三个坐标轴在轴测投影面上的投影称为轴测轴；轴测轴之间的夹角∠XOY、∠XOZ、∠YOZ称为轴间角。

2．轴向变形系数。

由于物体上三个坐标轴对轴测投影面倾角的不同，所以在轴测图上各条轴线长度的缩短程度也不相同，坐标轴在轴测图上的缩短率称为轴向变形系数。

设线段u为直角坐标系上各轴的单位长度，I、j、k是它们在轴测投影面上的投影长度，则：

i/u=p为X轴的轴向变形系数；

j/u=q为Y轴的轴向变形系数；

k/u=r为Z轴的轴向变形系数；

3．轴测图的投影特性：

1．1．平行性。

物体上互相平行的直线在轴测投影图上仍然平行。

2．2．真实性。

物体上平行于轴测投影面的平面，在轴测图中反映实形。

3．3．定比性。

物体上两平行线段长度之比在投影图上保持不变。

由于轴测图是用平行投影法得到的，所以它具有平行投影的投影特性；根据定比性，物体上凡与坐标轴平行的线段，都具有相同的轴向变形系数。

轴测图的投影特性是作轴测图的重要理论依据。

4．轴测图的基本作图方法

知道了轴间角和轴向变形系数，就可以沿轴向度量物体的大小，也可以沿着轴向量画出物体上各点、各线段和整个物体的轴测投影。

点是最基本的几何元素，因此我们主要讨论如何作点的轴测投影。

例1已知点A的正投影图及轴间角和轴向变形系数，求该点的轴测投影。

作图步骤：

（1）按轴间角画出轴测轴OX、OY、OZ，注意通常将OZ放在垂直位置。

（2）在正投影图上量取点的X坐标O1ax1，乘以X方向的轴向变形系数得出轴测图上的X坐标值，在OX轴上截取该长度得Oax，过ax作OY的平行线；

（3）在正投影图上量取点的Y坐标aax1，乘以Y方向的轴向变形系数得出轴测图上的Y坐标值，在OY轴上截取该长度Oax，过ax作OX的平行线；

（4）在正投影图上量取点的Z坐标aax1，乘以Z方向的轴向变形系数得出轴测图上的Z坐标值，过a作OZ的平行线，在该线上截取Z坐标值，得出A点。

由于是沿轴向测量，所以这种投影称轴测投影。

好，点的轴测投影我们会做了，那么直线、平面和简单平面体的投影也应该会做了。

因为直线可由两点确定，平面可由三点确定，平面体可由平面体上各顶点确定。

待会我们再详细研究平面体轴测图的各种画法。

5．轴测投影的分类

轴测投影的分类：

正轴测投影：

投影方向垂直轴测投影面

斜轴测投影：

投影方向倾斜轴测投影面

方才已经说了，轴测投影图是用平行投影法得到的。

而平行投影法有两种：

正投影和斜投影。

相应地，按投影方向的不同，轴测投影也分两大类：

当投影方向垂直轴测投影面时，称正轴测投影；当投影方向倾斜轴测投影面时，称斜轴测投影。

正轴测投影：

正等测投影：

p=q=r

正二测投影：

p=r≠q

斜轴测投影：

斜等测投影：

p=q=r

斜二测投影：

p=r≠q

根据轴向变形系数的不同，正轴测投影和斜轴测投影又可细分，在正轴测投影中，当三个轴向变形系数相等时，称为正等测投影；当三个轴向变形系数中有两个相等时，称为正二测投影；同样，在斜轴测投影中，当三个轴向变形系数相等时，称为斜等测投影；当三个轴向变形系数中有两个相等时，称为斜二测投影；工程上最常采用的是正等测和斜二测投影。

因为这两种轴测图立体感好且便于绘制。

我们也只要求掌握这两种轴测图的画法。

6．正等轴测图。

先来介绍正等轴测图的轴间角和轴向变形系数。

在正轴测投影中，由于空间的三个坐标轴都倾斜于轴测投影面，所以三个轴向直线的投影都缩短，即p、q、r都小于1。

随着坐标轴与轴测投影面的倾斜角度的不同，轴间角和轴向变形系数都会改变。

正等测投影是使三个坐标轴与轴测投影面的倾角相等，这时的轴向变形系数p=q=r=0.82，轴间角∠XOY=∠XOZ=∠YOZ=120。

为便于作图，通常使p=q=r=1，用这种简化系数画出的图形将比实际物体大1/0.88=1.22倍；Z轴画成垂直位置，X轴和Y轴均与水平线成30度角，可用30度三角板画出。

请大家看图：

正等轴测图的轴间角和变形系数

∠XOY=∠YOZ=∠ZOX=120°

p=q=r≈1

下面通过例题介绍一些画轴测图的具体方法。

首先介绍平面体正等测图的画法。

画平面立体轴测图的基本方法是坐标法，即先建立坐标系，将平面立体各顶点按坐标画出其轴测投影，然后相关的点连线即可。

下面看个例题。

例2画三棱锥的正等轴测图。

具体步骤如下：

1．首先在物体上建立坐标系。

画出轴测轴；

2．画出轴测轴；画出各顶点的投影。

先画B点。

B点在O1X1轴上，在俯视图或正视图上量X坐标，在轴测轴OX上截取得B点。

C点在O1Y1轴上，在OY上截取Y坐标得C点；A在OXY坐标面上，先根据X坐标在OX轴上截取，过截点作OY轴的平行线，在其上截取Y坐标得A点。

S点需根据三个坐标确定，首先根据X坐标和Y坐标定出S点在XOY面上的位置，再过交点作Z轴的平行线，在Z轴上截取Z坐标的长度得Z点。

3．连接可见棱线。

即完成三棱锥的正等轴测图。

例3作如图所示跌水坎的正等测图。

这个跌水坎是属于柱类形体。

对于柱类形体，通常是先画出能反映柱体特征的一个可见端面，然后画出可见的棱线可底边，完成形体的轴测图。

这种方法也叫端面法。

步骤如下：

1．1．在物体上建立坐标系。

画出轴测轴。

2．2．画出反映形状特征的可见端面。

3．3．画出可见棱线。

因为这个柱体的棱线都平行于O1Y1轴，所以他们的投影也都平行于O1Y1的投影即轴测轴OY，轴测投影的长度可在俯视图中直接量取。

4．4．画出可见底边，加深。

即完成。

例4例4 画出如图所示物体的正等测图。

对于能从基本体切割而成的形体，可先画出基本体，然后进行切割，得出该形体的轴测图。

这种方法称为切割法。

该物体可看成是一个横放的梯形柱，左上方开一缺口，再挖去一个矩形孔而成。

作图步骤如下：

1．1．先画出梯形柱。

梯形柱可用方才讲的端面法画。

2．2．切去左上方缺口。

3．3．定矩形孔位置。

4．4．画出矩形孔可见轮廓线，将结果加深。

注意不要遗漏切割后的可见轮廓线，且要将多余的线擦去。